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班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
江西赣州第一中学2017-2018学年下学期高一年级期末考试卷
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若实数a，b∈R且a＞b，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. a2＞b2 B. C. 2a＞2b D. lg（a﹣b）＞0
【答案】C
【解析】选项A，当a=﹣1且b=﹣2时，显然满足a＞b但不满足a2＞b2 ， 故错误；选项B，当a=﹣1且b=﹣2时，显然满足a＞b但 = ，故错误；选项C，由指数函数的单调性可知当a＞b时，2a＞2b ， 故正确；选项D，当a=﹣1且b=﹣2时，显然满足a＞b但lg（a﹣b）=lg1=0，故错误．故答案为：C．
2．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由诱导公式可得，
则．故选D．
3．α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）
①若α∥β，m⊂α，则m∥β；
②若m∥α，n⊂α，则m∥n；
③若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥β；
④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β．
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
【答案】B
【解析】由α，β为两个不同的平面， m，n为两条不同的直线，知：在①中，若α∥β，m⊂α，则由面面平行的性质定理得m∥β，故①正确；在②中，若m∥α，n⊂α，则m与n平行或异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m与β相交、平行或m⊂β，故③错误；在④中，若n⊥α，m⊥α，则m∥n，由n⊥β，得m⊥β，故④正确．故答案为：B．
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn ， 若S7=21，S17=34，则S27=（ ）
A. 27 B. ﹣27 C. 0 D. 37
【答案】A
【解析】由等差数列的求和公式性质可设Sn=An2+Bn，
∵S7=21，S17=34，∴ ，解得A= ，B= ．
∴Sn=﹣ n2+ n．
则S27= + =27．
故答案为：A．
5．五四青年节活动中，高三（1）、（2）班都进行了3场知识辩论赛，比赛得分情况的茎叶图如图所示（单位：分），其中高三（2）班得分有一个数字被污损，无法确认，假设这个数字具有随机性，那么高三（2）班的平均得分大于高三（1）班的平均得分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由径叶图可得高三（1）班的平均分为，高三（2）的平均分为，由，得，又，所以可取6，7，8，9，概率为，故选D．
6．如图所示的程序框图输出的结果为30，则判断框内的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当，时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，，；
当，时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，，；
当，时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，，；
当，时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，，；
当，时，满足退出循环的条件，故判断框内的条件是，故选B．
7．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700．从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ）
32211834297864540732524206443812234356773578905642
84421253313457860736253007328623457889072368960804
32567808436789535577348994837522535578324577892345
A．623 B．328 C．253 D．007
【答案】A
【解析】从第5行第6列开始向右读取数据，第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，
第四个是007，第五个是328，第六个是623，故选A．
8．将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，若在上为增函数，则的最大值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得，
当时，，由于，故函数在上不是增函数，
当时，，由于，故函数在上是增函数．
故选B．
9．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为 ，则这个几何体的外接球的表面积为（ ）
A. 8π B. 24π C. 48π D. 64π
【答案】D
【解析】由三视图可得该几何体为底面边长为5、6，一条侧棱垂直底面的四棱锥，设高为h，则 ，解得h= ．将该几何体补成一个长方体，则其外接球半径为R= ，故这个几何体的外接球的表面积为4πR2=64π．故答案为：D．
10．若，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，故，
因为，所以，所以，
所以
．故选C．
11．已知在中，两直角边，，是内一点，且，设，则（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【解析】如图以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则点坐标为，点坐标为，因为，设点坐标为，，，
则，故选A．
12．已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为．若对恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，故函数的周期为，，，
若对恒成立，即当时，恒成立，
故有，，求得，，
又，．故选D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．从集合的所有子集中任取一个集合，它含有2个元素的概率为__________．
【答案】
【解析】由题意得，集合有个子集，含有2个元素的集合共有种，
故含有2个元素的概率为．
14．若直线l1：（a+2）x+（a﹣1）y+8=0与直线l2：（a﹣3）x+（a+2）y﹣7=0垂直，那么a的值为________．
【答案】±2
【解析】a=1时，两条直线分别化为：3x+8=0，﹣2x+3y﹣7=0，此时两条直线不垂直，舍去．a=﹣2时，两条直线分别化为：﹣3x+8=0，﹣5x﹣7=0，此时两条直线垂直，因此a=﹣2满足条件．a≠﹣2，1时，由﹣ × =﹣1，化为：a=2．满足条件．综上可得：a=±2．故答案为：±2．
15．已知向量，满足，，，则向量，的夹角为_______．
【答案】
【解析】由题意，，，可得
，所以，又因为，且，所以，
所以向量，的夹角为．
16．已知函数，若在区间内没有极值点，则的取值范围是________________．
【答案】
【解析】，
∴，，可得，
解得，∴，
∵在区间内没有零点，∴，故答案为．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn ， 且满足（n+1）an=2Sn（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=ancos（πan），求数列{bn）的前n项和Tn ．
【答案】（1）解：∵（n+1）an=2Sn ， ∴（n+2）an+1=2Sn+1 ．
两式相减，得（n+1）an=nan+1 ， 即 = ．
∴an= •…•
= •…• ×1=n
（2）解：∵bn=ancos（πan）=ncosnπ=n（﹣1）n ，
∴Tn=1×（﹣1）+2×（﹣1）2+3×（﹣1）3+4×（﹣1）4+…+n×（﹣1）n ， ①
﹣Tn=1×（﹣1）2+2×（﹣1）3+3×（﹣1）4+4×（﹣1）5+…+n×（﹣1）n+1 ． ②
①﹣②，整理得
2Tn=﹣1+（﹣1）2+（﹣1）3+（﹣1）4+…+（﹣1）n﹣n（﹣1）n+1= ﹣﹣n（﹣1）n+1
∴Tn= （﹣1）n﹣ ．
【解析】解法2：bn=ancos（πan）=ncosnπ=n（﹣1）n= ．
当n为偶数时，Tn=﹣1+2﹣3+4﹣5+6…﹣（n（n﹣1）﹣n= ﹣n=﹣ ．
∴Tn= （﹣1）n﹣ ．
18．（12分）甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．
（1）求甲抽到判断题，乙抽到选择题的概率是多少；
（2）求甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少．
【答案】（1）；（2）．
【解析】5个不同题目，甲、乙两人各抽一题，共有20种情况，把3个选择题记为、、，2个判断题记为、．“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：，，，，，，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：，，，，，，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有：，，，，，，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：，，共2种．
（1）“甲抽到选择题，乙轴到判断题”的概率为，
（2）“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为．
19．（12分）某商店对新引进的商品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
定价(元)
9
9.2
9.4
9.6
9.8
10
销量（件）
100
94
93
90
85
78
（1）求回归直线方程；
（2）假设今后销售依然服从（1）中的关系，且该商品进价为每件5元，为获得最大利润，商店应该如何定价？（利润=销售收入-成本）．
参考公式：，．
【答案】（1）；（2）9.5．
【解析】（1），，
，，，，
．
（2）设商店的获利为元，则
，
当且仅当时，取得最大值405，即商店应定为9.5元．
20．（12分）设，，满足，及．
（1）求与的夹角；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）平方得，，
，．
（2）．
21．（12分）如图所示，三棱锥V﹣ABC中，VA=VB=AC=BC=2，AB=2 ，VC=1，线段AB的中点为D．
（1）求证：平面VCD⊥平面ABC；
（2）求三棱锥V﹣ABC的体积．
【答案】（1）证明：如图所示：
∵VA=VB=2，AB=2 ，D为AB的中点，
∴VD⊥AB，VD= =1．
同理CD⊥AB，CD=1，CD∩VD=D，∴AB⊥平面VCD．
又∵AB⊂平面ABC，∴平面VCD⊥平面ABC．
（2）解：∵AB⊥平面VCD，
∴三棱锥V﹣ABC的体积等于三棱锥A﹣VCD与B﹣VCD的体积之和．
∵VC=VD=CD=1，
∴△VCD的面积为：
= = ，
∴三棱锥V﹣ABC的体积为：
VV﹣ABC= = = ．
22．（12分）已知函数，．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若，求函数的最大值及其相应的值．
【答案】（1）；（2），．
【解析】（1），
所以．
（2），，
当即时，函数取到最大值为．
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