淄川一中高2013级第一学期期中检测
文科数学试卷
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1、若集合，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
2.“”是“函数在区间上为减函数”的（ ）
(A).必要不充分条件 (B).充分不必要条件 (C).充分必要条件 (D).既不充分又不必要条件
3、 已知为第四象限角，，则=（ ）
(A) （B） (C) (D)
4、已知向量a，b，且|a|＝1，|b|＝2，则|2b－a|的取值范围是( )
(A)[1，3] (B)[2，4] (C)[3，5] (D)[4，6]
5、为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
(A) 向左平移 (B) 向左平移 (C) 向右平移 (D) 向右平移
6、在△ABC中，若=4，b=3，=，则B=( )
(A)． (B)． (C)． (D)．或
7、 下列命题中，真命题是 ( )
(A)存在，使 (B)存在，使
(C)存在，使 (D)对任意，均有
若函数 8、的大致图像如右图，其中为常数，
- 10 -
则函数的大致图像是（ ）
(9) 9、函数在上有两个零点，则实数的取值范围为 ( )
(10) A A ． B． C． D．
(10)设 10、 函数（，为自然对数的底数）.若存在使成立，则 立， 的取值范围是（ ）
(A) （ A ） (B) (C) (D)
二二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）.
(11)在 11、△ABC中，若= 1， =，，则= .
12、已知等比数列是递增数列，是的前项和.若是方程 的两根，则__________.
13.平面内给定三个向量
若 //，则实数等于
14.已知是R上的奇函数，且对任意
都有成立，则 .
15.函数，给出下列4个命题：
①在区间上是减函数；
②直线是函数图像的一条对称轴；
- 10 -
③函数的图像可由函数的图像向左平移而得到；
④若，则的值域是．
其中正确命题的序号是 .
三.解答题 :本大题共6小题，共75分
16、(本小题满分12分)
已知函数.
（I）求函数的最小正周期和单调递增区间；
(Ⅱ)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围.
17、 (本小题满分12分)
已知函数图像上的点处的切线方程为．
（I）若函数在时有极值，求的表达式；
(Ⅱ)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
18．(本小题满分12分）等差数列的前项和为，且，.
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，且，求的前项和.
19．（本小题满分12分）
设数列满足条件:,,,且数列是等差数列.
(1)设,求数列的通项公式；
(2)若, 求.
20.(13
20.（1 20.（13分）在中角A、B、C所对的边分别为，面积为．
- 10 -
已知
(1)求; (2)若，求S的最大值
（21） 21.（本小题满分14分）
已知函数.（）
（Ⅰ）当时，求在区间[，e]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数的图象恒在直线下方，求的取值范围．
(Ⅲ)设，.当时，若对于任意，存在，使,求实数的取值范围。
- 10 -
1【答案】C．
【解析】将集合化简得,, ,所以.
【考点】本题主要考查集合与集合的运算,简单二次不等式的解法以及函数的值域问题.
2、【答案】．B
3【答案】D．
【解析】选D. 由两边平方得到，因为α为第四象限角，所以，，所以
4、【答案】C．
【解析】|2b－a|＝＝∈[3，5]．故选C.
【考点】本题考查向量的数量积的运算及性质．
5、【答案】D．
【解析】法一：，由得，
即将函数的图象向右平移得到函数的图象
法二：
将函数的图象向右平移得到函数的图象
【考点】本题考查了三角函数的诱导公式、图象平移变换的知识.
6、【答案】A
7、 【答案】D．
【解析】 选项A中，，命题为假；选项B中，令，则当时，，即，故不存在，使，命题为假；选项C时，，命题为假；选项D时，，令，求导得，是增函数，则对任意
- 10 -
，命题D为真．
【考点】本题主要考查三角函数的概念、公式与简单性质，导数，方程与不等式等知识．
8、【答案】．B
9、【答案】．C
10、【答案】A．
【解析】由题，并且可得，即，整理得，即，，利用导数可以知道函数在上单调递增，从而求得的取值范围是，故选A.
【考点】本题考查抽象函数的理解，关键是存在使成立，将这一条件进行转化为，利用函数与方程思想进行求解即可.
11、【答案】2
【解析】由余弦定理得，，即，解得或（舍）.
【考点】本题考查利用三角形中的余弦定理或利用正弦定理求解.
12、 【答案】121
13. 14. 15.①②
16、解：（I）
┉┉┉┉┉┉3分
函数的最小正周期. ┉┉┉┉……………………………….4分
由解得，. 函数的单调递增区间为. ┉┉┉┉7分
(Ⅱ) ，， .┉┉9分
函数的值域为, 而方程变形为
，即. ┉┉┉┉┉┉11分
所以实数的取值范围是. ┉┉┉┉┉┉12分
- 10 -
17、 解析：， -----------------1分
因为函数在处的切线斜率为-3，
所以，即， ------------------------2分
又得． ------------------------3分
（I）因为函数在时有极值，所以，-------4分
解得， ------------------------------------------6分
所以． ------------------------------------7分
(Ⅱ)因为函数在区间上单调递增，所以导函数
在区间上的值恒大于或等于零，…………………………………………8分
法一：由得，………………………………11分
所以实数的取值范围为 ……………………………………12分
法二：因为函数在区间上单调递增，所以导函数
在区间上的值恒大于或等于零， ……………………………………………8分
由在区间上恒成立，得在区间上恒成立，只需…………………………………………………9分
令，则=．当时，恒成立．
所以在区间单单调递减， ． ……………………………………11分
所以实数的取值范围为． …………………………12分
- 10 -
18.解：(1)， 由 解得
又 所以
(2),
… …
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叠加得
所以,
时符合上式，所以
=
19．解：(1)为等差数列,,为等差数列,
首项,，
公差,
. …………5分
(2) ，
，
，
相减得：，
,
- 10 -
. …………12分
20.（本小题满分13分）
（1）条件可化为--------------------------------2分
由余弦定理可得，两边同时平方可得：-----------4分
,
故 ---------------------------8分
（2）------------------------10分
当且仅当时“＝”成立-----------------------------11分
面积最大值为10------------------------------------13分
21.解析：（Ⅰ）当时，，； ……………1分
当,有；当，有，∴在区间
[，1]上是增函数，在 [1，e]上为减函数， …………… 3分
又，，. ……………4分
（Ⅱ）令，则的定义域为（0，+∞）.
在区间（1，+∞）上，函数的图象恒在直线下方等价于在区间（1，+∞）上恒成立. ……………………………………5分
①
①若，令，得极值点，， ……6分
当，即时，在（，1)上有，在（1，)上有
- 10 -
，在（，+∞)上有，此时在区间(，+∞)上是增函数，并且在该区间上有∈(，)，不合题意； ……………………………7分
当，即时，同理可知， 在区间(1，)上，有
∈(，)，也不合题意； …………………………………8分
② 若，则有，此时在区间(1，+∞)上恒有，
从而在区间(1，+∞)上是减函数；
要使在此区间上恒成立，只须满足，由此求得的范围是[，]. ……………………………9分
综合①②可知，当∈[，]时，函数的图象恒在直线下方.10分
(Ⅲ)当时，由（Ⅱ）中①知在（，1)上是增函数，在（1，2)上是减函数，所以对任意，都有， ………11分
又已知存在，使,即存在，使,即存在，，即存在，使. ………13分
因为，所以，解得，所以实数的取值范围是. ……14分
- 10 -
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