佛山一中2015学年度第一学期期中考试高二级理科数学试题
参考公式：，，，
一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分。每题的四个选项中，只有一项符合题目要求．）
1、直线的倾斜角是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、已知A（2，4）与B（3，3）关于直线m对称，则直线m的方程为（ ）
A、x+y=0 B、x-y=0 C、x+y-6=0 D、x-y+1=0
3、如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（ ）
A、BD∥平面CB1D1 B、AC1⊥BD
C、AC1⊥平面CB1D1 D、异面直线AD与CB1所成的角为60°
4、长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的体积是（ ）
A、 B、 C、 D、
5、如图是某实心几何体的三视图，其中主视图和侧视图是半径
为的半圆，俯视图是个圆，则该几何体的全面积是（ ）
A、 B、 C、 D、
6、正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ ）
A、 B、 C、 D、
7、如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面图形的面积为（ ）
A、 B、 C、 D、
8、在右图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为( )
A、 B、 C、 D、
9、在下列条件中，可判断平面与平行的是（ ）
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A、，且
B、是两条异面直线，且 ，
C、是内的两条直线，且
D、内存在不共线的三点到的距离相等
10、一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的高为（ ）
A、1 B、 C、2 D、
11、如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段AC1上有两个动点E，F，且EF=.给出下列四个结论:
①CE⊥BD；
②三棱锥E—BCF的体积为定值；
③△BEF在底面ABCD内的正投影是面积为定值的三角形；
④在平面ABCD内存在无数条与平面DEA1平行的直线.
其中，正确结论的个数是（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
12、设分别为直线和圆上的动点，则的最小值为（ ）
A、 B、 C、 D、
二、 填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13、在矩形中,,, 垂足为,则_______.
14、已知直线m:与圆C:相交于两点，则弦长________________.
15、如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．则_______________．
16、已知光线经过点A（-1，2），由镜面所在直线y=x反射后经过点B（1，4），则反射光线所在直线方程为_______________________ .
三．解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
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17、(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲
如图，直线与圆相切于点，过作直线与圆交于、两点，点在圆上，且．
（1）证明：；
（2）若，求．
18、（本小题满分12分）已知圆心.
（1）写出圆的标准方程；
（2）过点作圆的切线，求该切线的方程及切线的长.
19、（本小题满分12分）如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，底面边长和侧棱长均为2，分别是的中点.
（1）求证：
（2）求证：
20、（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面．若．
（1）求证：平面；
（2）侧棱上是否存在点，使得平面？
若存在，指出点的位置并证明，若不存在，请说明理由.
21、（本题满分12分）如图（1），在直角梯形ABCD中，
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,,.将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图所示（2）.
（1） 求几何体的体积；
（2） 求二面角的正切值;
（3） 求几何体的外接球的表面积.
22、（本题满分12分）如图1，直角梯形中，,，． 交于点，点,分别在线段,上，且．将图1中的沿翻折，使平面⊥平面（如图2所示），连结、，、．
（1）求证：平面平面；
（2）当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值．
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装 订 线
考号： 班级： 姓名： 试室号：
2015学年度第一学期期中考试高二级理科数学答卷
座位号：
一、选择题（每小题5分，12小题，共60分）请把答案涂在答题卡
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13、 ；14、 ；
15、 ；16、 ；
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17、（本小题满分10分）
18、（本小题满分12分）
19、(本小题满分12分)
13
20、(本小题满分12分)
21、(本小题满分12分)
13
22、(本小题满分12分)
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佛山一中2015学年度第一学期期中考试高二级理科数学答案
一、选择题ADDC CACB DBBA
二、填空题 13、 14、 15、 16、 y=-5x+9
三、解答题
17、(本题满分10分)选修4-1：几何证明选讲
如图，直线与圆相切于点，过作直线与圆交于、两点，点在圆上，且．
（1）证明：；
（2）若，求．
（1）证明： 直线与圆相切于点，过作直线与圆交于、两点
------------------------------------2分
-----------------------------------------3分
-------------------------------------5分
（1） 解：由（1）得，
---------------------------------------------------------7分
--------------------------------------------------------9分
------------------------------------------------------10分
18、（本题满分12分）已知圆心
（1）写出圆的标准方程；
（2）过点作圆的切线，求切线的方程及切线的长.
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解：（1） 圆C的半径 ------------------------------------2分
所以圆C的标准方程： ------------------------------4分
（2）由题意知切线斜率存在,故设过点的切线方程为-----------------6分
即，有：，
，解得，------------------------------------------8分
所求切线的方程为-----------------------------------10分
由圆的性质可知：-----------12分
（本题12分）如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，底面边长和侧棱长均为2，分别是的中点，
求证：； （2）求证：
（1）证明：底面边长均为2，D是BC中点
----------------------------1分
三棱柱的侧棱垂直于底面，
-----------------------------------------2分
，，
-----------------------------------------------------3分
----------------------------------4分
（2）证明：连结交于O，连结DO
O是正方形对角线的交点
O为中点
D是BC的中点
OD//，且 --------------6分
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---------------------------7分
分别是的中点，
四边形是平行四边形
-----------------------------------------------------------9分
-------------------------------------------------10分
----------------------------------------12分
20、（本题12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面．若．
（1）求证：平面；
（2）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置并证明，若不存在，请说明理由；
（1）证明：因为 ，所以．
又因为侧面底面，且侧面底面，
所以底面． -----------------------------------------------2分
而底面，
所以． -----------------------------------------------3分
在底面中，因为，，
所以 ， 所以． -------------------------------------5分
又因为， 所以平面． ------------------------------------6分
E
F
A
B
P
C
D
（2）在上存在中点，使得平面， ----------------------------------7分
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证明如下：设的中点是，
连结，，，
则，且．------------------------8分
由已知，
所以． --------------------------------9分
又，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以．--------11分
因为平面，平面，
所以平面． -------------------12分
21、（本题满分12分）如图（1），在直角梯形ABCD中，
,,.将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图所示（2）.
求几何体的体积；
求二面角的正切值;
求几何体外接球的表面积.
（1）解： 在直角梯形中，
∴, ∴ 即
∵平面底面，且交线为，平面
∴平面. --------------------------------2分
在中， --------------
∴
∴几何体的体积为 ———---------------------------4分
解：记AC中点为E，过E作，连结DE，DH
AD=DC,E为AC中点
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平面平面，
-------------------------------------------------5分
又，且，
-----------------------------------------------6分
是二面角的平面角-------------------------7分
DE=，HE=1 -----------------------------------------8分
----------------------------------------------------9分
（3）解：O为AB中点，E为AC中点，连结DE，EO，DO
，DE=OE=
,--------------------------10分
又
的外接球的球心为O，半径为2----------------------------------11分
的外接球的表面积为---------------------------------------12分
22、（本题12分）如图1，直角梯形中，,，． 交于点，点,分别在线段,上，且．将图1中的沿翻折，使平面⊥平面（如图2所示），连结、，、．
（1）求证：平面平面；
（2）当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值．
（1）证明：∵，，
又交于点．
∴四边形是边长为的正方形 ----------------------------------1分
∴，．
又∵平面
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平面
∴ ------- -------------------3分
∵，∴ ------------------------ --4分
又
∴ -------------------------5分
∵
∴平面 --------------------------- 6分
（2）解：由（Ⅰ）知，，
设，则（）
由，得到 ，
从而
， ---------------------------------------7分
根据时，三棱锥体积最大，此时，为中点．------------------------8分
设直线与平面所成的角为
平面, 平面
平面
到平面的距离就是到平面的距离， ---------------------9分
,
-----------------------------------11分
又 ---------------------------------12分
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