江苏省常州市2016届九年级数学上学期期中试题（含解析） 新人教版.doc

江苏省常州市2016届九年级数学上学期期中试题 一、选择题（每小题2分，共16分）‎ ‎1．⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是( )‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎2．方程x2+6x﹣5=0的左边配成完全平方后所得方程为( )‎ A．（x+3）2=14 B．（x﹣3）2=14 C． D．（x+3）2=4‎ ‎3．下列方程中，没有实数根的是( )‎ A．x2﹣4x+4=0 B．x2﹣2x+5=0 C．x2﹣2x=0 D．x2﹣2x﹣3=0‎ ‎4．已知x=1是关于x的一元二次方程2x2﹣x+a=0的一个根，则a的值是( )‎ A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1‎ ‎5．如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC．若∠BCD=50°，则∠AOC的度数为( )‎ A．40° B．50° C．80° D．100°‎ ‎6．如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为，则图中弓形的面积为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎7．如果等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣10x+21=0的两根，那么它的周长为( )‎ A．17 B．15 C．13 D．13或17‎ ‎8．学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是( )‎ A．x2=21 B．x（x﹣1）=21 C．x2=21 D．x（x﹣1）=21‎ 18‎ 二、填空题（每小题2分，共16分）‎ ‎9．一元二次方程2x2﹣3x+1=0的二次项系数为__________，一次项系数为__________，常数项为__________．‎ ‎10．方程（x+2）（x﹣3）=x+2的解是__________．‎ ‎11．若关于x的一元二次方程x2+4x﹣a=0有两个实数根，则a的取值范围是__________．‎ ‎12．如图，是一个简单的数值运算程序．则输入x的值为__________．‎ ‎13．如图，圆锥的母线长为2，底面圆的周长为3，则该圆锥的侧面积为__________．‎ ‎14．为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学2009年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2011年投资18.59万元．设该校为新增电脑投资的年平均增长率为x，根据题意得方程为：__________．‎ ‎15．如图，点A，B，C是⊙O上的点，AO=AB，则∠ACB=__________度．‎ ‎16．如图，在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（4，3）、（0，﹣1），则△ABC外接圆的圆心坐标为__________．‎ 18‎ 三、解下列方程 ‎17．（16分）解下列方程．‎ ‎（1）（x+2）2=3‎ ‎（2）x2﹣5x﹣6=0‎ ‎（3）x2﹣6x﹣6=0‎ ‎（4）3x2﹣x﹣1=0．‎ 四、解答题 ‎18．已知关于x的方程x2+2x+a=0．‎ ‎（1）若该方程有两个不想等的实数根，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根．‎ ‎19．小明家的玉米产量从2012年的5吨增加到2014年的6.05吨，平均每年增长的百分率是多少？‎ ‎20．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，AE是⊙O的切线，∠CAE=60°．‎ ‎（1）求∠D的度数；‎ ‎（2）当BC=4时，求劣弧AC的长．‎ ‎21．如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米，那么道路的宽度应该是多少？‎ ‎22．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．‎ ‎（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？‎ ‎（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．‎ 18‎ ‎23．商场销售某种冰箱，该种冰箱每台进价为2500元，已知原销售价为每台2900元时，平均每天能售出8台．若在原销售价的基础上每台降价50元，则平均每天可多售出4台．设每台冰箱的实际售价比原销售价降低了x元．‎ ‎（1）填表（不需化简）：‎ 每天的销售量/台 每台销售利润/元 降价前 ‎8‎ ‎400‎ 降价后 ‎__________‎ ‎__________‎ ‎（2）商场为使这种冰箱平均每天的销售利润达到5000元，则每台冰箱的实际售价应定为多少元？‎ ‎24．如图，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于点M，CM交⊙O于点D．‎ ‎（1）求证：AM=AC；‎ ‎（2）若AC=3，求MC的长．‎ ‎25．如图，已知直线l与⊙O相离．OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA=5，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．‎ ‎（1）求证：AB=AC；‎ ‎（2）若PC=2，求⊙O的半径．‎ 18‎ ‎2015-2016学年江苏省常州市九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每小题2分，共16分）‎ ‎1．⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是( )‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【考点】点与圆的位置关系．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断．‎ ‎【解答】解：∵⊙O的半径为6，点P在⊙O内，‎ ‎∴OP＜6．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．‎ ‎2．方程x2+6x﹣5=0的左边配成完全平方后所得方程为( )‎ A．（x+3）2=14 B．（x﹣3）2=14 C． D．（x+3）2=4‎ ‎【考点】解一元二次方程-配方法．‎ ‎【专题】配方法．‎ ‎【分析】配方法的一般步骤：‎ ‎（1）把常数项移到等号的右边；‎ ‎（2）把二次项的系数化为1；‎ ‎（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．‎ ‎【解答】解：由原方程移项，得 x2+6x=5，‎ 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即32，得 x2+6x+9=5+9，‎ ‎∴（x+3）2=14．‎ 故选A．‎ ‎【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．‎ ‎3．下列方程中，没有实数根的是( )‎ A．x2﹣4x+4=0 B．x2﹣2x+5=0 C．x2﹣2x=0 D．x2﹣2x﹣3=0‎ ‎【考点】根的判别式．‎ ‎【分析】利用判别式分别判定即可得出答案．‎ ‎【解答】解：A、x2﹣4x+4=0，△=16﹣16=0有相同的根；‎ B、x2﹣2x+5=0，△=4﹣20＜0没有实数根；‎ C、x2﹣2x=0，△=4﹣0＞0有两个不等实数根；‎ D、x2﹣2x﹣3=0，△=4+12＞0有两个不等实数根．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是熟记判别式的公式．‎ 18‎ ‎4．已知x=1是关于x的一元二次方程2x2﹣x+a=0的一个根，则a的值是( )‎ A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1‎ ‎【考点】一元二次方程的解．‎ ‎【专题】方程思想．‎ ‎【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=1代入关于x的一元二次方程2x2﹣x+a=0，列出关于a的方程，通过解该方程求得a值即可．‎ ‎【解答】解：∵x=1是关于x的一元二次方程2x2﹣x+a=0的一个根，‎ ‎∴x=1满足关于x的一元二次方程2x2﹣x+a=0，‎ ‎∴2×12﹣1+a=0，即1+a=0，‎ 解得，a=﹣1；‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的解．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解均满足该方程的解析式．‎ ‎5．如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC．若∠BCD=50°，则∠AOC的度数为( )‎ A．40° B．50° C．80° D．100°‎ ‎【考点】切线的性质．‎ ‎【分析】根据切线的性质得出∠OCD=90°，进而得出∠OCB=40°，再利用圆心角等于圆周角的2倍解答即可．‎ ‎【解答】解：∵在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，‎ ‎∴∠OCD=90°，‎ ‎∵∠BCD=50°，‎ ‎∴∠OCB=40°，‎ ‎∴∠AOC=80°，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．‎ ‎6．如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为，则图中弓形的面积为( )‎ 18‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】扇形面积的计算．‎ ‎【专题】几何图形问题．‎ ‎【分析】过A作AD⊥CB，首先计算出BC上的高AD长，再计算出三角形ABC的面积和扇形面积，然后再利用扇形面积减去三角形的面积可得弓形面积．‎ ‎【解答】解：过A作AD⊥CB，‎ ‎∵∠CAB=60°，AC=AB，‎ ‎∴△ABC是等边三角形，‎ ‎∵AC=，‎ ‎∴AD=AC•sin60°=×=，‎ ‎∴△ABC面积：=，‎ ‎∵扇形面积：=，‎ ‎∴弓形的面积为：﹣=，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题主要考查了扇形面积的计算，关键是掌握扇形的面积公式：S=．‎ ‎7．如果等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣10x+21=0的两根，那么它的周长为( )‎ A．17 B．15 C．13 D．13或17‎ ‎【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．‎ ‎【分析】首先求出方程x2﹣10x+21=0的两根，然后确定等腰三角形的腰长和底，进而求出它的周长．‎ ‎【解答】解：∵等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣10x+21=0的两根，‎ ‎∴方程x2﹣10x+21=0的两个根分别是x1=3，x2=7，‎ ‎∴等腰三角形的腰长为7，底边长为3，‎ ‎∴等腰三角形的周长为：7+7+3=17．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形三边关系的知识，解答本题的关键是掌握等腰三角形的性质，此题难度一般．‎ ‎8．学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是( )‎ 18‎ A．x2=21 B．x（x﹣1）=21 C．x2=21 D．x（x﹣1）=21‎ ‎【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．‎ ‎【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数=．即可列方程．‎ ‎【解答】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：‎ x（x﹣1）=21，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．‎ 二、填空题（每小题2分，共16分）‎ ‎9．一元二次方程2x2﹣3x+1=0的二次项系数为2，一次项系数为﹣3，常数项为1．‎ ‎【考点】一元二次方程的一般形式．‎ ‎【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据定义即可判断．‎ ‎【解答】解：一元二次方程2x2﹣3x+1=0的二次项系数是2，一次项系数是﹣3，常数项是1．‎ 故答案是：2，﹣3，1．‎ ‎【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．‎ ‎10．方程（x+2）（x﹣3）=x+2的解是x1=﹣2，x2=4．‎ ‎【考点】解一元二次方程-因式分解法．‎ ‎【分析】先移项，再提取公因式，求出x的值即可．‎ ‎【解答】解：原式可化为（x+2）（x﹣3）﹣（x+2）=0，‎ 提取公因式得，（x+2）（x﹣4）=0，‎ 故x+2=0或x﹣4=0，解得x1=﹣2，x2=4．‎ 故答案为：x1=﹣2，x2=4．‎ ‎【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解答此题的关键．‎ ‎11．若关于x的一元二次方程x2+4x﹣a=0有两个实数根，则a的取值范围是a≥﹣4．‎ ‎【考点】根的判别式．‎ ‎【分析】根据关于x的一元二次方程x2+4x﹣a=0有两个实数根，得出△=16﹣4（﹣a）≥0，从而求出a的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵一元二次方程x2+4x﹣a=0有两个实数根，‎ ‎∴△=42﹣4（﹣a）≥0，‎ ‎∴a≥﹣4．‎ 故答案为a≥﹣4．‎ 18‎ ‎【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：‎ ‎（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；‎ ‎（3）△＜0⇔方程没有实数根．‎ ‎12．如图，是一个简单的数值运算程序．则输入x的值为或．‎ ‎【考点】一元二次方程的应用．‎ ‎【专题】图表型．‎ ‎【分析】首先根据题意列出方程：（x﹣1）2×（﹣3）=﹣9，解方程即可求得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意得：‎ 简单的数值运算程序为：（x﹣1）2×（﹣3）=﹣9，‎ 化简得：（x﹣1）2=3，‎ ‎∴x﹣1=±，‎ ‎∴x=1±．‎ 故答案为：或．‎ ‎【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．‎ ‎13．如图，圆锥的母线长为2，底面圆的周长为3，则该圆锥的侧面积为3．‎ ‎【考点】圆锥的计算．‎ ‎【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．‎ ‎【解答】解：圆锥的侧面是扇形，圆锥的侧面积=×2×3=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎【点评】本题考查了圆锥的侧面积计算方法，牢记有关圆锥和扇形之间的对应关系是解决本题的关键．‎ ‎14．为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学2009年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2011年投资18.59万元．设该校为新增电脑投资的年平均增长率为x，根据题意得方程为：11（1+x）2=18.59．‎ ‎【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．‎ ‎【专题】增长率问题．‎ ‎【分析】设该学校为新增电脑投资的年平均增长率是x，从2009年到2011年两年在增长，可列出方程．‎ ‎【解答】解：设该学校为新增电脑投资的年平均增长率是x．‎ 根据题意得：11（1+x）2=18.59．‎ 18‎ 故答案为：11（1+x）2=18.59．‎ ‎【点评】本题考查了增长率问题，关键是找到增长的结果这个等量关系，列方程求解．‎ ‎15．如图，点A，B，C是⊙O上的点，AO=AB，则∠ACB=150度．‎ ‎【考点】圆周角定理；等边三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质．‎ ‎【分析】根据AO=AB，且OA=OB，得出△OAB是等边三角形，再利用圆周角和圆心角的关系得出∠BAC+∠ABC=30°，解答即可．‎ ‎【解答】解：∵点A，B，C是⊙O上的点，AO=AB，‎ ‎∴OA=OB=AB，‎ ‎∴△OAB是等边三角形，‎ ‎∴∠AOB=60°，‎ ‎∴∠BAC+∠ABC=30°，‎ ‎∴∠ACB=150°，‎ 故答案为：150‎ ‎【点评】此题考查了圆心角、圆周角定理问题，关键是根据AO=AB，且OA=OB，得出△OAB是等边三角形．‎ ‎16．如图，在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（4，3）、（0，﹣1），则△ABC外接圆的圆心坐标为（2，1）．‎ ‎【考点】三角形的外接圆与外心；坐标与图形性质．‎ ‎【分析】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．‎ ‎【解答】解：根据垂径定理的推论，则 作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，‎ ‎∵点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（4，3）、（0，﹣1），‎ ‎∴O1的坐标是（2，1）．‎ 故答案为：（2，1）．‎ 18‎ ‎【点评】此题考查了垂径定理的推论以及三角形的外心的性质，利用垂径定理的推论得出是解题关键．‎ 三、解下列方程 ‎17．（16分）解下列方程．‎ ‎（1）（x+2）2=3‎ ‎（2）x2﹣5x﹣6=0‎ ‎（3）x2﹣6x﹣6=0‎ ‎（4）3x2﹣x﹣1=0．‎ ‎【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法．‎ ‎【分析】（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；‎ ‎（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；‎ ‎（3）求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可；‎ ‎（4）求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．‎ ‎【解答】解：（1）（x+2）2=3，‎ 开方得：x+2=±，‎ 解得：x1=﹣2+，x2=﹣2﹣；‎ ‎（2）x2﹣5x﹣6=0，‎ ‎（x﹣6）（x+1）=0，‎ x﹣6=0，x+1=0，‎ x1=6，x2=﹣1；‎ ‎（3）x2﹣6x﹣6=0，‎ b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×1×（﹣6）=60，‎ x=，‎ x1=3+，x2=3﹣；‎ ‎（4）3x2﹣x﹣1=0，‎ b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×3×（﹣1）=13，‎ x=，‎ x1=，x2=．‎ 18‎ ‎【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．‎ 四、解答题 ‎18．已知关于x的方程x2+2x+a=0．‎ ‎（1）若该方程有两个不想等的实数根，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根．‎ ‎【考点】根的判别式；一元二次方程的解．‎ ‎【分析】（1）方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于0，即可确定出a的范围；‎ ‎（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．‎ ‎【解答】解：（1）∵方程x2+2x+a=0有两个实数根，‎ ‎∴△=4﹣4a＞0，‎ 解得：a＜1；‎ ‎（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：‎ ‎，‎ 解得：．‎ 则a的值是﹣3，该方程的另一根为﹣3．‎ ‎【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程根的关系是解本题的关键．‎ ‎19．小明家的玉米产量从2012年的5吨增加到2014年的6.05吨，平均每年增长的百分率是多少？‎ ‎【考点】一元二次方程的应用．‎ ‎【专题】增长率问题．‎ ‎【分析】要想求得平均每年的增长百分率，可先设其为x，由题意可列方程，2013年的产量为5（1+x），2014年的产量为5（1+x）2=6.05，由此解答得出答案即可．‎ ‎【解答】解：设平均每年增长的百分率为x，‎ 则根据题意可列方程为：‎ ‎5（1+x）2=6.05，‎ 解得：x1=0.1，x2=﹣2.1（舍去）‎ 答：平均每年增长的百分率为10%．‎ ‎【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，深刻的理解题意，列出方程，正确的解出一元二次方程的解是本题的关键要根据情景舍去不符合题意的解，保留正确的符合题意的解．‎ ‎20．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，AE是⊙O的切线，∠CAE=60°．‎ ‎（1）求∠D的度数；‎ ‎（2）当BC=4时，求劣弧AC的长．‎ 18‎ ‎【考点】切线的性质；弧长的计算．‎ ‎【分析】（1）根据切线的性质得出∠BAE=90°，根据∠BAC=∠BAE﹣∠CAE，求出∠BAC的度数，再根据AB是⊙O的直径，得出∠ABC=90°，求出∠B的度数，再根据∠D=∠B，即可得出∠D的度数；‎ ‎（2）连接OC，根据OB=OC，∠B=60°，得出△OBC是等边三角形，求出OB=BC=4，∠BOC=60°，从而得出∠AOC=120°，再根据弧长公式即可得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）∵AE是⊙O的切线，‎ ‎∴AB⊥AE，‎ ‎∴∠BAE=90°，‎ ‎∵∠CAE=60°，‎ ‎∴∠BAC=∠BAE﹣∠CAE=90°﹣60°=30°，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ABC=90°，‎ ‎∴∠B=60°，‎ ‎∵∠D=∠B，‎ ‎∴∠D=60°；‎ ‎（2）连接OC，‎ ‎∵OB=OC，∠B=60°，‎ ‎∴△OBC是等边三角形，‎ ‎∵BC=4，‎ ‎∴OB=BC=4，∠BOC=60°，‎ ‎∴∠AOC=120°，‎ ‎∴劣弧AC的长是：=．‎ ‎【点评】此题考查了切线的性质，用到的知识点是圆周角定理、弧长公式、等边三角形的性质等知识．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．‎ ‎21．如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米，那么道路的宽度应该是多少？‎ 18‎ ‎【考点】一元二次方程的应用．‎ ‎【专题】几何图形问题．‎ ‎【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的种植花草部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可．‎ ‎【解答】解：设道路的宽应为x米，由题意有 ‎（22﹣x）（17﹣x）=300，‎ 解得：x1=37（舍去），x2=2．‎ 答：修建的路宽为2米．‎ ‎【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．‎ ‎22．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．‎ ‎（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？‎ ‎（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．‎ ‎【考点】一元二次方程的应用．‎ ‎【专题】几何动点问题．‎ ‎【分析】（1）根据三角形的面积公式可以得出△ABC面积为×4×8=16，△PCQ的面积为t（8﹣2t），由题意列出方程解答即可；‎ ‎（2）由等量关系S△PCQ=S△ABC列方程求出t的值，但方程无解．‎ ‎【解答】解：（1）∵S△PCQ=t（8﹣2t），S△ABC=×4×8=16，‎ ‎∴t（8﹣2t）=16×，‎ 整理得t2﹣4t+4=0，‎ 解得t=2．‎ 18‎ 答：当t=2s时△PCQ的面积为△ABC面积的；‎ ‎（2）当S△PCQ=S△ABC时，‎ t（8﹣2t）=16×，‎ 整理得t2﹣4t+8=0，‎ ‎△=（﹣4）2﹣4×1×8=﹣16＜0，‎ ‎∴此方程没有实数根，‎ ‎∴△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半．‎ ‎【点评】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．‎ ‎23．商场销售某种冰箱，该种冰箱每台进价为2500元，已知原销售价为每台2900元时，平均每天能售出8台．若在原销售价的基础上每台降价50元，则平均每天可多售出4台．设每台冰箱的实际售价比原销售价降低了x元．‎ ‎（1）填表（不需化简）：‎ 每天的销售量/台 每台销售利润/元 降价前 ‎8‎ ‎400‎ 降价后 ‎8+4×‎ ‎400﹣x ‎（2）商场为使这种冰箱平均每天的销售利润达到5000元，则每台冰箱的实际售价应定为多少元？‎ ‎【考点】一元二次方程的应用．‎ ‎【专题】销售问题．‎ ‎【分析】（1）设每台冰箱的实际售价比原销售价降低了x元，根据在原销售价的基础上每台降价50元，则平均每天可多售出4台得出结果，填表即可；‎ ‎（2）根据利润=售价﹣进价列出方程，求出方程的解即可得到结果．‎ ‎【解答】解：（1）填表如下：‎ 每天的销售量/台 每台销售利润/元 降价前 ‎8‎ ‎400‎ 降价后 ‎8+4×‎ ‎400﹣x ‎（2）根据题意，可得：（400﹣x）（8+4×）=5000，‎ 化简，整理得：x2﹣300x+22500=0，‎ 即（x﹣150）2=0，‎ 解得：x=150，‎ ‎∴实际售价定为：2900﹣150=2750（元），‎ 答：每台冰箱的实际售价应定为2750元．‎ ‎【点评】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．‎ 18‎ ‎24．如图，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于点M，CM交⊙O于点D．‎ ‎（1）求证：AM=AC；‎ ‎（2）若AC=3，求MC的长．‎ ‎【考点】切线的性质．‎ ‎【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC=120°，得到∠OCA的度数，根据切线的性质求出∠M的度数，根据等腰三角形的性质得到答案；‎ ‎（2）作AG⊥CM于G，根据直角三角形的性质求出AG的长，根据勾股定理求出CG，得到答案．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OA，‎ ‎∵AM是⊙O的切线，∴∠OAM=90°，‎ ‎∵∠B=60°，∴∠AOC=120°，‎ ‎∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，‎ ‎∴∠AOM=60°，∴∠M=30°，‎ ‎∴∠OCA=∠M，‎ ‎∴AM=AC；‎ ‎（2）作AG⊥CM于G，‎ ‎∵∠OCA=30°，AC=3，∴AG=，‎ 由勾股定理的，CG=，‎ 则MC=2CG=3．‎ ‎【点评】本题考查的是切线是性质、等腰三角形的性质和勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．‎ ‎25．如图，已知直线l与⊙O相离．OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA=5，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．‎ ‎（1）求证：AB=AC；‎ ‎（2）若PC=2，求⊙O的半径．‎ 18‎ ‎【考点】切线的性质．‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】（1）连接OB，根据切线的性质和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°，推出∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPA=90°，求出∠ACP=∠ABC，根据等腰三角形的判定推出即可；‎ ‎（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5﹣r，根据AB=AC推出52﹣r2=（2）2﹣（5﹣r）2，求出r，证△DPB∽△CPA，得出=，代入求出即可．‎ ‎【解答】证明：（1）如图1，连接OB．‎ ‎∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，‎ ‎∴∠OBA=∠OAC=90°，‎ ‎∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，‎ ‎∵OP=OB，‎ ‎∴∠OBP=∠OPB，‎ ‎∵∠OPB=∠APC，‎ ‎∴∠ACP=∠ABC，‎ ‎∴AB=AC；‎ ‎（2）如图2，延长AP交⊙O于D，连接BD，‎ 设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5﹣r，‎ 18‎ 则AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2，‎ AC2=PC2﹣PA2=（2）2﹣（5﹣r）2，‎ ‎∴52﹣r2=（2）2﹣（5﹣r）2，‎ 解得：r=3，‎ ‎∴AB=AC=4，‎ ‎∵PD是直径，‎ ‎∴∠PBD=90°=∠PAC，‎ 又∵∠DPB=∠CPA，‎ ‎∴△DPB∽△CPA，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ 解得：PB=．‎ ‎∴⊙O的半径为3，线段PB的长为．‎ ‎【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力．本题综合性比较强，有一定的难度．‎ 18‎