培正中学2015学年上学期高二理科数学期中考试
（满分150分）考试时间:2015年11月2日
姓名_________学号_________班级________成绩__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2、已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
3、下列四个函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
4、已知等差数列的前项和为，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5、某健康协会从某地区睡前看手机的居民中随机选取了人进行调查，得到如右图所示的频率分布直方图．已知睡前看手机时间不低于分钟的有人，则的值为（ ）
A． B． C． D． 第5题图
6、设，则“”是“直线与直线垂直”的（ ）.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7、圆被抛物线的
准线截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
8、执行下面的程序框图，则输出的的值为（ ）
A． B． C． D． 第8题图
9、下列命题正确的是（ ）
①函数的一个对称中心是；
②从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，则事件“至少有1个红球”和事件“全是白球”是互斥而不对立的两个事件；
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③ 将的图象向右平移个单位长度，即得到函数的图象；
④若函数的图象都在轴上方，则实数的取值范围是．
A．①③
B．①④
C．②④
D．③④
10、某几何体的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，
则该几何体的体积不可能是（ ）
A． B． C． D．
第10题图
11、已知双曲线（，）的左、右焦点分别为、，点是双曲线右支上一点，且，延长交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12、已知函数是上的减函数，且函数的图象关于点对称．设动点，若实数满足不等式 恒成立，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13、已知奇函数满足时，，则 ．
14、若实数，满足约束条件，则的最小值为 ．
15、在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是 ．
16、已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PA与底面垂直，且PA=AB，若该四棱锥的侧面积为，则该四棱锥外接球的表面积为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17、（满分10分）在中，角，，对应的边分别为，，．已知
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．
求；
若，，求和的值．
18、（满分12分）某驾校为了保证学员科目二考试的通过率，要求学员在参加正式考试（下面简称正考）之前必须参加预备考试（下面简称预考），且在预考过程中评分标准得以细化，预考成绩合格者才能参加正考．现将名学员的预考成绩绘制成茎叶图如下图所示：
规定预考成绩分以上为合格，不低于分为优秀．若上述数据的中位数为，平均数为．
求，的值，指出该组数据的众数，并根据平均数以及参加正考的成绩标准对该驾校学员的学习情况作简单评价；
若在上述可以参加正考的学员中随机抽取人，求其中恰有人成绩优秀的概率．
19、（满分12分）正三角形ABC的边长为6，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC的中点（如图（1））．现将△ABC沿CD翻折，使得面ADC⊥面BDC（如图（2））．在图形（2）中：
（1）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（2）若线段BC上一点P满足BC=3BP，证明：AP⊥DE．
20、（满分12分）设各项均为正数的等比数列中，,
（1）求数列的通项公式；
（2）若,，求证： ；
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21、（满分12分）已知椭圆（）过点，离心率为．
求椭圆的方程；
已知直线过椭圆的右焦点交于，两点，点为直线上的点，且，记直线与直线（为原点）的交点为，证明：．
22.（满分12分）已知函数.
（1）若，求函数的单调递增区间；
（2）当时，若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围.
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