安徽省宿州市官桥中学2016届九年级数学上学期期中试题（含解析） 新人教版.doc

安徽省宿州市官桥中学2016届九年级数学上学期期中试题 一、精心选一选（每小题3分，共30分．）‎ ‎1．请判别下列哪个方程是一元二次方程( )‎ A．x+2y=1 B．x2+5=0 C．2x+=8 D．3x+8=6x+2‎ ‎2．方程x2=5x的根是( )‎ A．x=5 B．x=0 C．x1=0，x2=5 D．x1=0，x2=﹣5‎ ‎3．下列各组线段，能成比例的是( )‎ A．3，6，9，18 B．2，5，6，8 C．1，2，3，4 D．3，6，7，9‎ ‎4．一个家庭有两个孩子，两个都是女孩的概率是( )‎ A． B． C． D．无法确定 ‎5．若方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1，x2，则的值为( )‎ A．3 B．﹣3 C． D．﹣‎ ‎6．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且，则S△ADE：S四边形BCED的值为( )‎ A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4‎ ‎7．已知一元二次方程mx2+n=0（m≠0），若方程有解，则必须( )‎ A．n=0 B．mn同号 C．n是m的整数倍 D．mn异号 ‎8．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为( )‎ A．10米 B．12米 C．15米 D．22.5米 18‎ ‎9．将方程x2﹣2x﹣3=0化为（x﹣m）2=n的形式，指出m，n分别是( )‎ A．1和3 B．﹣1和3 C．1和4 D．﹣1和4‎ ‎10．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的两个根，则k的值是( )‎ A．27 B．36 C．27或36 D．18‎ 二．认真填一填：（每题3分，共30分）‎ ‎11．把方程2（x﹣2）2=x（x﹣1）化为一元二次方程的一般形式为__________．‎ ‎12．为了估计不透明的袋子里装有多少白球，先从袋中摸出10个球都做上标记，然后放回袋中去，充分摇匀后再摸出10个球，发现其中有一个球有标记，那么你估计袋中大约有__________个白球．‎ ‎13．菱形的面积为24，其中的一条对角线长为6，则此菱形的周长为__________．‎ ‎14．某钢铁厂今年1月份钢产量为4万吨，三月份钢产量为4.84万吨，每月的增长率相同，问2、3月份平均每月的增长率是__________．‎ ‎15．如图，△ABC中，DE∥BC，AD=2cm，AB=6cm，AE=1.5cm，则EC=__________．‎ ‎16．一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为8m，宽为5m、地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽？设花边的宽为x，则可得方程为__________．‎ ‎17．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线的长分别为12和8时，则阴影部分的面积为__________．‎ 18‎ ‎18．在实数范围内定义运算“★”，其规则为a★b=a2﹣b2，则方程（2★3）★x=9的根为__________．‎ ‎19．把一个转盘分成6等份，分别是红、黄、蓝、绿、白、黑，转动转盘两次，两次均是红色的概率是：__________．‎ ‎20．若方程（m﹣1）x|m|+1+2mx+3=0是关于x的一元二次方程，则m的值为__________．‎ 三．解答题：‎ ‎21．解方程 ‎①x2﹣7x+6=0 ‎ ‎②（5x﹣1）2=3（5x﹣1）‎ ‎③3x2+8x﹣3=0（用配方法） ‎ ‎④x2﹣2x+2=0（用公式法）‎ ‎22．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．求证：BD=BE．‎ ‎23．在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，EF是线段AC的中垂线，交AD、BC于E、F．‎ 求证：四边形AECF是菱形．‎ ‎24．在一个布口袋里装有红色、黑色、蓝色和白色的小球各1个，如果闭上眼睛随机地从布袋中取出一个球，记下颜色，放回布袋搅匀，再闭上眼睛随机的再从布袋中取出一个球．用树状图或列表法解决求：‎ ‎（1）连续两次恰好都取出白色球的概率；‎ ‎（2）连续两次恰好取出一红、一黑的概率．‎ ‎25．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？‎ ‎26．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t．‎ 18‎ ‎（1）t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的？‎ ‎（2）运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？‎ ‎（3）在运动过程中，PQ的长度能否为1cm？试说明理由．‎ 18‎ ‎2015-2016学年安徽省宿州市官桥中学九年级（上）期中数学试卷 一、精心选一选（每小题3分，共30分．）‎ ‎1．请判别下列哪个方程是一元二次方程( )‎ A．x+2y=1 B．x2+5=0 C．2x+=8 D．3x+8=6x+2‎ ‎【考点】一元二次方程的定义．‎ ‎【分析】利用定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程判定即可．‎ ‎【解答】解：A、x+2y=1是二元一次方程，故A选项错误；‎ B、x2+5=0是一元二次方程，故B选项正确；‎ C、2x+=8是分式方程，故C选项错误；‎ D、3x+8=6x+2是一元一次方程，故D选项错误．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义．‎ ‎2．方程x2=5x的根是( )‎ A．x=5 B．x=0 C．x1=0，x2=5 D．x1=0，x2=﹣5‎ ‎【考点】解一元二次方程-因式分解法．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】由于方程左右两边都含有x，所以用提公因式法比较简单．‎ ‎【解答】解：把方程移项得，x2﹣5x=0即x（x﹣5）=0，‎ 解得x1=0，x2=5．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查用因式分解法解一元二次方程，要先移项再解方程，不要漏掉一个根．‎ ‎3．下列各组线段，能成比例的是( )‎ A．3，6，9，18 B．2，5，6，8 C．1，2，3，4 D．3，6，7，9‎ ‎【考点】比例线段．‎ ‎【分析】根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．‎ ‎【解答】解：A、3×18=6×9，故本选项正确；‎ B、2×8≠5×6，故本选项错误；‎ C、1×4≠2×3，故本选项错误；‎ D、3×9≠6×7，故本选项错误．‎ 故选A．‎ ‎【点评】考查了比例线段的概念．注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．‎ ‎4．一个家庭有两个孩子，两个都是女孩的概率是( )‎ 18‎ A． B． C． D．无法确定 ‎【考点】列表法与树状图法．‎ ‎【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两个都是女孩的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．‎ ‎【解答】解：画树状图得：‎ ‎∵共有4种等可能的结果，两个都是女孩的有1种情况，‎ ‎∴两个都是女孩的概率是：．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎5．若方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1，x2，则的值为( )‎ A．3 B．﹣3 C． D．﹣‎ ‎【考点】根与系数的关系．‎ ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】已知方程x2﹣3x﹣1=0，由根与系数的关系得：x1+x2=﹣=3，x1•x2==﹣1，再把所求式子通分、代值可求解．‎ ‎【解答】解：由根与系数的关系得：x1+x2=﹣=3，x1•x2==﹣1．‎ ‎∴==﹣3．故选B．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要会代数式变形为两根之积或两根之和的形式．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1•x2=．‎ ‎6．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且，则S△ADE：S四边形BCED的值为( )‎ 18‎ A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】首先根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，证得△ADE∽△ACB，再由相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求得答案．‎ ‎【解答】解：在△ADE与△ACB中，‎ ‎，‎ ‎∴△ADE∽△ACB，‎ ‎∴S△ADE：S△ACB=（AE：AB）2=1：4，‎ ‎∴S△ADE：S四边形BCED=1：3．‎ 故选C．‎ ‎【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意相似三角形的面积的比等于相似比的平方．‎ ‎7．已知一元二次方程mx2+n=0（m≠0），若方程有解，则必须( )‎ A．n=0 B．mn同号 C．n是m的整数倍 D．mn异号 ‎【考点】解一元二次方程-直接开平方法．‎ ‎【分析】由mx2+n=0移项得mx2=﹣n，再两边同时除以m，可得x2=﹣，再根据偶次幂的非负性可得mn异号．‎ ‎【解答】解：mx2+n=0，‎ mx2=﹣n，‎ x2=﹣，‎ ‎∵x2≥0，m≠0，‎ ‎∴mn异号，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．‎ ‎8．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为( )‎ 18‎ A．10米 B．12米 C．15米 D．22.5米 ‎【考点】相似三角形的应用．‎ ‎【专题】应用题．‎ ‎【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．‎ ‎【解答】解：∵=‎ 即=，‎ ‎∴楼高=10米．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．‎ ‎9．将方程x2﹣2x﹣3=0化为（x﹣m）2=n的形式，指出m，n分别是( )‎ A．1和3 B．﹣1和3 C．1和4 D．﹣1和4‎ ‎【考点】解一元二次方程-配方法．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．‎ ‎【解答】解：移项得x2﹣2x=3，‎ 配方得x2﹣2x+1=4，‎ 即（x﹣1）2=4，‎ ‎∴m=1，n=4．‎ 故选C．‎ ‎【点评】用配方法解一元二次方程的步骤：‎ ‎（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．‎ ‎（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．‎ ‎10．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的两个根，则k的值是( )‎ A．27 B．36 C．27或36 D．18‎ ‎【考点】等腰三角形的性质；一元二次方程的解．‎ ‎【专题】分类讨论．‎ ‎【分析】‎ 18‎ 由于等腰三角形的一边长3为底或腰不能确定，故应分两种情况进行讨论：①当3为腰时，其他两条边中必有一个为3，把x=3代入原方程可求出k的值，进而求出方程的另一根，再根据三角形的三边关系判断是否符合题意即可；②当3为底时，则其他两条边相等，即方程有两个相等的实数根，由△=0可求出k的值，再求出方程的两个根进行判断即可．‎ ‎【解答】解：分两种情况：‎ ‎①当其他两条边中有一个为3时，将x=3代入原方程，‎ 得32﹣12×3+k=0，‎ 解得k=27．‎ 将k=27代入原方程，‎ 得x2﹣12x+27=0，‎ 解得x=3或9．‎ ‎3，3，9不能够组成三角形，不符合题意舍去；‎ ‎②当3为底时，则其他两条边相等，即△=0，‎ 此时144﹣4k=0，‎ 解得k=36．‎ 将k=36代入原方程，‎ 得x2﹣12x+36=0，‎ 解得x=6．‎ ‎3，6，6能够组成三角形，符合题意．‎ 故k的值为36．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，一元二次方程根的判别式及三角形的三边关系，在解答时要注意分类讨论，不要漏解．‎ 二．认真填一填：（每题3分，共30分）‎ ‎11．把方程2（x﹣2）2=x（x﹣1）化为一元二次方程的一般形式为x2﹣7x+8=0．‎ ‎【考点】一元二次方程的一般形式．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】方程左边利用完全平方公式展开，右边利用单项式乘以多项式法则计算，移项合并即可得到一般形式．‎ ‎【解答】解：2（x﹣2）2=x（x﹣1），‎ 整理得：2x2﹣8x+8=x2﹣x，‎ 移项合并得：x2﹣7x+8=0，‎ 则方程化为一般形式为x2﹣7x+8=0．‎ 故答案为：x2﹣7x+8=0‎ ‎【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）．‎ ‎12．为了估计不透明的袋子里装有多少白球，先从袋中摸出10个球都做上标记，然后放回袋中去，充分摇匀后再摸出10个球，发现其中有一个球有标记，那么你估计袋中大约有100个白球．‎ ‎【考点】利用频率估计概率．‎ ‎【专题】应用题．‎ ‎【分析】根据概率公式，设袋中大约有x个球，由题意得=，求解即可．‎ ‎【解答】解：∵摸出10个球，发现其中有一个球有标记，‎ 18‎ ‎∴带有标记的球的频率为，设袋中大约有x个球，由题意得=， ‎ ‎∴x=100个．‎ 故本题答案为：100．‎ ‎【点评】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．‎ ‎13．菱形的面积为24，其中的一条对角线长为6，则此菱形的周长为20．‎ ‎【考点】菱形的性质．‎ ‎【分析】由菱形的性质得出AB=BC=CD=AD，OA=AC，OB=BD=3，AC⊥BD，由菱形的面积求出AC，得出OA，由勾股定理求出AB，即可得出菱形的周长．‎ ‎【解答】解：如图所示：‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB=BC=CD=AD，OA=AC，OB=BD=3，AC⊥BD，‎ ‎∴∠AOB=90°，‎ ‎∵菱形的面积为24，‎ ‎∴AC•BD=24，‎ 即×AC×6=24，‎ 解得：AC=8，‎ ‎∴OA=4，‎ 在Rt△AOB中，由勾股定理得：‎ AB===5，‎ ‎∴菱形的周长=4×5=20；‎ 故答案为：20．‎ ‎【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理、菱形面积的计算；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出菱形的边长是解决问题的关键．‎ ‎14．某钢铁厂今年1月份钢产量为4万吨，三月份钢产量为4.84万吨，每月的增长率相同，问2、3月份平均每月的增长率是10%．‎ ‎【考点】一元二次方程的应用．‎ ‎【分析】要求平均每月的增长率，需设每月增长率为x，据题意可知：三月份钢产量=4.84万吨，依此等量关系列出方程，求解即可．‎ ‎【解答】解：设2、3月份平均每月的增长率是x万吨，则二月份钢产量为4（1+x）万吨，三月份钢产量为4（1+x）2万吨，‎ 由题意可得：4（1+x）2=4.84，‎ 18‎ 解得：x1=0.1=10%，x2=﹣2.1（不合题意舍去），‎ 答：2、3月份平均每月的增长率是10%．‎ ‎【点评】解题的关键在于理解清楚题目的意思，根据条件找出等量关系，列出方程求解．本题需注意根据题意分别列出二、三月份钢产量的代数式．‎ ‎15．如图，△ABC中，DE∥BC，AD=2cm，AB=6cm，AE=1.5cm，则EC=3cm．‎ ‎【考点】平行线分线段成比例．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】根据平行线得出=，代入后得出=，求出AC，代入EC=AC﹣AE求出即可．‎ ‎【解答】解：∵DE∥BC，‎ ‎∴=，‎ ‎∵AD=2cm，AB=6cm，AE=1.5cm，‎ ‎∴=，‎ 解得：AC=4.5，‎ ‎∴EC=AC﹣AE=4.5﹣1.5=3（cm），‎ 故答案为：3cm．‎ ‎【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：对应成比例：根据DE∥BC得出=，题型较好，难度适中．‎ ‎16．一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为8m，宽为5m、地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽？设花边的宽为x，则可得方程为（8﹣2x）×（5﹣2x）=18．‎ ‎【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．‎ ‎【专题】几何图形问题．‎ ‎【分析】等量关系为：（8﹣2×花边的宽）×（5﹣2×花边的宽）=18．‎ ‎【解答】解：可得方程为：（8﹣2x）×（5﹣2x）=18．‎ ‎【点评】解决本题的关键是得到相应的等量关系，难点是得到中央长方形图案的长与宽．‎ 18‎ ‎17．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线的长分别为12和8时，则阴影部分的面积为24．‎ ‎【考点】菱形的性质．‎ ‎【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，即可得出结果．‎ ‎【解答】解：如图所示：∵菱形ABCD的两条对角线的长分别为12和8，‎ ‎∴菱形ABCD的面积=×12×8=48，‎ ‎∵O是菱形两条对角线的交点，菱形ABCD是中心对称图形，‎ ‎∴△OEG≌△OFH，四边形OMAH≌四边形≌四边形ONCG，四边形OEDM≌四边形OFBN，‎ ‎∴阴影部分的面积=S菱形ABCD=×48=24．‎ 故答案为：24．‎ ‎【点评】本题考查了中心对称、菱形的性质；熟记菱形的性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．‎ ‎18．在实数范围内定义运算“★”，其规则为a★b=a2﹣b2，则方程（2★3）★x=9的根为x1=4，x2=﹣4．‎ ‎【考点】解一元二次方程-直接开平方法．‎ ‎【专题】新定义．‎ ‎【分析】根据新定义列出方程，把方程的左边化成完全平方的形式，右边是一个非负数，用直接开平方法求出方程的根．‎ ‎【解答】解：根据新定义可以列方程：‎ ‎（22﹣32）★x=9，‎ ‎（﹣5）2﹣x2=9，‎ ‎25﹣x2=9，‎ x2=16，‎ x1=4，x2=﹣4．‎ 故答案为：x1=4，x2=﹣4．‎ ‎【点评】本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程，根据新定义列出方程，把方程的左边化成完全平方的形式，一般是一个非负数，用直接开平方法求出方程的根．‎ 18‎ ‎19．把一个转盘分成6等份，分别是红、黄、蓝、绿、白、黑，转动转盘两次，两次均是红色的概率是：．‎ ‎【考点】列表法与树状图法．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】先列表展示所有36种等可能的结果数，然后找出两次均是红色的结果数，再根据概率公式计算即可．‎ ‎【解答】解：列表如下：‎ 共有36种等可能的结果数，其中两次均是红色占1种，‎ 所以两次均是红色的概率是．‎ 故答案为 ‎【点评】本题考查了列表法与树状图法：先用用列表法或树状图法列出所有可能的结果，再从中选出符合事件A或B的结果数目，求出概率．‎ ‎20．若方程（m﹣1）x|m|+1+2mx+3=0是关于x的一元二次方程，则m的值为﹣1．‎ ‎【考点】一元二次方程的定义．‎ ‎【分析】根据“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”可得：|m|+1=2，且m﹣1≠0，再解即可．‎ ‎【解答】解：由题意得：|m|+1=2，且m﹣1≠0，‎ 解得：m=﹣1，‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．‎ 三．解答题：‎ ‎21．解方程 ‎①x2﹣7x+6=0 ‎ ‎②（5x﹣1）2=3（5x﹣1）‎ ‎③3x2+8x﹣3=0（用配方法） ‎ 18‎ ‎④x2﹣2x+2=0（用公式法）‎ ‎【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法．‎ ‎【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；‎ ‎（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；‎ ‎（3）移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；‎ ‎（4）求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．‎ ‎【解答】解：①x2﹣7x+6=0，‎ ‎（x﹣6）（x﹣1）=0，‎ x﹣6=0，x﹣1=0，‎ x1=6，x2=1；‎ ‎②（5x﹣1）2=3（5x﹣1），‎ ‎（5x﹣1）2﹣3（5x﹣1）=0，‎ ‎（5x﹣1）（5x﹣1﹣3）=0，‎ ‎5x﹣1=0，5x﹣1﹣3=0，‎ x1=，x2=；‎ ‎③3x2+8x﹣3=0，‎ ‎3x2+8x=3，‎ x2+x=1，‎ x2+x+（）2=1+（）2，‎ ‎（x+）2=，‎ x+=±，‎ x1=，x2=﹣3；‎ ‎④x2﹣2x+2=0，‎ b2﹣4ac=（2）2﹣4×1×2=0，‎ x=，‎ x1=，x2=．‎ ‎【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．‎ ‎22．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．求证：BD=BE．‎ 18‎ ‎【考点】矩形的性质；平行四边形的判定与性质．‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】根据矩形的对角线相等可得AC=BD，对边平行可得AB∥CD，再求出四边形ABEC是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得AC=BE，从而得证．‎ ‎【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AC=BD，AB∥CD，‎ 又∵BE∥AC，‎ ‎∴四边形ABEC是平行四边形，‎ ‎∴AC=BE，‎ ‎∴BD=BE．‎ ‎【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并求出四边形ABEC是平行四边形是解题的关键．‎ ‎23．在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，EF是线段AC的中垂线，交AD、BC于E、F．‎ 求证：四边形AECF是菱形．‎ ‎【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】首先根据题意画出图形，再证明△AOE≌△COF，进而得到AE=CF，再根据垂直平分线的性质证明AE=CE=AF=CF，可得四边形AECF是菱形．‎ ‎【解答】证明：∵O是AC的中点，‎ ‎∴AO=CO，‎ 又∵在矩形ABCD中，AD∥BC，‎ ‎∴∠1=∠2‎ ‎∴在△AOE和△COF中，‎ ‎，‎ ‎∴△AOE≌△COF（ASA），‎ ‎∴AE=CF，‎ 又∵EF是AC的垂直平分线，‎ ‎∴AE=CE，AF=CF，‎ ‎∴AE=CE=AF=CF，‎ ‎∴四边形AECF是菱形．‎ 18‎ ‎【点评】此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握四条边都相等的四边形是菱形．‎ ‎24．在一个布口袋里装有红色、黑色、蓝色和白色的小球各1个，如果闭上眼睛随机地从布袋中取出一个球，记下颜色，放回布袋搅匀，再闭上眼睛随机的再从布袋中取出一个球．用树状图或列表法解决求：‎ ‎（1）连续两次恰好都取出白色球的概率；‎ ‎（2）连续两次恰好取出一红、一黑的概率．‎ ‎【考点】列表法与树状图法．‎ ‎【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与连续两次恰好都取出白色球的情况，再利用概率公式即可求得答案；‎ ‎（2）由（1）中的树状图，可求得连续两次恰好取出一红、一黑的情况，再利用概率公式即可求得答案．‎ ‎【解答】解：（1）画树状图得：‎ ‎∵共有16种等可能的结果，连续两次恰好都取出白色球的只有1种情况，‎ ‎∴连续两次恰好都取出白色球的概率为：；‎ ‎（2）∵连续两次恰好取出一红、一黑的有2种情况，‎ ‎∴连续两次恰好取出一红、一黑的概率为：=．‎ ‎【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎25．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？‎ ‎【考点】一元二次方程的应用．‎ ‎【专题】销售问题；压轴题．‎ ‎【分析】设每千克水果应涨价x元，得出日销售量将减少20x千克，再由盈利额=每千克盈利×日销售量，依题意得方程求解即可．‎ ‎【解答】解：设每千克水果应涨价x元，‎ 依题意得方程：（500﹣20x）（10+x）=6000，‎ 整理，得x2﹣15x+50=0，‎ 18‎ 解这个方程，得x1=5，x2=10．‎ 要使顾客得到实惠，应取x=5．‎ 答：每千克水果应涨价5元．‎ ‎【点评】解答此题的关键是熟知此题的等量关系是：盈利额=每千克盈利×日销售量．‎ ‎26．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t．‎ ‎（1）t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的？‎ ‎（2）运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？‎ ‎（3）在运动过程中，PQ的长度能否为1cm？试说明理由．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用．‎ ‎【专题】几何动点问题．‎ ‎【分析】（1）根据三角形的面积列方程即可求出结果；‎ ‎（2）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，①若Rt△ABC∽Rt△QPC，②若Rt△ABC∽Rt△PQC，然后列方程求解；‎ ‎（3）根据勾股定理列方程，此方程无解，于是得到在运动过程中，PQ的长度能否为1cm．‎ ‎【解答】解：（1）经过t秒后，PC=4﹣2t，CQ=t，‎ 当△CPQ的面积等于△ABC面积的时，‎ 即（4﹣2t）•t=××3×4，‎ 解得；t=或t=；‎ ‎∴经过或秒后，△CPQ的面积等于△ABC面积的；‎ ‎（2）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，‎ ‎①若Rt△ABC∽Rt△QPC则=，即=，解之得t=1.2；‎ ‎②若Rt△ABC∽Rt△PQC则=，=，解之得t=；‎ 由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t＜2，‎ 验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件．所以可知要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间为1.2或秒；‎ 18‎ ‎（3）∵∠C=90°，‎ ‎∴（4﹣2t）2+t2=1，‎ ‎∵此方程无实数解，‎ ‎∴在运动过程中，PQ的长度不能为1cm．‎ ‎【点评】本题考查了动点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，特别是（2）注意分类讨论．‎ 18‎