成都七中 2015－2016 学年度上期半期考试
高三年级数学试卷（理科）
考试时间：120 分钟 总分：150 分
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合 A = { x | x - 1 ³ 0}, B = { x | x 2 - x - 2 £ 0} ，则 A I B = （ ）
（A）{ x | 0 £ x £ 2}
- 113 -
（B）{ x | 1 £ x £ 2}
- 113 -
（C）{1,2 }
- 113 -
（D） F
2．式子 2 lg 5 + lg 12 - lg 3 = （ ）
（A） 2 （B）1 （C） 0 （D） - 2
3．已知向量 a = (1, l ) ， b = ( l ,4 ) ，若 a // b ，则实数 l
- 113 -
= （ ）
（A） 0 （B） ± 2
- 113 -
（C） - 2
- 113 -
（D） 2
4．函数 f ( x ) = sin 2 x + 1 的周期为（ ）
（A） 4p
- 113 -
（B） 2p
- 113 -
p
（C） p （D）
2
5． D ABC
- 113 -
的三内角为 A , B , C ，“ A > B ”是“ sin
- 113 -
A > sin
- 113 -
B ”的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
6．已知函数 f ( x ) = e x - e - x + 1 的导函数为 f / ( x ) ，则函数 f / ( x ) 的奇偶性为（ ）
（A）奇函数 （B）偶函数 （C）非奇非偶函数 （D）既是奇函数也是偶函数
p
7．已知 tan(
1
- 113 -
+ a ) = 2 ，则 sin 2a
4
1
- 113 -
= （ ）
3 3
（A） - （B）
3 3
1
- 113 -
（C） - （D）
5 5
8．函数 f ( x ) = ln
- 113 -
x + - 2 的零点个数为（ ）
x
（A）0 个 （B）1 个 C．2 个 （D）3 个
9．下列命题成立的是（ ）
0
（A） $ x
- 113 -
p
Î ( 0 ,
4
- 113 -
) ，使得 sin
- 113 -
1
x
0
x
=
0
cos
2
- 113 -
p
（B） " x Î [ 0 ,
4
- 113 -
] ，都有 sin
- 113 -
x + cos x < 2
p
0
（C） $ x Î (
2
- 113 -
, p ) ，使得 sin
- 113 -
x
0
x
0
- cos = 1
- 113 -
3p
（D） " x Î [
4
- 113 -
, 5p ] ，都有 sin 2 x £ cos 2 x
4
10．在 D ABC
- 113 -
中， cos
- 113 -
2 5
A = , cos
5
- 113 -
3 10
B =
10
- 113 -
，最长的边长为 5 ，则最短的边长为（ ）
5
（A） 2 （B）
2
- 113 -
3
（C）1 （D）
n
8
2
n
11．已知公差不为零的等差数列{a
- 113 -
} 的前 n 项和为 S ，且 S
- 113 -
= 4 p
- 113 -
，函数 f ( x ) = cos
- 113 -
x ( 2 sin
- 113 -
x + 1) ，则
1
f (a ) +
- 113 -
f (a
- 113 -
) + L +
- 113 -
f (a
- 113 -
) 的值为（ ）
2
8
（A） 0 （B） 4p
- 113 -
（C） 8p
- 113 -
（D）与a 有关
n
12．已知数列{ a
- 113 -
} 的前 n 项和为 S ， a
- 113 -
=
a
+
n n + 1
- 113 -
3 *
1
( n Î N
- 113 -
) ，有下列四个命题：
n
1 - 3 a
n
1
①若 a =
- 113 -
3 ，则 a
- 113 -
= 0 ；
3
1
1
②对任意的 a ( a ¹
- 113 -
3
n
) ，均有 a
3
3
- 113 -
*
n + 3
- 113 -
= a ( n Î N ) ；
1
③若 a
- 113 -
= tan a , a
- 113 -
= tan
- 113 -
b , a
- 113 -
= tan g
- 113 -
， a , b , g Î ( 0 ,2p ) ，则a , b , g 成等差数列；
2
3
1
④当 < a <
3
- 113 -
3 时， S
- 113 -
< 0 ．
3 n
其中正确的命题有（ ）
（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分）
13．已知 a = ( 2 ,- 1), b = (1,3) ，则 ( 2 a - b ) × a = ．
p
14．已知角a , b , g 构成公差为
3
- 113 -
2
的等差数列．若 c o s b = - ，则 co s a + c o s g = .
3
15．已知公比 q ¹ 1 的正项等比数列{ a
- 113 -
n
3
} ， a
- 113 -
= 1 ，函数 f ( x ) =
- 113 -
3
x
x
3 + 1
- 113 -
( x Î R ) ，则
a
1
f (ln ) +
- 113 -
f (ln ) +
- 113 -
f (ln ) +
- 113 -
f (ln ) +
- 113 -
f (ln
- 113 -
) = ．
1 2
a
2
a
3
a
4
a
5
16．函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上有定义，若对任意 x , x Î [ a , b ] ，有
+
- 113 -
x
x
2
f ( 1 ) £
2
- 113 -
1
1
[ f ( x ) +
2
- 113 -
f ( x )] ，则称 f ( x )
2
在 [ a , b ] 上具有性质 P．设 f ( x ) 在 [1, 2 0 1 5 ] 上具有性质 P．现给出如下命题：
① f ( x ) 在 [1, 2 0 1 5 ] 上的图象是连续不断的；
( )
②函数 f x 2 在 é1, 2 0 1 5 ù 上具有性质 P；
ë û
1
2
③对任意 x , x
- 113 -
3
4
, x , x
- 113 -
Î [1,2015
+
- 113 -
x
x
2
] ，有 f ( 1
+
- 113 -
x + x
3
4
- 113 -
4 ) £
- 113 -
1
1
[ f ( x ) +
4
- 113 -
2
f ( x ) +
- 113 -
3
f ( x ) +
- 113 -
4
f ( x
- 113 -
)] ；
④若 f ( x ) 在 x = 1008
- 113 -
处取得最大值 2016 ，则 f ( x ) = 2 0 1 6 , x Î [1, 2 0 1 5 ] ．
其中真命题的序号是 .
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
2
17.（本小题 10 分）已知集合 A = { x | x 2 - 3 x + 2 £ 0} ，函数 f ( x ) =
- 113 -
x - 2 ax
- 113 -
+ 1 .
（Ⅰ）当 a ¹ 0 时，解关于 x 的不等式 f ( x ) £ 3 a 2 + 1 ；
0
0
（Ⅱ）若命题“存在 x Î A ，使得 f ( x
- 113 -
) £ 0 ”为假命题，求实数 a 的取值范围.
/ /
18．（本小题 12 分）已知函数 f ( x ) = 2 x 3 - 3 x 2 -
- 113 -
f ( 0 ) x + c（ c Î R ），其中 f ( 0 ) 为函数 f ( x ) 在 x = 0
处的导数．
（Ⅰ）求函数 f ( x ) 的递减区间；
1
（Ⅱ）若函数 f ( x ) 的图象关于 (
2
- 113 -
,0 ) 对称，求实数 c 的值．
n + 1 n
19．（本小题 12 分）已知数列{ a - 2 a
- 113 -
} ( n Î N ) 是公比为 2 的等比数列，其中 a
- 113 -
= 1, a
- 113 -
= 4 ．
*
1
2
（Ⅰ）证明：数列{
- 113 -
a
n
n } 是等差数列；
n
2
n
（Ⅱ）求数列{ a
- 113 -
} 的前 n 项和 S ．
20．（本小题 12 分）已知向量 a = (sin
- 113 -
x + cos x ,
- 113 -
2 cos x ) ，b = (cos
- 113 -
x - sin x ,
- 113 -
2 sin
- 113 -
p
x ) ， x Î [ -
8
- 113 -
,0 ] ．
（Ⅰ）求 | a | 的取值范围；
（Ⅱ）求函数 f ( x ) = a × b - | a | 的值域．
21．（本小题 12 分） D ABC
- 113 -
的三内角 A , B , C
- 113 -
所对边长分别为 a , b , c ， D 为线段 BC 上一点，满足
b AB
+
- 113 -
c AC
- 113 -
= bc AD
- 113 -
， a 2 - b 2
- 113 -
= bc ,且 D ACD
- 113 -
与 D ABD
- 113 -
面积之比为 1:2．
（Ⅰ）求角 A 的大小；
（Ⅱ）求 D ABC
- 113 -
的面积．
m
22.（本小题 12 分）已知函数 f ( x ) = l e x - x 2 , g ( x ) = - x 2 +
2
然对数底数.
- 113 -
15
x - ( m > 0 ) ，其中 e = 2 .71828
2
- 113 -
× × × 是自
1
2
（Ⅰ）若函数 f ( x ) 有两个不同的极值点 x , x
- 113 -
,求实数 l 的取值范围；
（Ⅱ）当 l =1 时，求使不等式 f ( x ) > g ( x ) 在一切实数上恒成立的最大正整数 m .
成都七中2015－2016学年度上期半期考试
高三年级数学试卷（理科参考答案）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．B 2．A 3．B 4．C 5．C 6．B
7．D 8．C 9．D 10．C 11．A 12．C
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．11 14． 15． 16．③④
三、解答题（共70分）
17.解：（1）不等式整理得，即，
若，则解集为， …………………2分
若，则解集为． …………………4分
（2），
命题“存在，使得”的否定为：
“对任意的，均有成立”为真命题，…………………6分
即，只需， …………………8分
当时，，所以，即． …………………10分
18．解：（1），
令得， …………………3分
令，解得，
所以函数的递减区间为， …………………6分
（2）将函数向左平移后得到函数为：
， …………………9分
据题意知：函数为奇函数，即，
- 113 -
解得． …………………12分
19．解（1）由已知得， …………………2分
两端同除得：，
所以数列是以首项为，公差为的等差数列， …………………4分
（2）由（1）知，所以， …………………6分
，
则，
相减得：，
所以， …………………10分
即． …………………12分
20．解：（1）
…………………2分
因为，所以，即，………………4分
所以的取值范围是， …………………6分
（2）
，…………………8分
令，
所以，其值域为． …………………12分
- 113 -
A
C
B
D
21． 解（1）由得，
由正弦及余弦定理得：，…………………2分
,
整理得，即, …………………4分
由得，即为角的平分线，且，
所以， …………………6分
所以，
即． …………………8分
（2）由及得： …………………10分
所以，
． …………………12分
22．解（1），
据题意得有两个不同的根，
当时，在R上递减，不合题意，
所以，
又，令得，
所以函数在上递减，在上递增，…………………4分
所以有两个不同的根，则，
- 113 -
即，，
截得， …………………6分
（2）不等式对任意恒成立，
令，
，令得，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，
整理得， …………………9分
令，易得在上递减，
若，，
若，，
所以满足条件的最大整数. …………………12分
- 113 -
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