贵州省黔南州都匀市2016届九年级数学上学期期中试题
一、选择题（共13小题，每小题4分，满分52分）
1．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
2．下列方程是一元二次方程的是( )
A．3x+=4 B．2x（x﹣1）=2x2+3 C．x2﹣2=0 D．x+2y=1
3．二次函数y=﹣3（x﹣2）2+5的图象的顶点坐标是( )
A．（﹣2，5） B．（﹣2，﹣5） C．（2，﹣5） D．（2，5）
4．已知对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为( )
A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=2.5
5．如图所示，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，若AB=3，BC=4，那么阴影部分的面积为( )
A．4 B．12 C．6 D．3
6．某机械厂七月份的营业额为100万元，已知第三季度的总营业额共331万元．如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为( )
A．100（1+x）2=331 B．100+100×2x=331
C．100+100×3x=331 D．100[1+（1+x）+（1+x）2]=331
7．把抛物线y=（x+1）2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是( )
A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2﹣2 C．y=x2+2 D．y=x2﹣2
8．关于x的一元二次方程x2﹣6x+2k=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A． B． C． D．
9．如图，是一个简单的数值运算程序．则输入x的值为( )
A．3或﹣3 B．4或﹣2 C．1或3 D．27
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10．有一根长60cm的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积S（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为( )
A．S=60x B．S=x（60﹣x） C．S=x（30﹣x） D．S=30x
11．如图，两个全等的长方形ABCD与CDEF，旋转长方形ABCD能和长方形CDEF重合，则可以作为旋转中心的点有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
12．已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）三点都在抛物线y=2x2﹣3的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
13．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=﹣1，给出下列结果：
①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a﹣b+c＜0，
则正确的结论是( )
A．①②③④ B．②④⑤ C．②③④ D．①④⑤
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
14．已知方程x2﹣x﹣1=0的一个实根是m，则代数式m2﹣m+2014的值为__________．
15．如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转后得到△A′B′C′．若∠A=40°，∠B′=110°，则∠B′CA′的度数是__________．
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16．若点P（m，﹣2）与点Q（3，n）关于原点对称，则（m+n）2015=__________．
17．如果函数y=（k﹣3）+kx+1是二次函数，那么k的值一定是__________．
18．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张作纪念，全班共送了2070张相片．若全班有x名学生，根据题意，列出方程为__________．
19．在二次函数y=x2+bx+c中，函数值y与自变量x的部分对应值如表，则该抛物线的顶点坐标为__________，m=__________．
x
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
y
7
2
﹣1
﹣2
m
2
7
三、解答题（共计74分）
20．解方程：
（1）x（x﹣2）=x﹣2；
（2）y（y﹣2）=1．
21．如图，方格纸中的每个都是边长为1的正方形，将△OAB绕点O按顺时针方向旋转90°得到△OA′B′．
（1）在给定的方格纸中画出△OA′B′；
（2）OA的长为__________，AA′的长为__________．
22．阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=﹣，x1•x2=．请根据该材料解题：已知x1，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，求+和x12x2+x1x22的值．
23．王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线y=﹣x2+
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x，其中y（m）是球的飞行高度，x（m）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m．
（1）请写出抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴．
（2）请求出球飞行的最大水平距离．
（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．
24．如图所示，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=AB=5，将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到△OA1B1．
（1）线段OA1的长是__________，∠AOB1的度数是__________；
（2）连接AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形．
25．一家用电器开发公司研制出一种新型的电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月可销售20万件．为了增加销售量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件．
（1）求出月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；
（2）求出月销售利润z（万元）（利润=售价﹣成本价）与销售单价x（元）之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）．
（3）若某月利润为350万元时，则该月销售量为多少万件，此时销售单价为多少元？
26．如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，与抛物线y=ax2+bx交于点C、D．已知点C的坐标为（1，7），点D的横坐标为5．
（1）求直线与抛物线的解析式；
（2）将此抛物线沿对称轴向下平移几个单位，抛物线与直线AB只有一个交点？
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2015-2016学年贵州省黔南州都匀市九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共13小题，每小题4分，满分52分）
1．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．下列方程是一元二次方程的是( )
A．3x+=4 B．2x（x﹣1）=2x2+3 C．x2﹣2=0 D．x+2y=1
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、是分式方程，故A错误；
B、是一元一次方程，故B错误；
C、是一元二次方程，故C正确；
D、是二元一次方程，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
3．二次函数y=﹣3（x﹣2）2+5的图象的顶点坐标是( )
A．（﹣2，5） B．（﹣2，﹣5） C．（2，﹣5） D．（2，5）
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的性质即可直接求解．
【解答】解：二次函数y=﹣3（x﹣2）2+5的图象的顶点坐标是（2，5）．
故选D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x+h）2+k（a≠0）的顶点坐标是（﹣h，k）．
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4．已知对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为( )
A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=2.5
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】点（1，0），（3，0）的纵坐标相同，这两点一定关于对称轴对称，那么利用两点的横坐标可求对称轴．
【解答】解：∵点（1，0），（3，0）的纵坐标相同，
∴这两点一定关于对称轴对称，
∴对称轴是：x==2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了抛物线的对称性，图象上两点的纵坐标相同，则这两点一定关于对称轴对称．
5．如图所示，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，若AB=3，BC=4，那么阴影部分的面积为( )
A．4 B．12 C．6 D．3
【考点】中心对称．
【分析】根据矩形的中心对称性，运用中心对称图形的性质，易知阴影面积=三角形AOB或COD的面积．
【解答】解：∵矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点O，
∴△BOE≌△DOF．
∴阴影面积=△AOB的面积=AB•BC=3．
故选：D．
【点评】此题考查中心对称的性质，根据矩形的中心对称性进行转化求解．
6．某机械厂七月份的营业额为100万元，已知第三季度的总营业额共331万元．如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为( )
A．100（1+x）2=331 B．100+100×2x=331
C．100+100×3x=331 D．100[1+（1+x）+（1+x）2]=331
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
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【分析】根据增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），关系式为：七月份月营业额+八月份月营业额+九月份月营业额=331，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：设平均每月的增长率为x，根据题意：八月份的月营业额为100×（1+x），
九月份的月销售额在八月份月销售额的基础上增加x，
为100×（1+x）×（1+x），则列出的方程是：100+100（1+x）+100（1+x）2=331，
100[1+（1+x）+（1+x）2]=331．
故选D．
【点评】此题主要考查了求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
7．把抛物线y=（x+1）2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是( )
A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2﹣2 C．y=x2+2 D．y=x2﹣2
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】先写出平移前的抛物线的顶点坐标，然后根据向下平移纵坐标减，向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：抛物线y=（x+1）2的顶点坐标为（﹣1，0），
∵向下平移2个单位，
∴纵坐标变为﹣2，
∵向右平移1个单位，
∴横坐标变为﹣1+1=0，
∴平移后的抛物线顶点坐标为（0，﹣2），
∴所得到的抛物线是y=x2﹣2．
故选D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数图象的变化求解更加简便，且容易理解．
8．关于x的一元二次方程x2﹣6x+2k=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A． B． C． D．
【考点】根的判别式．
【分析】关于x的一元二次方程x2﹣6x+2k=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0，即可确定k的取值范围．
【解答】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac＞0，即（﹣6）2﹣4×2k＞0，
解得k＜，故选B．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
9．如图，是一个简单的数值运算程序．则输入x的值为( )
A．3或﹣3 B．4或﹣2 C．1或3 D．27
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【考点】解一元二次方程-直接开平方法．
【专题】图表型．
【分析】首先根据题意列出方程：（x﹣1）2×（﹣3）=﹣27，解方程即可求得答案．
【解答】解：根据题意得：
简单的数值运算程序为：（x﹣1）2×（﹣3）=﹣27，
化简得：（x﹣1）2=9，
∴x﹣1=±3，
解得x=4或x=﹣2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
10．有一根长60cm的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积S（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为( )
A．S=60x B．S=x（60﹣x） C．S=x（30﹣x） D．S=30x
【考点】根据实际问题列二次函数关系式．
【分析】易得矩形另一边长为周长的一半减去已知边长，那么矩形的面积等于相邻两边长的积．
【解答】解：由题意得：矩形的另一边长=60÷2﹣x=30﹣x，
则y=x（30﹣x）．
故选C．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式；掌握矩形的边长与所给周长与另一边长的关系是解决本题的突破点．
11．如图，两个全等的长方形ABCD与CDEF，旋转长方形ABCD能和长方形CDEF重合，则可以作为旋转中心的点有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【考点】旋转的性质；正方形的性质．
【专题】操作型．
【分析】根据长方形的中心对称性，可得要旋转长方形ABCD能和长方形CDEF重合，必须以CD的中点为旋转中心，进而可得答案．
【解答】解：根据长方形的性质，对角线互相平分且相等，
所以对角线的交点是长方形的对称中心；
故长方形ABFE的对称中心是其对角线的交点，即CD的中点；
进而可得：可以作为旋转中心的点只有CD的中点．
故选A．
【点评】
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本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
12．已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）三点都在抛物线y=2x2﹣3的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为y轴，然后比较三个点离y轴的远近得到y1、y2、y3的大小关系．
【解答】解：∵二次函数的解析式为yy=2x2﹣3，
∴抛物线的对称轴为y轴，
∵A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3），
∴点C离y轴最远，点B离y轴最近，
∵抛物线开口向上，
∴y2＜y1＜y3．
故选C．
【点评】本题考查了学生对二次函数图象上点的坐标特征的理解和运用，主要考查学生的观察能力和分析能力，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
13．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=﹣1，给出下列结果：
①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a﹣b+c＜0，
则正确的结论是( )
A．①②③④ B．②④⑤ C．②③④ D．①④⑤
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】根据抛物线与x轴的交点情况，抛物线的开口方向，对称轴及与y轴的交点，当x=±1时的函数值，逐一判断．
【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故①正确；
∵抛物线对称轴为x=﹣＜0，与y轴交于负半轴，∴ab＞0，c＜0，abc＜0，故②错误；
∵抛物线对称轴为x=﹣=﹣1，∴2a﹣b=0，故③错误；
∵当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，故④正确；
∵当x=﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故⑤正确；
正确的是①④⑤．
故选D．
【点评】
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本题考查了抛物线与二次函数系数之间的关系．关键是会利用对称轴的值求2a与b的关系，对称轴与开口方向确定增减性，以及二次函数与方程之间的转换．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
14．已知方程x2﹣x﹣1=0的一个实根是m，则代数式m2﹣m+2014的值为2015．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=m代入已知方程后即可求得所求代数式的值．
【解答】解：∵方程x2﹣x﹣1=0的一个实根是m，
∴x=m满足该方程，
∴m2﹣m﹣1=0，
∴m2﹣m=1，
∴m2﹣m+2004=1+2014=2015；
故答案是：2015．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
15．如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转后得到△A′B′C′．若∠A=40°，∠B′=110°，则∠B′CA′的度数是30°．
【考点】旋转的性质．
【分析】首先根据旋转的性质可得：∠A′=∠A=40°，然后在△B′CA′中利用三角形的内角和定理求解即可．
【解答】解：由旋转的性质可得：∠A′=∠A=40°，
∴∠B′CA′=180°﹣∠B′﹣∠A′=180°﹣110°﹣40°=30°．
故答案为：30°．
【点评】本题主要考查的是旋转的性质、三角形的内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键．
16．若点P（m，﹣2）与点Q（3，n）关于原点对称，则（m+n）2015=﹣1．
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【分析】根据关于原点对称的两点的横、纵坐标都是互为相反数，可得m、n的值，根据负数奇数次幂是负数，可得答案．
【解答】解：由点P（m，﹣2）与点Q（3，n）关于原点对称，得
m=﹣3，n=2．
（m+n）2015=（﹣3+2）2015=﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的则两点的横、纵坐标都是互为相反数，注意负数奇数次幂是负数．
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17．如果函数y=（k﹣3）+kx+1是二次函数，那么k的值一定是0．
【考点】二次函数的定义．
【分析】根据二次函数的定义，列出方程与不等式求解即可．
【解答】解：由题意得：k2﹣3k+2=2，
解得k=0或k=3；
又∵k﹣3≠0，
∴k≠3．
∴当k=0时，这个函数是二次函数．
故答案为：0．
【点评】本题考查二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
18．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张作纪念，全班共送了2070张相片．若全班有x名学生，根据题意，列出方程为x（x﹣1）=2070（或x2﹣x﹣2070=0）．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人，然后根据题意可列出方程：（x﹣1）x=2070．
【解答】解：根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人，
∴全班共送：（x﹣1）x=2070（或x2﹣x﹣2070=0），
故答案为：x（x﹣1）=2070（或x2﹣x﹣2070=0）．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送x﹣1张相片，有x个人是解决问题的关键．
19．在二次函数y=x2+bx+c中，函数值y与自变量x的部分对应值如表，则该抛物线的顶点坐标为（1，﹣2），m=﹣1．
x
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
y
7
2
﹣1
﹣2
m
2
7
【考点】二次函数的性质．
【分析】当x=﹣1或3时，y=2，根据抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴为x=1，得出顶点坐标为（1，﹣2），故x=2和x=0时，对应的函数值相等求得m=﹣1．
【解答】解：根据抛物线的对称性，观察表格可知，
抛物线的对称轴为x==1，
顶点坐标为（1，﹣2），
∵x=2和x=0时，y=﹣1，即m=﹣1．
故答案为：（1，﹣2），﹣1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解题时利用二次函数的对称性，观察表格，确定抛物线的对称轴是解题的关键．
三、解答题（共计74分）
20．解方程：
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（1）x（x﹣2）=x﹣2；
（2）y（y﹣2）=1．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
【专题】计算题．
【分析】（1）先把方程变形为x（x﹣2）﹣（x﹣2）=0，然后利用因式分解法解方程；
（2）先配方得到（y﹣1）2=2，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：（1）x（x﹣2）﹣（x﹣2）=0，
（x﹣2）（x﹣1）=0，
x﹣2=0或x﹣1=0，
所以x1=2，x2=1；
（2）y2﹣2y+1=2，
（y﹣1）2=2，
y﹣1=±，
所以y1=1+，x2=1﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．
21．如图，方格纸中的每个都是边长为1的正方形，将△OAB绕点O按顺时针方向旋转90°得到△OA′B′．
（1）在给定的方格纸中画出△OA′B′；
（2）OA的长为5，AA′的长为5．
【考点】作图-旋转变换．
【专题】网格型．
【分析】（1）将△ABC的三点与点O连线并延长相同长度找对应点，然后顺次连接得中心对称图形△OA′B′；
（2）根据勾股定理可求出OA的长，AA′的长也可根据勾股定理求出．
【解答】解：（1）△OA′B′的位置如图．
18
（2）OA===5，
AA′===5．
【点评】本题考查旋转变换作图，及在网格中利用勾股定理求线段的长的方法．
22．阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=﹣，x1•x2=．请根据该材料解题：已知x1，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，求+和x12x2+x1x22的值．
【考点】根与系数的关系．
【专题】阅读型．
【分析】利用材料中的根与系数的关系求出x1+x2=﹣6，x1•x2=3，再代入化简后的式子即可求解．
【解答】解：∵x1+x2=﹣，x1•x2=，x1，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，
∴x1+x2=﹣6，x1•x2=3，
∴+==﹣2，
x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）=﹣18．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是理解材料中的根与系数的关系．
23．王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线y=﹣x2+x，其中y（m）是球的飞行高度，x（m）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m．
（1）请写出抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴．
（2）请求出球飞行的最大水平距离．
（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．
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【考点】二次函数的应用．
【专题】压轴题．
【分析】抛物线的开口方向由二次项系数确定，顶点，对称轴，可以由抛物线顶点式确定．本题抛物线都是经过原点的，要充分运用好顶点式解题．
【解答】解：（1）y=﹣x2+x=﹣（x﹣4）2+
∴抛物线y=﹣x2+x开口向下，顶点为（4，），对称轴为直线x=4；
（2）令y=0，得：
﹣x2+x=0
解得：x1=0，x2=8
∴球飞行的最大水平距离是8m．
（3）要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10m
∴抛物线的对称轴为直线x=5，顶点为（5，）
设此时对应的抛物线解析式为y=a（x﹣5）2+
又∵点（0，0）在此抛物线上，
∴25a+=0，a=﹣
∴y=﹣（x﹣5）2+，
即y=﹣x2+x．
【点评】任何一个抛物线解析式都是可以写成一般式和顶点式的，要充分用好抛物线的对称性，顶点，解析式中的顶点式解题．
24．如图所示，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=AB=5，将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到△OA1B1．
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（1）线段OA1的长是5，∠AOB1的度数是135°；
（2）连接AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形．
【考点】旋转的性质；菱形的判定．
【分析】（1）△OAB是等腰直角三角形，△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到△OA1B1，则△OAB≌△OA1B1，根据全等三角形的性质即可求解．
（2）可证明OA∥A1B1且相等，即可证明四边形OAA1B1是平行四边形．
【解答】（1）解：∵△OAB≌△OA1B1，
∴OA1=OA=5；
∵△OAB是等腰直角三角形，
∴∠A1OB=45°
∴∠AOB1=∠BOB1+∠BOA=90+45=135°．
故答案为5，135°；
（2）证明：∵∠AOA1=∠OA1B1=90°，
∴OA∥A1B1，
又∵OA=AB=A1B1，
∴四边形OAA1B1是平行四边形．
【点评】此题主要考查了旋转的性质和平行四边形的判定，解题的关键是得出OA∥A1B1．
25．一家用电器开发公司研制出一种新型的电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月可销售20万件．为了增加销售量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件．
（1）求出月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；
（2）求出月销售利润z（万元）（利润=售价﹣成本价）与销售单价x（元）之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）．
（3）若某月利润为350万元时，则该月销售量为多少万件，此时销售单价为多少元？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【专题】销售问题．
【分析】（1）根据“按定价40元出售，每月可销售20万件”及“经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件”可列出月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）由月销售利润=（销售单价x﹣成本单价18）•月销售量y（万件），列出函数关系式；
（3）根据月销售利润z=350，列出方程，求出销售单价x的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得：
y=20+2（40﹣x）
=﹣2x+100．
故y与x的函数关系式为y=﹣2x+100；
（2）z=（x﹣18）y
=（x﹣18）（﹣2x+100）
=﹣2x2+136x﹣1800，
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故z与x的函数关系式为z=﹣2x2+136x﹣1800；
（3）当z=350时，则﹣2x2+136x﹣1800=350，
整理得x2﹣68x+1075=0，
解得x1=25，x2=43，
∵18≤x＜40，
∴x=25，
此时，y=﹣2×25+100=50（万件），
即此时该月销售量为50万件，销售单价为25元．
【点评】本题考查列一次函数、二次函数及解决实际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系．
26．如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，与抛物线y=ax2+bx交于点C、D．已知点C的坐标为（1，7），点D的横坐标为5．
（1）求直线与抛物线的解析式；
（2）将此抛物线沿对称轴向下平移几个单位，抛物线与直线AB只有一个交点？
【考点】待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与几何变换．
【分析】（1）把点C的坐标（1，7）代入y=kx+5得到k的值，从而得到一次函数的解析式；把x=5代入y=2x+5，得y=15，得到D点坐标，把C（1，7）、D（5，15）代入y=ax2+bx，即可组成方程组求出抛物线的解析式；
（2）把抛物线的顶点坐标，然后写出平移后的顶点式形式，再根据与直线只有一个交点联立方程求解即可得到平移后的顶点坐标，然后写出向下平移的单位即可．
【解答】解：（1）把点C的坐标（1，7）代入y=kx+5得，7=k+5，
解得k=2，
∴y=2x+5，
把x=5代入y=2x+5，得y=15，
∴D（5，15）．
把C（1，7）、D（5，15）代入y=ax2+bx，得a=﹣1，b=8，
∴y=﹣x2+8x；
（2）抛物线y=﹣x2+8x的顶点坐标为（4，16），对称轴是直线x=4，
设向下平移后的抛物线的顶点坐标为（4，k），
所以，平移后的抛物线的解析式为y=﹣（x﹣4）2+k，
与直线y=2x+5联立消掉y得，﹣（x﹣4）2+k=2x+5，
整理得，x2﹣6x+21﹣k=0，
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∵抛物线与直线AB只有一个交点，
∴△=b2﹣4ac=36﹣4（21﹣k）=0，
解得k=12，
16﹣12=4，
所以，此抛物线沿着对称轴向下平移4个单位．
【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式以及二次函数的解析式和二次函数图形的平行问题，是中考常见题型．
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