汕头市金山中学2015-2016学年度第一学期期中考试
高二理科数学 试题卷
本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合，
则的元素个数为( )A.0 B.1 C.2 D.3
2.一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，
画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为( )
3.圆与圆的位置关系为 （ ）
A.内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离
4.下列命题中正确的有（ ）个。
①若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行。
②空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
③四面体的四个面中，最多有四个直角三角形。
④若两个平面垂直，则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线。
⑤若两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面。
A.1 B.2 C.3 D.4
5.直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线
BA1与AC1所成的角等于（ ）A．30° B．45° C．60° D．90°
6.已知过点和的直线与直线平行，
则的值为 A. B. C. D.
7.已知满足约束条件，若的最大值为4，
8
则=（ ）A． B． C． D．
8.过点的直线，将圆形区域分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程是
A. B. C. D.
9.过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围为（ ）
A．或 B． C． D．或
10.若是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为A. B. C. D.
11.已知矩形，＝1，．将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，
在翻折过程中
A．存在某个位置，使得直线与直线垂直
B．存在某个位置，使得直线与直线垂直
C．存在某个位置，使得直线与直线垂直
D．对任意位置，三对直线“与”，“与”，“与”均不垂直
12.在平面直角坐标系中，两点，间的“﹣距离”定义为
．则平面内与x轴上两个不同的定点的“﹣距离”之和等于定值（大于||）的点的轨迹可以是（ ）
A B C D
8
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知两直线。当时，。
14.在平面直角坐标系中，点关于直线的对称点的坐标为__________.
15.已知则的取值范围是__________.
16.设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则||·||的最大值是________．
三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.在中，已知,。
（1）求的长。（2）求的值。
18.为数列的前项和。已知，。
（1）求的通项公式。（2）设，求数列的前项和。
19.如图，在三棱柱中，,
在底面的射影为的中点，是的中点。
（1）证明：平面;
（2）求二面角的平面角的余弦值。
8
20.在平面直角坐标系中，已知圆
和圆
（1）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（2）设为平面上的点，满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标。
21.已知过原点的动直线与圆:相交于不同的两点.
（1）求圆的圆心坐标。
（2）求线段的中点的轨迹的方程,并求出轨迹中的取值范围。
（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围：若不存在，说明理由。
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参考答案
CABCC BBAAC BA
13.14.15.16.
16. 解析：易求定点A(0,0)，B(1,3)．当P与A和B均不重合时，因为P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立)，当P与A或B重合时，|PA|·|PB|＝0，故|PA|·|PB|的最大值是5.
答案：5
17.解（1）
(2),,
18. （I）由an2+2an=4Sn+3，可知an+12+2an+1=4Sn+1+3
两式相减得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）=4an+1，
即2（an+1+an）=an+12﹣an2=（an+1+an）（an+1﹣an），
∵an＞0，∴an+1﹣an=2，∵a12+2a1=4a1+3，∴a1=﹣1（舍）或a1=3，
则{an}是首项为3，公差d=2的等差数列，∴{an}的通项公式an=3+2（n﹣1）=2n+1：
（Ⅱ）∵an=2n+1，
∴bn===（﹣），
∴数列{bn}的前n项和Tn=（﹣+…+﹣）=（﹣）=．
19. （Ⅰ）设E为BC的中点，由题意的.
因为AB=AC，所以.故.
由D，E分别为的中点，得
，从而,所以为平行四边形.故
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又因为，所以
（Ⅱ）作.由.
由，得由，因此的平面角.由，得，
由余弦定理得
20解：(1)设直线的方程为：，即
由垂径定理，得：圆心到直线的距离，
点到直线距离公式，得：
求直线的方程为：或，即或
(2) 设点P坐标为，直线、的方程分别为：
，即：
因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。由
垂径定理，得：：圆心到直线与直线的距离相等。
故有：，
化简得：
关于的方程有无穷多解，有：,或
8
解之得：点P坐标为或。
21. （1）圆：化为，所以，圆的圆心坐标为；
（2）设线段的中点，由圆的性质可得垂直于直线
设直线的方程为（易知直线的斜率存在），所以，，所以
所以即
因为动直线与圆相交，所以，所以，所以，所以，
解得或，又因为，所以.
所以满足，即的轨迹的方程为.（3）由题意知直线表示过定点，斜率为的直线.
结合图形，表示的是一段关于轴对称，起点为按逆时针方向运动到的圆弧.根据对称性，只需讨论在X轴对称下方的圆弧.设，则,而当直线与轨迹相切时，，解得.在这里暂取，
因为，所以
结合图形，可得对于X轴对称下方的圆弧，当或时，
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直线L与X轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知或.
综上所述：当或时，直线与曲线只有一交点.
答案:（1）；（2）；（3）存在，或．
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