平行线的证明
(时间：60分钟，满分：100分)
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分)
1．下列语句中，是命题的为( )．
A．延长线段AB到C B．垂线段最短
C．过点O作直线a∥b D．锐角都相等吗
2．下列命题中是真命题的为( )．
A．两锐角之和为钝角 B．两锐角之和为锐角
C．钝角大于它的补角 D．锐角大于它的余角
3．“两条直线相交，有且只有一个交点”的题设是( )．
A．两条直线 B．交点
C．两条直线相交 D．只有一个交点
4．如果∠A和∠B的两边分别平行，那么∠A和∠B的关系是( )．
A．相等 B．互余或互补
C．互补 D．相等或互补
5．若三角形的一个外角等于与它不相邻的一个内角的4倍，等于与它相邻的内角的2倍，则三角形各角的度数为( )．
A．45°，45°，90° B．30°，60°，90°
C．25°，25°，130° D．36°，72°，72°
6．如图所示，AB⊥EF，CD⊥EF，∠1＝∠F＝30°，则与∠FCD相等的角有( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．下列四个命题中，真命题有( )．
(1)两条直线被第三条直线所截，内错角相等．
(2)如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2.
(3)一个角的余角一定小于这个角的补角．
(4)如果∠1和∠3互余，∠2与∠3的余角互补，那么∠1和∠2互补．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图所示，∠B＝∠C，则∠ADC与∠AEB的大小关系是( )．
A．∠ADC＞∠AEB B．∠ADC＝∠AEB
C．∠ADC＜∠AEB D．大小关系不能确定
9．如图所示，AD平分∠CAE，∠B＝30°，∠CAD＝65°，则∠ACD＝( )．
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A．50° B．65° C．80° D．95°
10．如图所示，已知AB∥CD，AD和BC相交于点O，若∠A＝42°，∠C＝58°，则∠AOB的度数为( )．
A．45° B．60° C．80° D．90°
二、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
11．如图所示，∠1＝∠2，∠3＝80°，那么∠4＝__________.
12．如图所示，∠ABC＝36°40′，DE∥BC，DF⊥AB于点F，则∠D＝__________.
13．如图所示，AB∥CD，∠1＝115°，∠3＝140°，则∠2＝__________.
14．如果一个三角形三个内角的比是1∶2∶3，那么这个三角形是__________三角形．
15．一个三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，则与此对应的三个内角的比为__________．
16.如图所示，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠A＝65°，则∠BFC＝__________.
17．“同角的余角相等”的题设是__________，结论是__________．
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18．如图所示，AB∥EF∥CD，且∠B＝∠1，∠D＝∠2，则∠BED的度数为__________．
19．如果一个等腰三角形底边上的高等于底边的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于__________．
20．过△ABC的顶点C作AB的垂线，如果该垂线将∠ACB分为40°和20°的两个角，那么∠A，∠B中较大的角的度数是__________．
三、解答题(本大题共5小题，共30分)
21．(5分)如图所示，已知∠1＝∠2，AE∥BC，求证：△ABC是等腰三角形．
22．(5分)如图所示，已知直线BF∥DE，∠1＝∠2，求证：GF∥BC.
23．(6分)如图所示，已知直线AB∥CD，FH平分∠EFD，FG⊥FH，∠AEF＝62°，求∠GFC的度数．
24．(6分)如图所示，已知直线AB∥CD，∠AEP＝∠CFQ，求证：∠EPM＝∠FQM.
25．(8分)在△ABC中，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且∠ABC＝60°，∠BEC＝75°，求∠DAC的度数．
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参考答案
1答案：B 点拨：表判断的语句为命题．
2答案：C
3答案：C
4答案：D 点拨：角的两边分别平行，这两角相等或互补．
5答案：B 点拨：设与它相邻的内角为x°，则这个外角为2x°，于是x＋2x＝180°，从而得x＝60.因为2×60°＝120°，120°÷4＝30°，180°－60°－30°＝90°，所以该三角形的三内角分别为30°，60°，90°.
6答案：B
7答案：C 点拨：(1)错误，没有指出两直线平行．
8答案：B 点拨：利用外角等于与它不相邻两内角之和易得．
9答案：C 点拨：∵AD平分∠CAE，
∴∠EAD＝∠CAD＝65°
∴∠EAC＝130°.∴∠BAC＝50°.∴∠ACD＝∠BAC＋∠B＝80°.
10答案：C 点拨：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C＝58°.
∴∠AOB＝180°－42°－58°＝80°.
11答案：80° 点拨：∵∠1＝∠2，∴直线l1∥l2.
∴∠4＝∠3＝80°.
12答案：53°20′ 点拨：∠D＝90°－∠DAF＝90°－∠B＝90°－36°40′＝53°20′.
13答案：75° 点拨：因为∠AEC＝360°－∠1－∠3＝360°－115°－140°＝105°，所以∠2＝75°.
14答案：直角 点拨：最大内角为180°×＝90°.
15答案：5∶3∶1 点拨：三个外角的度数分别为360°×＝80°，360°×＝120°，360°×＝160°，故三个内角分别为100°，60°，20°，其比为5∶3∶1.
16答案：122.5°
17答案：两个角是同一个角的余角 这两个角相等
18 答案：90° 点拨：由题意知∠1＋∠2＝＋＝180°－(∠A＋∠C)，又∠A＋∠C＝180°，∴∠1＋∠2＝90°.∴∠BED＝180°－90°＝90°.
19答案：90°
20答案：70°
21证明：∵AE∥BC，(已知)
∴∠2＝∠C，(两直线平行，内错角相等)
∠1＝∠B.(两直线平行，同位角相等)
∵∠1＝∠2，(已知)
∴∠B＝∠C.(等量代换)
∴AB＝AC，△ABC是等腰三角形．(等角对等边)
22证明：∵BF∥DE，(已知)
∴∠2＝∠FBC.(两直线平行，同位角相等)
∵∠2＝∠1，(已知)
∴∠FBC＝∠1.(等量代换)
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∴GF∥BC.(内错角相等，两直线平行)
23解：∵AB∥CD，∴∠AEF＝∠EFD＝62°，∠CFE＝180°－∠AEF＝118°.
又FH平分∠EFD，∴∠EFH＝31°.
又GF⊥FH，∴∠EFG＝90°－31°＝59°.
∴∠GFC＝∠CFE－∠EFG＝59°
24证明：∵AB∥CD，(已知)
∴∠AEF＝∠CFM.(两直线平行，同位角相等)
又∵∠PEA＝∠QFC，(已知)
∴∠AEF＋∠PEA＝∠CFM＋∠QFC，(等式性质)
即∠PEF＝∠QFM.
∴PE∥QF.(同位角相等，两直线平行)
∴∠EPM＝∠FQM.(两直线平行，同位角相等)
25解：∵BE平分∠ABC，且∠ABC＝60°，
∴∠ABE＝∠EBC＝30°.∴∠C＝180°－∠EBC－∠BEC＝180°－30°－75°＝75°.
又∵∠C＋∠DAC＝90°，
∴∠DAC＝90°－∠C＝90°－75°＝15°.
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