甘肃省白银三中2016届九年级数学上学期期中试题
一、细心选一选：（每题3分，共30分，把答案添在下表中）
1．将方程x2+4x+1=0配方后，原方程变形为( )
A．（x+2）2=3 B．（x+4）2=3 C．（x+2）2=﹣3 D．（x+2）2=﹣5
2．两道单选题都含有A、B、C、D四个选项，瞎猜这两道题恰好全部猜对的概率为( )
A． B． C． D．
3．如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子( )
A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．先变短后变长 D．先变长后变短
4．到三角形三条边的距离相等的点是三角形( )
A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点
C．三边的垂直平分线的交点 D．三条中线的交点
5．如图，已知∠ABC=∠DCB，下列条件中不能使△ABC≌△DCB的是( )
A．AB=DC B．AC=DB C．∠1=∠2 D．∠A=∠D
6．若四边形两条对角线相等，则顺次连接其各边中点得到的四边形是( )
A．菱形 B．矩形 C．梯形 D．正方形
7．方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形是周长是( )
A．12 B．15 C．12或15 D．9或15或18
8．人离窗子越远，向外眺望时此人的盲区是( )
A．变小 B．变大 C．不变 D．以上都有可能
9．下列说法：①平行四边形的对角线互相平分；②菱形的对角线互相垂直平分；③矩形的对角线相等，并且互相平分；④正方形的对角线相等，并且互相垂直平分．其中正确的是( )
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
20
10．有一张矩形纸片ABCD，AB=2.5，AD=1.5，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AC与BC交于点F（如下图），则CF的长为( )
A．0.5 B．0.75 C．1 D．1.25
二、仔细填一填：（每题4分，共40分）
11．已知x=﹣2是一元二次方程x2﹣mx+5=0的一个解，则m=__________．
12．已知菱形的面积为24cm2，一条对角线长为6cm，则这个菱形的周长是__________厘米．
13．写出“全等三角形的面积相等”的逆命题__________．
14．方程x2=x的解是__________．
15．已知正方形的对角线长为8cm，则正方形的面积是__________．
16．如图：（A）（B）（C）（D）是一天中四个不同时刻的木杆在地面上的影子，将它们按时间先后顺序进行排列，为__________．
17．张华同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为2米，与他邻近的一棵树的影长为6米，则这棵树的高为__________米．
18．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为__________．
19．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC的角平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DE=__________cm．
20
20．如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边，延长AB到E，使AE=AC，以AE为一边作菱形AEFC，若菱形的面积为，则正方形边长为__________．
三．动手画一画：（共15分）（不写作法，保留作图痕迹）
21．如图，晚上，小亮在广场上乘凉．图中线段AB表示站在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯．
（1）请你在图中画出小亮在照明灯（P）照射下的影子；
（2）如果灯杆高PO=12m，小亮的身高AB=1.6m，小亮与灯杆的距离BO=13m，请求出小亮影子的长度．
22．在下面指定位置画出此实物图的三种视图．
20
四．认真算一算（每小题10分共10分）
23．解方程：
（1）2x2﹣4x﹣3=0
（2）（x﹣3）2=2（3﹣x）
五．解答题（共56分）
24．为执行“两免一补”政策，我县2011年投入教育经费2500万元，预计到2013年投入教育经费3600万元．请你求出我县从2011年到2013年投入教育经费的平均增长率是多少？
25．如图，正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）若∠BEC=60°，求∠EFD的度数．
26．一农户用24米长的篱笆围成一面靠墙（墙长为12米），大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍，（如图）鸡场的面积能够达到32米2吗？若能，给出你的方案；若不能，请说明理由．
27．如图，在一块长35m，宽26m的矩形地面上修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应该为多少？
28．（14分）在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A⇒B⇒C向终点C运动，连接DM交AC于点N．
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（1）如图1，当点M在AB边上时，连接BN：
①求证：△ABN≌△ADN；
②若∠ABC=60°，AM=4，∠ABN=α，求点M到AD的距离及tanα的值．
（2）如图2，若∠ABC=90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）．试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．
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2015-2016学年甘肃省白银三中九年级（上）期中数学试卷
一、细心选一选：（每题3分，共30分，把答案添在下表中）
1．将方程x2+4x+1=0配方后，原方程变形为( )
A．（x+2）2=3 B．（x+4）2=3 C．（x+2）2=﹣3 D．（x+2）2=﹣5
【考点】解一元二次方程-配方法．
【专题】配方法．
【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：∵x2+4x+1=0，
∴x2+4x=﹣1，
∴x2+4x+4=﹣1+4，
∴（x+2）2=3．
故选：A．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
2．两道单选题都含有A、B、C、D四个选项，瞎猜这两道题恰好全部猜对的概率为( )
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】分别求出每一道题猜对的概率，再把两道题猜对的概率相乘即可．
【解答】解：对于每一道题本身而言．猜对的概率为
1
4
，
设A表示第一道选择题答对，B表示第二道选择题答对．
因为两道单项题之间没有联系．所以A与B相互独立．
故P（AB）=P（A）×P（B）=
1
4
×
1
4
=
1
16
．
20
故选D．
【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
3．如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子( )
A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．先变短后变长 D．先变长后变短
【考点】中心投影．
【分析】根据中心投影的特点：等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．进行判断即可．
【解答】解：因为小亮由A处走到B处这一过程中离光源是由远到近再到远的过程，所以他在地上的影子先变短后变长．
故选C．
【点评】本题综合考查了中心投影的特点和规律．中心投影的特点是：
①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；
②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．
4．到三角形三条边的距离相等的点是三角形( )
A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点
C．三边的垂直平分线的交点 D．三条中线的交点
【考点】角平分线的性质．
【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
【解答】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴到三角形三条边的距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，
故选：A．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
5．如图，已知∠ABC=∠DCB，下列条件中不能使△ABC≌△DCB的是( )
A．AB=DC B．AC=DB C．∠1=∠2 D．∠A=∠D
20
【考点】全等三角形的判定．
【分析】由两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，可判定A正确；由两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等，可判定C正确；由两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，即可判定D正确．
【解答】解：A、在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SAS）；故本选项能使△ABC≌△DCB；
B、本选项不能使△ABC≌△DCB；
C、在ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（ASA）；故本选项能使△ABC≌△DCB；
D、在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（AAS）；故本选项能使△ABC≌△DCB．
故选B．
【点评】此题考查了全等三角形的判定．注意利用SSS，SAS，ASA，AAS即可判定三角形全等．
6．若四边形两条对角线相等，则顺次连接其各边中点得到的四边形是( )
A．菱形 B．矩形 C．梯形 D．正方形
【考点】中点四边形．
【分析】根据四边形的两条对角线相等，由三角形的中位线定理，可得所得的四边形的四边相等，则所得的四边形是菱形．
【解答】解：如图，AC=BD，E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，
则EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，
根据三角形的中位线的性质知，EH=FG=BD，EF=HG=AC，
∵AC=BD，
∴EH=FG=FG=EF，
∴四边形EFGH是菱形．
故选：A．
【点评】
20
本题考查了中点四边形，三角形的中位线定理，难度中等，需要掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，另外要知道四边相等的四边形是菱形．
7．方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形是周长是( )
A．12 B．15 C．12或15 D．9或15或18
【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【分析】先求出方程的解，得出三角形的三边长，看看是否符合三角形的三边关系定理，求出即可．
【解答】解：x2﹣9x+18=0，
（x﹣3）（x﹣6）=0，
x﹣3=0，x﹣6=0，
x1=3，x2=6，
有两种情况：①三角形的三边为3，3，6，此时不符合三角形三边关系定理，
②三角形的三边为3，6，6，此时符合三角形三边关系定理，此时三角形的周长为3+6+6=15，
故选B．
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理，等腰三角形的性质，解一元二次方程的应用，解此题的关键是求出三角形的三边长，难度适中．
8．人离窗子越远，向外眺望时此人的盲区是( )
A．变小 B．变大 C．不变 D．以上都有可能
【考点】视点、视角和盲区．
【分析】根据视角与盲区的关系来判断．
【解答】解：如图：AB为窗子，EF∥AB，过AB的直线CD，
通过想象我们可以知道，不管在哪个区域，离窗子越远，视角就会越小，盲区就会变大．
故选B．
【点评】本题是结合实际问题来考查学生对视点，视角和盲区的理解能力．
9．下列说法：①平行四边形的对角线互相平分；②菱形的对角线互相垂直平分；③矩形的对角线相等，并且互相平分；④正方形的对角线相等，并且互相垂直平分．其中正确的是( )
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【考点】正方形的性质；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质．
【分析】根据平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，正方形的性质对各选项分析判断后利用排除法．
【解答】解：①平行四边形的对角线互相平分，正确；
②菱形的对角线互相垂直平分，正确；
③矩形的对角线相等，并且互相平分，正确；
④正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，正确．
所以①②③④都正确．
20
故选D．
【点评】本题主要考查特殊四边形对角线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
10．有一张矩形纸片ABCD，AB=2.5，AD=1.5，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AC与BC交于点F（如下图），则CF的长为( )
A．0.5 B．0.75 C．1 D．1.25
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】应用题．
【分析】由折叠的性质可知AD=DE=1.5，BD=AB﹣AD=1，A′B=0.5，根据矩形的性质可知BF∥DE，利用成比例线段A′B：A′D=BF：DE可求得BF=0.5，从而求出CF=BC﹣BF=1．
【解答】解：∵AB=2.5，AD=1.5
∴AD=DE=1.5，BD=AB﹣AD=1，A′B=0.5
∵BF∥DE
∴A′B：A′D=BF：DE
∴BF=0.5
∴CF=BC﹣BF=1．
故选C．
【点评】本题利用了：
（1）折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；
（2）正方形的性质，平行线的性质求解．
二、仔细填一填：（每题4分，共40分）
11．已知x=﹣2是一元二次方程x2﹣mx+5=0的一个解，则m=﹣．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】计算题．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=﹣2代入一元二次方程得到关于m的一次方程，然后解此一元一次方程即可得到m的值．
【解答】解：把x=﹣2代入x2﹣mx+5=0得4+2m+5=0，
解得m=﹣．
故答案为﹣．
20
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12．已知菱形的面积为24cm2，一条对角线长为6cm，则这个菱形的周长是20厘米．
【考点】菱形的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求出另一条对角线的长度，再根据勾股定理可求出边长，继而可求出周长．
【解答】解：如图所示：
∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，AC=6cm，S菱形ABCD=24cm2，
∴BD=8cm，AO=3cm，BO=4cm，
在Rt△ABO中，AB2=AO2+BO2，
即有AB2=32+42，
解得：AB=5cm，
∴菱形的周长=4×5=20cm．
故答案为：20．
【点评】本题考查了菱形的性质，属于基础题，解答本题用到的知识点为：①菱形的四边形等，菱形的对角线互相垂直且平分，②菱形的面积等于对角线乘积的一半．
13．写出“全等三角形的面积相等”的逆命题面积相等的三角形全等．
【考点】命题与定理．
【分析】首先分清题设是：两个三角形全等，结论是：面积相等，把题设与结论互换即可得到逆命题．
【解答】解：“全等三角形的面积相等”的题设是：两个三角形全等，结论是：面积相等，因而逆命题是：面积相等的三角形全等．
故答案是：面积相等的三角形全等．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
14．方程x2=x的解是x1=0，x2=1．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】将方程化为一般形式，提取公因式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【解答】解：x2=x，
移项得：x2﹣x=0，
分解因式得：x（x﹣1）=0，
可得x=0或x﹣1=0，
解得：x1=0，x2=1．
20
故答案为：x1=0，x2=1
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
15．已知正方形的对角线长为8cm，则正方形的面积是32cm2．
【考点】正方形的性质．
【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【解答】解：∵正方形的对角线长为8cm，
∴正方形的面积=×8×8=32cm2．
故答案为：32cm2．
【点评】本题考查了正方形的性质，熟练掌握利用对角线求正方形的面积的方法是解题的关键．
16．如图：（A）（B）（C）（D）是一天中四个不同时刻的木杆在地面上的影子，将它们按时间先后顺序进行排列，为（D）（C）（A）（B）．
【考点】平行投影．
【分析】根据影子变化的方向正好太阳所处的方向是相反的来判断．太阳从东方升起最后从西面落下确定影子的起始方向．
【解答】解：太阳从东方升起最后从西面落下，木杆的影子应该在西面，随着时间的变化影子逐渐的向北偏西，南偏西，正东方向的顺序移动，故它们按时间先后顺序进行排列，为（D）（C）（A）（B）．
【点评】主要考查了在太阳光下的平行投影．要抓住太阳一天中运动的方位特点来确定物体影子所处的方位．平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．
17．张华同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为2米，与他邻近的一棵树的影长为6米，则这棵树的高为4.8米．
【考点】相似三角形的应用．
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【解答】解：据相同时刻的物高与影长成比例，
设这棵树的高度为xm，
则可列比例为，
解得，x=4.8．
故答案为：4.8．
【点评】本题主要考查同一时刻物高和影长成正比，考查利用所学知识解决实际问题的能力．
20
18．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为40°．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据直角三角形的性质求得∠AEB=80°；根据线段垂直平分线的性质得AE=CE，则∠C=∠EAC，再根据三角形的外角的性质即可求解．
【解答】解：∵∠B=90°，∠BAE=10°，
∴∠BEA=80°．
∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE=EC，
∴∠C=∠EAC．
∵∠BEA=∠C+∠EAC，
∴∠C=40°．
故答案为：40°．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，涉及到三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质的知识，难度适中．
19．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC的角平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DE=3cm．
【考点】平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质．
【分析】利用平行四边形的性质得出AD∥BC，进而得出∠AEB=∠CBF，再利用角平分线的性质得出∠ABF=∠CBF，进而得出∠AEB=∠ABF，即可得出AE的长，即可得出答案．
【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBF，
∵∠ABC的角平分线交AD于点E，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠AEB=∠ABF，
∴AB=AE，
∵AB=4cm，AD=7cm，
∴DE=3cm．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及角平分线的性质，得出∠AEB=∠ABF是解题关键．
20
20．如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边，延长AB到E，使AE=AC，以AE为一边作菱形AEFC，若菱形的面积为，则正方形边长为3．
【考点】正方形的性质；菱形的性质．
【专题】应用题．
【分析】设正方形的边长为x，则AC=AE=x，菱形的面积为底×高，x•x=9，可求出x的长为3．即正方形的边长为3．
【解答】解：设正方形的边长为x，
AC=AE=x，
CB=x是菱形的高，
x•x=9，
x=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查正方形的性质，菱形的性质以及菱形面积公式等．
三．动手画一画：（共15分）（不写作法，保留作图痕迹）
21．如图，晚上，小亮在广场上乘凉．图中线段AB表示站在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯．
（1）请你在图中画出小亮在照明灯（P）照射下的影子；
（2）如果灯杆高PO=12m，小亮的身高AB=1.6m，小亮与灯杆的距离BO=13m，请求出小亮影子的长度．
【考点】中心投影．
【专题】计算题；作图题．
【分析】（1）直接连接点光源和物体顶端形成的直线与地面的交点即是影子的顶端；
（2）根据中心投影的特点可知△CAB∽△CPO，利用相似比即可求解．
【解答】解：（1）连接PA并延长交地面于点C，线段BC就是小亮在照明灯（P）照射下的影子．
（2）在△CAB和△CPO中，
∵∠C=∠C，∠ABC=∠POC=90°
∴△CAB∽△CPO
20
∴
∴
∴BC=2m，
∴小亮影子的长度为2m
【点评】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组三角形相似，利用其相似比作为相等关系求出所需要的线段．
22．在下面指定位置画出此实物图的三种视图．
【考点】作图-三视图．
【分析】认真观察实物，可得主视图是上面一长方形，下面一小矩形；左视图是上面一正方形，下面一小矩形；俯视图是一矩形，中间应有虚线的圆，
【解答】解：
【点评】此题主要考查了实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．
四．认真算一算（每小题10分共10分）
20
23．解方程：
（1）2x2﹣4x﹣3=0
（2）（x﹣3）2=2（3﹣x）
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
【专题】计算题．
【分析】（1）利用配方法得到（x﹣1）2=，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先把方程变形为（x﹣3）2+2（x﹣3）=0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）x2﹣2x=，
x2﹣2x+1=+1，
（x﹣1）2=，
x﹣1=±，
所以x1=1+，x2=1﹣；
（2）（x﹣3）2+2（x﹣3）=0，
（x﹣3）（x﹣3+2）=0，
x﹣3=0或x﹣3+2=0，
所以x1=3，x2=1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．
五．解答题（共56分）
24．为执行“两免一补”政策，我县2011年投入教育经费2500万元，预计到2013年投入教育经费3600万元．请你求出我县从2011年到2013年投入教育经费的平均增长率是多少？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题．
【分析】一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2012年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在2012年的基础上再增长x，就是2013年的教育经费数额，即可列出方程求解．
【解答】解：设增长率为x，根据题意2012年为2500（1+x），2013年为2500（1+x）（1+x）．则2500（1+x）（1+x）=3600，
解得x=0.2=20%，或x=﹣2.2（不合题意舍去）．
故这两年投入教育经费的平均增长率为20%，
【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增长后的量．
25．如图，正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
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（2）若∠BEC=60°，求∠EFD的度数．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）根据正方形的性质及全等三角形的判定方法即可证明△BCE≌△DCF；
（2）由两个三角形全等的性质得出∠CFD的度数，再用等腰三角形的性质求∠EFD的度数．
【解答】（1）证明：∵ABCD是正方形，
∴DC=BC，∠DCB=∠FCE，
∵CE=CF，
∴△DCF≌△BCE；
（2）解：∵△BCE≌△DCF，
∴∠DFC=∠BEC=60°，
∵CE=CF，
∴∠CFE=45°，
∴∠EFD=15°．
【点评】此题主要考查正方形的特殊性质及全等三角形的判定的综合运用．
26．一农户用24米长的篱笆围成一面靠墙（墙长为12米），大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍，（如图）鸡场的面积能够达到32米2吗？若能，给出你的方案；若不能，请说明理由．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】可设矩形一边的长，然后用它表示矩形的邻边，进而得出面积表达式．能否达到要求，根据解方程的结果，结合实际情况作出判断．
【解答】解：能，
理由：设垂直于墙的一边长x，则：
（24﹣4x）•x=32，
整理得x2﹣6x+8=0，
解得x1=4，x2=2（24﹣4x=16＞12，舍），
故垂直于墙的一边长为4m，平行于墙的一边长为8m．
【点评】此题考查一元二次方程的应用，利用已知得出等式方程是解题关键．
27．如图，在一块长35m，宽26m的矩形地面上修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应该为多少？
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【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的种植花草部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可．
【解答】解：设道路的宽应为x米，由题意有
（35﹣x）（26﹣x）=850，
解得：x1=36（舍去），x2=1．
答：修建的路宽为1米．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
28．（14分）在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A⇒B⇒C向终点C运动，连接DM交AC于点N．
（1）如图1，当点M在AB边上时，连接BN：
①求证：△ABN≌△ADN；
②若∠ABC=60°，AM=4，∠ABN=α，求点M到AD的距离及tanα的值．
（2）如图2，若∠ABC=90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）．试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；解直角三角形．
【专题】压轴题；动点型．
【分析】（1）①△ABN和△ADN中，不难得出AB=AD，∠DAC=∠CAB，AN是公共边，根据SAS即可判定两三角形全等．
②通过构建直角三角形来求解．作MH⊥DA交DA的延长线于点H．由①可得∠MDA=∠ABN，那么M到AD的距离和∠α就转化到直角三角形MDH和MAH中，然后根据已知条件进行求解即可．
（2）本题要分三种情况即：ND=NA，DN=DA，AN=AD进行讨论．
【解答】解：（1）①证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠1=∠2．
又∵AN=AN，
∴△ABN≌△ADN（SAS）．
②作MH⊥DA交DA的延长线于点H．
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由AD∥BC，得∠MAH=∠ABC=60°．
在Rt△AMH中，MH=AM•sin60°=4×sin60°=2．
∴点M到AD的距离为2．
∴AH=2．
∴DH=6+2=8．
在Rt△DMH中，tan∠MDH=，
由①知，∠MDH=∠ABN=α，
∴tanα=；
（2）∵∠ABC=90°，
∴菱形ABCD是正方形．
∴∠CAD=45°．
下面分三种情形：
（Ⅰ）若ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45°．
此时，点M恰好与点B重合，得x=6；
（Ⅱ）若DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45°．
此时，点M恰好与点C重合，得x=12；
（Ⅲ）若AN=AD=6，则∠1=∠2．
∵AD∥BC，
∴∠1=∠4，又∠2=∠3，
∴∠3=∠4．
∴CM=CN．
∵AC=6．
∴CM=CN=AC﹣AN=6﹣6．
故x=12﹣CM=12﹣（6﹣6）=18﹣6．
综上所述：当x=6或12或18﹣6时，△ADN是等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形
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的判定，菱形的性质，正方形的性质等知识点，注意本题（2）中要分三种情况进行讨论，不要丢掉任何一种情况．
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