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2017~2018学年度第二学期期末高二理科数学联考试卷
2018-6-18
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共22小题，共150分.共4开，考试时间120分钟，考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。)
1．若回归直线的斜率，则相关系数的取值范围为（ ）
A. B. C. 0 D. 无法确定
2．已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的是
A. B. C. D.
3．已知随机变量，若，则实数（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
4．已知 ，则（ ）
A. 18 B. 24 C. 36 D. 56
5．三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
6．以下四个命题中：
①两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近；
②若数据的方差为,则的方差为；
③对分类变量与的随机变量的观测值来说, 越小,判断“与有关系”的把握程度越大.
其中真命题的个数为（ ）
A. B. C. D.
7．如右图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．将编号为1,2,3,4的四个小球放入A,B,C三个盒子中，若每个盒子至少放一个球，且1号球和2号球不能放在同一个盒子，则不同的放法种数为（ ）
A. 24 B. 30 C. 48 D. 72
9．若离散型随机变量的分布列为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
10．如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点，，则异面直线与所成的角的大小为（ ）
A. B. C. D.
11．某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外从事体育锻炼的时间（单位：分钟），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为8组，分别是，作出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是（ ）
12.用五种不同的颜色给图中六个小长方形区域涂色，要求颜色齐全且有公共边的区域颜色不同，则共有涂色方法（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．某公司安排6位员工在元旦假期（1月1日至1月3日）值班，每天安排2人，每人值班一天，则6位员工中甲不在1月1日值班的概率为__________;
14．已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________;
15．展开式中二项式系数和为32，则展开式中的系数为_________;
16．甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1、A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：
①P（B）=；②P（B|A1）=；③事件B与事件A1不相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件；⑤P（B）的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中哪一个发生有关，其中正确结论的序号为 ．（把正确结论的序号都填上）
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（本小题满分12分）习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明理念，这将进一步推动新能源汽车产业的迅速发展，以下是近几年我国新能源乘用车的年销售量数据及其散点图：
（1）请根据散点图判断，与中哪一个更适宜作为年销售量关于年份代码的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程，并预测2018年我国新能源乘用车的销售量（精确到0.1）
附：最小二乘估计公式：.
参考数据：
22.72
374
135.2
851.2
其中
18.（本小题满分12分）如图，在中,已知，在上，且，又平面.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
19．（本小题满分12分）某青年教师专项课题进行“学生数学成绩与物理成绩的关系”的课题研究，对于高二年级800名学生上学期期末数学和物理成绩，按优秀和不优秀分类得结果：数学和物理都优秀的有60人，数学成绩优秀但物理不优秀的有140人，物理成绩优秀但数学不优秀的有100人．
（1）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关系？
（2）将上述调查所得到的频率视为概率，从全体高二年级学生成绩中，有放回地随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3个成绩中数学、物理两科成绩至少有一科优秀的次数为，求的期望．
附：
20．（本小题满分12分）如图甲所示， 是梯形的高， ， ， ，现将梯形沿折起如图乙所示的四棱锥，使得，点是线段上一动点.
（1）证明： 和不可能垂直；
（2）当时，求与平面所成角的正弦值.
21．（本小题满分12分）某单位计划在一水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立.
（1）求未来3年中，设表示流量超过120的年数，求的分布列及期望；
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：
年入流量
发电机最多可运行台数
1
2
3
若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
22．（本小题满分10分）已知函数
（1）当时，解不等式
（2）若对任意都存在，使得成立，求实数的取值范围.
高二数学（理）参考答案
1．B 2．A 3．C 4．B 5．A 6．B
7．C 8．B 9．A 10．C 11．B 12．D
13． 14．8π 15． 16．②③④
---------- 8分
---------- 6分
17.
7分
2分
12分
10分
9分
18. (Ⅰ)证明：设OA=1,则PO=OB=2,DA=1,
由DA∥PO，PO⊥平面ABC，知DA⊥平面ABC，
∴DA⊥AO.从而DO= ,PD= ，
在△PDO中，∵PO=2，
∴△PDO为直角三角形，故PD⊥DO.
又∵OC=OB=2,∠ABC=45∘，
∴CO⊥AB，又PO⊥平面ABC，
∴PO⊥OC，
又PO，AB⊂平面PAB，PO∩AB=O，
∴CO⊥平面PAB.
故CO⊥PD.
∵CO∩DO=O，
∴PD⊥平面COD. ………………6分
(Ⅱ)以OC，OB，OP所在射线分别为x，y，z轴，建立直角坐标系如图。
则由(Ⅰ)知,C(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2),D(0,−1,1)，
∴=(0,−1,−1), =(2,−2,0), =(0,−3,1)，
由(Ⅰ)知PD⊥平面COD,∴是平面DCO的一个法向量，
设平面BDC的法向量为=(x,y,z),∴,∴，
令y=1,则x=1,z=3,∴=(1,1,3)，
∴cos10.828． …（8分）
所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关．
（2）每次抽取1名学生成绩，其中数学物理两科成绩至少一科是优秀的频率0.375．
将频率视为概率，即每次抽取1名学生成绩，其中数学物理两科成绩至少一科是优秀的概率为．由题意可知X～B（3，），从而E（X）=np= ． …（12分）
20. 【答案】（1）详见解析; （2）.
【解析】试题分析：由于折叠后，经过计算知，这样两两垂直，因此以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标．
（1）否定性命题，可假设，同时设（），利用向量垂直计算出，如果满足说明存在，如果不满足说明不存在；
（2）由得点坐标，从而可求出平面的法向量，则向量与夹角的余弦的绝对值等于直线与平面所成角的正弦值．
解析：如图甲所示，因为是梯形的高，，所以,因为，，可得，,如图乙所示，， ，，所以有，所以,而，，所以平面,又，所以、、两两垂直．故以为原点，建立空间直角坐标系（如图），则，，,
（1）设其中，所以 ，，假设和垂直，则，有，解得，这与矛盾，假设不成立，所以和不可能垂直.……………………6分
（2）因为，所以 ,设平面的一个法向量是，因为，，所以，，即,取,而，所以,所以与平面所成角的正弦值为.……………………12分---------- 6分
21. 【答案】（1）（2）欲使总利润的均值达到最大，应安装2台发电机
【解析】试题分析：
(1)利用二项分布求得分布列，然后可得数学期望为0.3；
(2)利用题意分类讨论可得应安装2台发电机．
试题解析：（1）依题意，，
由二项分布可知，.
,,
,,
所以的分布列为
0
1
2
3
0.729
0.243
0.027
0.001
. ……………………6分
（2）记水电站的总利润为（单位：万元），
①假如安装1台发点机，由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年
利润，；
②若安装2台发电机，
当时，只一台发电机运行，此时，，
当时，2台发电机运行，此时，，
.
③若安装3台发电机，
当时，1台发电机运行，此时，，
当时，2台发电机运行，此时，，
当时，3台发电机运行，此时，，
综上可知，欲使总利润的均值达到最大，应安装2台发电机. ……………………12分
22.
--------- 5分
---------- 10分
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