成都七中 2015-2016 学年上期2017 届半期考试数学试卷（文科）
考试时间：120 分钟 总分：150 分
一．选择题（每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．把 答案凃在答题卷上.）
1. 直线 y = - x 的倾斜角为（ ）
A. p B. p C. 2 p D. 3 p
4 2 3 4
2. 平 面 a
- 76 -
平 面 b 的 条 件 可 以 是 （ ）
A. a 内 有 无 穷 多 条 直 线 都 与 b
- 76 -
平 行 B. 直 线 a
- 76 -
a , a
- 76 -
b , 且 a Ë a , a Ë b
C． a
- 76 -
内 的 任 何 直 线 都 与 b
- 76 -
平 行 D. 直 线 a Ì a , 直 线 b Ì b ， 且 a
- 76 -
b , b a
3 . 与 直 线
- 76 -
3 x - 4 y - 5 = 0 关 于
- 76 -
y 轴 对 称 的 直 线 方 程 为 （ ）
A. 3 x + 4 y + 5 = 0
- 76 -
B. 3 x + 4 y - 5 = 0
C. 3 x - 4 y + 5 = 0
- 76 -
D. 3 x - 4 y - 5 = 0
4 . D A B C 中 ， A ( 4 ，0 ) , B ( 8 ，7 ) , C ( 0 ，3 ) ， 则 B C
- 76 -
边 上 的 高 所 在 直 线 的 方 程 （ ）
A. 2 x + y + 8 = 0
- 76 -
B. 2 x + y - 8 = 0
C. x - 2 y - 4 = 0
- 76 -
D. x - 2 y + 4 = 0
5 . 棱 长 为 2 ， 各 面 均 为 等 边 三 角 形 的 四 面 体 的 表 面 积 为 （ ）
A. 4 B. 4 2 C. 4 3 D. 4 6
6 . 长 方 体 的 长 、 宽 、 高 分 别 为 3 、4 、5 ， 则 它 的 外 接 球 的 体 积 为 （ ）
A.1 2 5 2 p B. 1 2 5 2 p C. 1 2 5 2 p D. 2 5 0 2
3 2
7 . 过 点 P ( 2 ，3 ) ， 并 且 在 两 轴 上 的 截 距 为 相 反 数 的 直 线 方 程 为 （ ）
A. 3 x - 2 y = 0 或 x - y + 1 = 0
- 76 -
B. x - y + 1 = 0
C. 3 x - 2 y = 0 或 x + y - 5 = 0
- 76 -
D. 3 x - 2 y = 0 或 3 x - 2 y + 1 = 0
8 . 在 一 个 平 面 上 ， 机 器 人 甲 到 与 点 C ( 2 ， - 3 ) 距 离 为 5 的 地 方 绕 C 点 顺 时 针 而 行 ， 在 行 进 过 程 中 保 持 与 点 C 的 距 离 不 变 ， 机 器 人 乙 在 过 点 A ( - 8 ，0 ) 与 B ( 0 ，6 ) 的 直 线 上 行 进 ， 机 器 人 甲 与 机 器 人 乙 的 最 近 距 离 是 （ ）
A. 67
5
- 76 -
52 42 17
A. C. D.
5 5 5
9 . 直 线 ( m + 2 ) x + (1 - m ) y - 6 = 0 与 圆 ( x - 2 )
- 76 -
2 + y 2
- 76 -
= 1 的 位 置 关 系 是 （ ）
C
D1
A. 相交 B.相离 C. 相切 D. 以上都有可能 1
A1 B1
1 0 . 在 棱 长 为 2 的 正 方 体 A B C D - A B C D 中 ， 经 过 点
- 76 -
A 作 D B 的 垂 面 ，
1 1 1 1 1
该 垂 面 被 正 方 体 截 得 部 分 的 面 积 是 （ ）
D C
A. 4 3 B. 2 3 C. 3 D. 3
2 A
B
1 1 . 已 知 长 度 为 4 的 线 段 A B 在 平 面 a 内 ， 线 段 A C 、 B D 不 在 平 面 内 ， A C = B D = 3 ， C A ^ 平 面 a 且 与 平 面 a 交 于 A , B D ^ A B , B D 与 它 在 a 内 的 射 影 成 30 ° 角 ， 则 C D 的 长 度 为 （ ）
A. 5 B. 5 或 3 4
- 76 -
C. 5 或 4 3
- 76 -
D. 3 4 或 4 3
1 2 . 设 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 增 函 数 ， 且 对 于 任 意 的 x 都 有 f ( - x ) +
- 76 -
f ( x ) = 0 恒 成 立 ， 如 果 实 数
2 2
2 2
ì f ( a a、 b 满 足 不 等 式 组 í
- 76 -
- 6 a + 2 3 ) +
- 76 -
f ( b
- 76 -
- 8 b - 2 ) £ 0
- 76 -
那 么 a
- 76 -
+ b 的 取 值 范 围 是 （ ）
î f ( b + 1) >
- 76 -
f ( 5 )
A. (1 7 , 4 9 ]
- 76 -
B. [9 , 4 9 ]
- 76 -
C. (1 7 , 4 1]
- 76 -
D.[9 , 4 1]
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在答题卷的横线上。）
13 .一 个 腰 长 为 2 的 等 腰 直 角 三 角 形 绕 着 斜 边 上 的 高 所 在 直 线 旋 转 180 形 成 的 封 闭 曲 面 所 围 成 的 图 形 的 体 积 为
1 4 . 一 根 弹 簧 ， 挂 4 N 的 物 体 时 ， 长 2 0 c m . 在 弹 性 限 度 内 ， 所 挂 物 体 的 重 量 每 增 加 1 N ， 弹 簧 就 伸 长 1 .5 c m , 则 弹 簧 的 长 度 l ( c m )与 所 挂 物 体 重 量 G ( N )的 关 系 方 程 为
1 5 . D A B C 中 ， B C = 4， A B = 2 A C , 则 S
- 76 -
D ABC
- 76 -
的 最 大 值 为
16.已知
- 76 -
O : x + y = 4 （注：横、纵坐标都是有理数的点称为有理点）
2 2
① O 上只有四个有理点；② O 上有无数个有理点；③ O 上只有有限个无理点；
④ O 上点 (1 , 3 ) 处的切线方程为 x +
- 76 -
3 y - 4 = 0 .
以上结论正确的序号为
三.解答题（17-21 每小题 12 分， 22 题 14 分，共 74 分. 在答题卷上解答，解答应写出文字 说明，证明过程或演算步骤.）
1 7 . 已 知 直 线 l
- 76 -
: 2 x + y + 2 = 0， l : m x + 4 y + n = 0 .
1 2
( 1 ) 若 l
- 76 -
^ l ，求 m 的 值 ;
1 2
1 2
( 2 ) 若 l l
- 76 -
，且 它 们 的 距 离 为
- 76 -
5 ， 求 m 、 n 的 值 .
18.一块边长为 10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等 腰三角形加工成一个正四棱锥（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四 棱锥）形容器。
（1）试把容器的容积 V 表示为 x 的函数;
（2）若 x=6，① 求图 2 的主视图的面积；②求异面直线 EB 与 DC 所成角的正切值.
E
y
5 D C
O
x A B
图1 图2
1 9 . 已 知
- 76 -
O 的 方 程 为 x 2 + y 2 = 4 , A (1 , 1 )， B ( - 2 , 6 ) .
2 2
( 1 ) 若 点 P 为
- 76 -
O 上 动 点 ， 求 P A
+
- 76 -
P B
- 76 -
的 最 大 值 ；
( 2 ) 直 线 l 过 点 A ， 被
- 76 -
O 截 得 弦 长 为 2
- 76 -
3 ， 求 直 线 l 的 方 程 ..
2 0 . A B 是
- 76 -
O 的 直 径 ， P A 垂 直 于
- 76 -
O 所 在 的 平 面 ， C 是 圆 周 上 不 同 于 A , B 的 任 意 一 点 .
( 1 ) 求 证 ： 平 面 P A C ^ 平 面 P B C ；
( 2 ) 若 P A = 4， A B = 6， Ð A B C = 3 0 ,
① 求 直 线 P C 与 平 面 P A B 所 成 角 的 正 弦 值 ;
② 求 A C 与 P B 所 成 角 的 正 切 值 .
21. 如图（1）ABCD 为矩形，其中 BC 边长度为 2，AB 边长度为 1，E 为 AD 的中点，将
- 76 -
D ABE
延 BE 折叠使得平面 A B E
- 76 -
^ 平 面 B E D C
- 76 -
，连结 AC、AD(见图 2).
A E D
- 76 -
A A
M
D D
E N E
A B
B C C
图1 图2
- 76 -
图3 C
( 1 )求 图 2 的 侧 视 图 的 面 积 ;
( 2 ) 求 二 面 角 A - C D - B 所 成 角 的 正 切 值 ;
( 3 )点 M 在 A D 上 ， 且 A M
- 76 -
: M D = 4 ：1， 点 N 在 棱 A C 上 ， B N
- 76 -
平 面 E M C ， 求 A N 的 值 .
22. 已知圆 C 的周长被 y 轴平分，且经过点 A (
- 76 -
3 , 0 ) , B ( 0 , 3 ) .
(1)求圆 C 的方程；
(2)直线 l : x - y - 3 = 0 交 y 轴于点 E，M 为圆 C 上的动点，求向量 EM 在直线 l 上的投影的 最大值；
(3)若 P ( x , y ) 为圆 C 上及内部的点，求 x + 2 y - 2 + 8 - x - y
- 76 -
的最小值.
一．选择题
- 76 -
成都七中 2015 - 2016 学年上期
2017 届半期考试数学试卷( 参考答案) （文科） 考试时间：120 分钟 总分：150 分
1-5 DCABC 6-10 BADDB 11-12 CA
二、填空题
13. 2 2p 14. l = 1.5G + 14
3
三、解答题
17.解： 设直线l 、l 的斜率分别为k 、k ，则k
- 76 -
15. 16
3
= -2、k
- 76 -
16. ②④
= - m . 2分
1 2 1 2 1 2 4
m
(1) 若l1 ^ l2 ，则k1k2 =
- 76 -
= -1，\m = -2 . 6分
2
m
(2) 若l1
- 76 -
l2 ，则 - 2 = - ，\ m = 8 .
4
n
\ l2 可以化简为2x + y + = 0 ,
4
2 - n
\ l1与l2的距离为
- 76 -
4 = 5 ,
5
\n = 28 或-12 . 12分
18.解：（1）由图 2，可知 OF = x , EO =
- 76 -
25 - x ,
2
2 4
\V = 1 × S
- 76 -
EO = 1 x2
- 76 -
25 - x
- 76 -
(0 < x < 10) . 4分
2
3 ABCD 3 4 E
（2）①取 AD 中点 G，联结 GO，GE.
\主视图为DEGF ,
D C
G O
GF = 6 , EO = 4 , A B
\SDEGF
- 76 -
= 1 GF × EO = 1 ´ 6´ 4 = 12 . 8分 E
2 2
②取 AB 中点 H，联结 EH，则 EH ^ AB，HB = 3 .,
ABCD为正方形,\ AB CD .
\EB与CD所成角为ÐEBH ,
- 76 -
D C
G O
A H B
\tan ÐEBH = EH
HB
- 76 -
= 5 . 12分
3
19.解：（1） 设P (x, y)，则x2 + y2 = 4 ,
则 PA 2 + PB 2 = (x -1)2 + ( y -1)2 + (x + 2)2 + ( y - 6)2
= 2x2 + 2x + 2 y2 -14 y + 42
= 2 ( x - 7 y ) + 50
令x = 2cosq, y = 2sinq ,
则 PA 2 + PB 2 = 4(cosq - 7 sinq ) + 50 = 20 2 sin(q + j) + 50 ,
2 2
\ PA
+ PB
的最大值为20
2+50 . 6分
（2） 设直线l方程为y -1 = k ( x -1)，即kx - y +1- k = 0 ,
则点O (0,0)到直线 l 的距离d =
1- k
,
k 2 +1
1- k
, 又弦长为2 3， O半径为2，则d = = 1 , 解得:k=0 .
k 2 +1
\直线l 方程为: y = 1. 10分
又直线:x = 1也满足 ,
\直线l的方程为：y = 1和x = 1. 12分
20.解：（1） 证明：设
O所在平面为a，又已知条件有PA ^ a, BC Ì a,
\PA ^ BC.
AB为
O的直径，C是圆周上不同于A, B的任意一点,
- 76 -
\ÐBCA = 90O ,即BC ^ AC.
又以内PA与AC是DPAC所在平面内的两条相交直线,
\ BC ^ 平面PAC,又
BC Ì 平面PBC,
\平面PAC ^ 平面PBC. 4分
（2）① 过C作CH ^ AB于H，连结PH. 由PA ^ 平面ABC,得PA ^ CH.
又PH Ç AB = H ,\CH ^ 平面PAB .
\ÐCPH为在直线PC 与平面PAB所成的角.
由CH = 1 BC = 3 3 ，PC =
2 2
PA2 + AC2 =
16 + 9 = 5.
\sin ÐCPH = CH
PC
= 3 3 . 8分
10
② 过A作AD BC交
O于D，连结BD .
AB为
O直径\ AC BD，ÐPBD或其补角为AC与PB所成角.
\四边形ABCD为平行四边形 ,
AB = 6，ÐABC = 30°，ÐACB = 90° \BD = AC = 3, BC = AD = 3 3 ,
\PD =
- 76 -
PA2 + AD2 =
27 +16 =
43 ,
同（1），易证BD ^ 平面PAD, \PD ^ BD. ,
\ tan ÐPBD = PD =
BD
43 .
3
12分
21.解：（1）由图可知侧视图为三角形，设BE 中点为O,连结AO..
AB = AE = 1 , O为BE中点 ,\ AO ^ BE. .
平面ABE ^ 平面BCDE，且AO Ì 平面ABE, ,
\ AO ^ 平面BCDE，则AO的长度即为侧视图的高的长度..
CD ^ BC
\CD的长度为侧视图的底边长,
\ S = 1 ´1´ 2 = 2 . 4分
D侧 2 2 4
（2） 取CD中点H，连结OH, AH,则OH ^ CD .
由（1）知，AO ^ 平面BCDE ,\ AH ^ CD .
\ÐAHO为二面角A - CD - B的平面角,\OH = 1 (ED + BC ) = 3，AO = 2 .
\ tan ÐAHO =
AO =
OH
2
. 8分
3
2 2 2
- 76 -
（3） 连结BD,交CE于P,连结PM
在梯形BCDE中，ED = 1，BC = 2, DE BC ,
\BP: PD = 2 :1, A Q
M
E D
N
取AM 中点Q,连BQ,由AM : MD = 4 :1,
P
\QM : MD = 2 :1 = BP : PD ,
\BQ PM . B C
在平面ACD内,过Q作QN CM 交AC 于N 由Q为AM中点，得N为AC中点 .
BQ PM ,QN MC,
又BQ Ë 平面MEC，PM Ì 平面MEC, NQ Ë 平面MEC, MC Ì 平面MEC.
\BQ
平面MEC，QE
平面MEC,又BQ ÇQE = Q .
\平面BQN
平面MEC,又BN Ì 平面BQN, \BN
平面BQN.
由N为AC中点，可知AN = 3 .
2
12分
22. 解：（1）由题意可知，圆 C 的圆心在 y 轴上，设圆心 C ( 0, b ) ，半径为 r.
\圆C的方程为 x2 + ( y - b)2 = r2 .
A, B 在圆 C 上, y
ìï(3 - b)2 = r2
\í
ìb = 1
, 解得 í ,
=
ïî3 + b2 = r2
îr 2
M
\圆 C 的方程为 x2 + ( y -1)2 = 4 . 4分 C
- 76 -
N
x
（2）如图，圆心 C ( 0 ，1) 到直线l 的距离 CF = 2 2 , F
由 E ( 0 ，- 3 )，得 EC = 4 ,
\ EF = 2 2 . E
过 C 作 CM l , 交圆 C 于 M，作 MN ^ l 于 N.
\向量EM 在直线l上投影的最大值为 EN = EF + FN = 2 2 + 2 . 8分
（3）由x2 + ( y -1)2 £ 4, 可知 8 - x - y > 0,令m = x + 2y - 2 + 8 - x - y , y
当x + 2y - 2 ³ 0时，m = y+6, 又 -1 £ y £ 3，则mmin = 5 .
当x + 2y - 2 £ 0时，m = -2x - 3y +10 ,
则 y = - 2 x + 1 (10 - m) ,
3 3
x+2y-2=0
C
ìïx2 + ( y -1)2 = 4
由í
ì 4 5
ïx = -
, 解得 ï 5
ì 4 5
ïx =
或 ï 5 .
Q x
8-x-y=0
í í
ïîx + 2 y - 2 = 0
ï y = 1 + 2 5
ï y = 1 - 2 5
îï 5 ïî 5
æ 4 5 2 5 ö
ç
如图，最小值在点 Q ,1 - 取得，m
= - 2 5 + 7 .
ç 5 5 ÷÷
min 5
è ø
- 76 -
综上得到 m 的最小值为 5. 14分
- 76 -
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