浙江省东阳中学2015届高三数学下学期期中试题 理.doc

东阳中学2015年下期高三数学（理科）期中试卷 一、选择题：‎ ‎1. 已知全集，集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎2. 若，下列不等式中不成立的是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 已知是非零向量，则“”是“”成立的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分条件又不必要条件 ‎4. ．已知，则等于 ‎ A．2 B． C．1 D．‎ ‎5. 已知定点，曲线C：，P是曲线C上的动点，当是等腰三角形时，符合条件的点P个数是　‎ A．１　　　　B．‎２　‎　　C．３　　　D．４‎ ‎6. 设函数，则函数的零点个数是 A．1 B．‎2 C．3 D．无数个 解：C。数形结合求解。‎ ‎7. 若正数满足，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎8. 棱长为2的正方体，点M在与正方体的各棱都相切的球面上运动，点N在的外接圆上运动，则线段MN长度的最小值是 A． B． C． D．‎ 二、填空题 ‎9.设 的值域为R，则实数 的取值范围是_______.‎ - 7 -‎ ‎10.已知双曲线 的左右焦点分别为，P是双曲线上一点，且 ，，则双曲线的离心率是_______.‎ ‎11. 已知点满足，当时，若的最大值为12，则所满足的关系式是_______________；在此条件下的最小值是_________.‎ ‎12. 右图是某几何体的三视图，若这三个正方形的边长均为1，则这个几何体的体积是________，表面积是________.‎ ‎13.设数列 的前n项和为 ，且 ，则的值是__________；若对任意正整数，恒有成立，则实数 的取值范围是__________.‎ ‎14.已知O是 内一点，，且，若，则________ ；的值是________.‎ ‎15. 已知点，P为线段上任意一点，过点P作直线，与以C为圆心、以为半径的圆交于两点M、N，若M恰为线段PN的中点，则实数的取值范围是__________.‎ 三、解答题 ‎16.已知函数 在区间 上的最大值为 ，（1）求实数 的值；（2）在 中，三内角 所对的三边分别为，且 ，求 的取值范围。‎ - 7 -‎ ‎17. 设等差数列的公差为，且成等比数列，其中表示数列的前项和，（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求证：‎ ‎18. 在三棱柱中，已知平面ABC，，E、F分别为棱BC、的中点，G为棱上的一点，且平面AEG，（1）求证：；（2）求二面角的大小的余弦值。‎ ‎19. 如图所示，曲线是以原点O为中心、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以O为顶点、为焦点的抛物线的一部分，A是曲线和的一个交点，且为钝角。若，，（1）求曲线和的所在的椭圆和抛物线的方程；（2）过作一条与x轴不垂直的直线，分别与曲线和 - 7 -‎ 依次交于B、C、D、E（从上到下）四点，若G为CD的中点、H为BE的中点，问是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由。‎ ‎20. 已知，（1）当时，求的值域；（2）设，当时，对任意，总有成立，求的取值范围。‎ 东阳中学2015年下期高三数学（理科）期中试卷答案 一、1. A. 由题意知，，‎ ‎2. D。 3. C。 4. A。‎ ‎5. D。当点P在上时，有三个点；当点P在上时，有一个点符合条件，故共有4个点。‎ ‎6. C。数形结合求解。‎ ‎7. D。设，则，则，即，解得。又注意到，得，解得或，故得。‎ ‎ 8. D。易求得球的半径为，球心到平面的距离为，的外接圆半径为，所以球心到此外接圆上点的距离为，故线段MN长度的最小值为。‎ 二、9. 或 10. ‎ - 7 -‎ ‎11. ；。点M构成的区域是顶点为的三角形，由图可知当点M在时取最大值，所以；因为，且当，即时，的最小值是 ‎12. ；．原几何体为一个正方体截去两个三棱锥。‎ ‎13. ; ‎ ‎14. ；由条件，得 ‎ ，即 ，解得 ，‎ 所以 ‎ ‎15. 。只要考虑极端情形：当点P在A点时，设直线AC与圆相交于M、N两点，只要时，适当绕点P转动总有一个位置满足，故，即，，解得；当点P在B点时，同样可得，即，解得。综上可知m的取值范围是。‎ 三、16.解：（1）， ‎ ‎（2），由正弦定理得 ‎ ‎17.解：（1）设数列首项为，由题意得，即，解得，故有 ‎（2）由上可知，所以 显然有。综上可得 ‎18. 解：（1）因为平面AEG ，所以AG，所以G是的中点。‎ 取AC中点H，连GH，易得GH，EH，所以平面EGH，从而有EG。‎ ‎（2）过H作直线AG的垂线交AG于K点，连EK，易证是二面角 - 7 -‎ 的平面角的补角。不妨设，在中，易求得，所以，即，故二面角的大小的余弦值是 另解：（1）因为平面AEG ，所以AG，所以G是的中点。‎ 以A为坐标原点，AB为x轴 ，AC为y轴建立空间坐标系，不妨设，则，所以，。因为，所以EG。‎ ‎（2）可求得平面AEG的法向量为；平面的法向量为，所以可求得。‎ - 7 -‎ ‎19. 解：（1）设椭圆的方程为，由椭圆的定义得。‎ 设，则，相减得。由抛物线的定义得，从而可得或（舍），则所求椭圆方程为，抛物线方程为 ‎（2）设，直线，代入椭圆，得，所以 同理可代入抛物线，得，‎ 所以为定值。‎ ‎20.解：（1），当时，值域为。‎ ‎（2）只要即可。‎ 设，则 当时，若，即时，在区间上单调递增，所以，解得，所以 若，即时，在区间上单调递减，在区间上递增，所以，所以 若，即时，在区间上单调递减，所以，解得，舍去。 综上可知.‎ - 7 -‎