【南方新课堂】2016年高考数学总复习 第四章 平面向量知能训练 理.doc

1 第四章 平面向量 第 1 讲 平面向量及其线性运算 1．(2012 年广东)若向量AB→＝(1,2)，BC→＝(3,4)，则AC→＝( ) A．(4,6) B．(－4，－6) C．(－2，－2) D．(2,2) 2．(2014 年广东)已知向量 a＝(1,2)，b＝(3,1)，则 b－a＝( ) A．(－2,1) B．(2，－1) C．(2,0) D．(4,3) 3．(2015 年广东广州一模)已知向量 a＝(3,4)，若|λa|＝5，则实数λ的值为( ) A.1 5 B．1 C．±1 5 D．±1 4．已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且BC→＝2AD→，则顶点 D 的坐标为( ) A. 2，7 2 B. 2，－1 2 C．(3,2) D．(1,3) 5．(2013 年辽宁)已知点 A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB→同方向的单位向量为( ) A. 3 5 ，－4 5 B. 4 5 ，－3 5 C. －3 5 ，4 5 D. －4 5 ，3 5 6．在△ABC 中，AB→＝c，AC→＝b.若点 D 满足BD→＝2DC→，则AD→＝( ) A.2 3 b＋1 3 c B.5 3 c－2 3 b C.2 3 b－1 3 c D.1 3 b＋2 3 c 7．(2013 年广东珠海一模)如图 X411 所示的方格纸中有定点 O，P，Q，E，F，G，H， 则OP→＋OQ→＝( ) 图 X411 A.FO→ B.OG→ C.OH→ D.EO→ 8．(2014 年福建)设点 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，点 O 为平行四边形 ABCD 所 在平面内任意一点，则OA→＋OB→＋OC→＋OD→＝( )2 A.OM→ B．2OM→ C．3OM→ D．4OM→ 9．已知平面向量 a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)． (1)若 a⊥b，求 x 的值； (2)若 a∥b，求|a－b|. 10．如图 X412，在△ABC 中，AD＝DB，AE＝EC，CD 与 BE 交于点 F，设AB→＝a，AC→＝b， AF→＝xa＋yb，求数对(x，y)的值． 图 X412 第 2 讲 平面向量的数量积 1．(2014 年新课标Ⅱ)设向量 a，b 满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6，则 a·b＝( ) A．1 B．2 C．3 D．5 2．(2014 年山东)已知向量 a＝(1， 3)，b＝(3，m)．若向量 a，b 的夹角为π 6 ，则实 数 m＝( )3 A．2 3 B. 3 C．0 D．－ 3 3．(2013 年广东东莞二模)已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量 a 在 b 方向上的 投影是( ) A．－4 B．4 C．－2 D．2 4．(2013 年大纲)已知向量 m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝ ( ) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 5．(2013 年广东珠海二模)如图 X421，已知在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠BAD＝60°， E 为 CD 的中点，则AE→·BD→＝( ) 图 X421 A．1 B. 3 C. 5 D. 7 6．(2014 年江西)已知单位向量 e1，e2 的夹角为α，且 cosα＝1 3 .若向量 a＝3e1－2e2， 则|a|＝______. 7．(2014 年重庆)已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，且 a＝(－2，－6)，|b|＝ 10，则 a·b ＝________. 8．(2013 年上海虹口二模)在△ABC 中，AB＝1，AC＝2，(AB→＋AC→)·AB→＝2，则△ABC 的 面积为__________． 9．已知|a|＝2，|b|＝3，a 与 b 的夹角为 120°，求： (1)a·b； (2)(2a－b)·(a＋3b)； (3)|a＋b|. 10．已知平面上有三点 A，B，C，且向量BC→＝(2－k,3)，AC→＝(2,4)． (1)若点 A，B，C 不能构成三角形，求实数 k 应满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，求 k 的值．4 第 3 讲 平面向量的应用举例 1．(2013 年陕西)已知向量 a＝(1，m)，b＝(m,2)，若 a∥b，则实数 m＝( ) A．－ 2 B. 2 C．－ 2或 2 D．0 2．设 x∈R，向量 a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且 a⊥b，则|a＋b|＝( ) A. 5 B. 10 C．2 5 D．10 3．(2013 年福建)在四边形 ABCD 中，AC→＝(1,2)，BD→＝(－4,2)，则该四边形的面积为 ( ) A. 5 B．2 5 C．5 D．10 4．(2013 年湖北)已知点 A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量AB→在CD→方 向上的投影为( ) A.3 2 2 B.3 15 2 C．－3 2 2 D．－3 15 2 5．(2012 年广东)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘ β＝α·β β·β .若两个非 零的平面向量 a，b 满足|a|≥|b|>0，a 与 b 的夹角θ∈ 0，π 4 ，且 a∘ b 和 b∘ a 都在集合 n 2|n∈Z 中，则 a∘ b＝( ) A.1 2 B．1 C.3 2 D.5 2 6．在等腰三角形 ABC 中，底边 BC＝4，则AB→·BC→＝( ) A．6 B．－6 C．8 D．－8 7．(2012 年湖南)在△ABC 中，AB＝2，AC＝3，AB→·BC→＝1，则 BC＝( )5 A. 3 B. 7 C．2 2 D. 23 8．(2014 年江苏)如图 X431，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB＝8，AD＝5，CP→＝3PD→， AP→·BP→＝2，则AB→·AD→＝______. 图 X431 9．(2013 年陕西)已知向量 a＝ cosx，－1 2 ，b＝( 3sinx，cos2x)，x∈R，设函数 f(x) ＝a·b. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在 0，π 2 上的最大值和最小值． 10．如图 X432，已知点 P(4,4)，圆 C：(x－m)2＋y2＝5(mb>0) 有一个公共点 A(3,1)，F1，F2 分别是椭圆的左、右焦点，直线 PF1 与圆 C 相切． (1)求 m 的值与椭圆 E 的方程； (2)设 Q 为椭圆 E 上的一个动点，求AP→·AQ→的取值范围． 图 X4326 第四章 平面向量 第 1 讲 平面向量及其线性运算 1．A 解析：AC→＝AB→＋BC→＝(4,6)． 2．B 解析：b－a＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1)． 3．D 4.A 5．A 解析：AB→＝(3，－4)，与向量AB→同方向的只有 A 选项，且 3 5 2＋ －4 5 2＝1，其模 为 1.故选 A. 6．A 解析：∵BD→＝2DC→，∴AD→－AB→＝2(AC→－AD→)．∴3AD→＝2AC→＋AB→.∴AD→＝2 3 AC→＋1 3 AB→＝2 3 b ＋1 3 c. 7．A 解析：如图 D67，以 OP，OQ 为邻边作平行四边形，OP→＋OQ→＝OA→＝FO→. 图 D67 图 D68 8．D 解析：如图 D68，∵点 M 为 AC，BD 的中点，则OA→＋OC→＝2OM→，OB→＋OD→＝2OM→，∴OA→ ＋OB→＋OC→＋OD→＝4OM→. 9．解：(1)若 a⊥b， 则 a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝2x＋3－x2＝0. 整理，得 x2－2x－3＝0，解得 x＝－1 或 x＝3. (2)若 a∥b，则有 1×(－x)－x(2x＋3)＝0. 则 x(2x＋4)＝0，解得 x＝0 或 x＝－2. 当 x＝0 时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，a－b＝(－2,0)， ∴|a－b|＝ －2 2＋02＝2； 当 x＝－2 时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，a－b＝(2，－4)， ∴|a－b|＝ 22＋ －4 2＝2 5. 10．解：方法一：令BF→＝λBE→，由题意知，AF→＝AB→＋BF→＝AB→＋λBE→＝AB→＋λ 1 2 AC→－AB→ ＝ (1－λ)AB→＋1 2 λAC→. 同理，令CF→＝μCD→，则AF→＝AC→＋CF→＝AC→＋μCD→＝AC→＋μ 1 2 AB→－AC→ ＝1 2 μAB→＋(1－μ)AC→. ∴ 1－λ＝1 2 μ， 1 2 λ＝1－μ. 解得 λ＝2 3 ， μ＝2 3 . ∴AF→＝1 3 AB→＋1 3 AC→.故 1 3 ，1 3 为所求．7 方法二：设CF→＝λCD→，∵E，D 分别为 AC，AB 的中点， ∴BE→＝BA→＋AE→＝－a＋1 2 b，BF→＝BC→＋CF→＝(b－a)＋λ 1 2 a－b ＝ 1 2 λ－1 a＋(1－λ)b. ∵BE→与BF→共线，a，b 不共线，∴ 1 2 λ－1 －1 ＝ 1－λ 1 2 .∴λ＝2 3 . ∴AF→＝AC→＋CF→＝b＋2 3 CD→＝b＋2 3 1 2 a－b ＝1 3 a＋1 3 b.故 x＝1 3 ，y＝1 3 ，即 1 3 ，1 3 为所求． 第 2 讲 平面向量的数量积 1．A 解析：a2＋2a·b＋b2＝10，a2－2a·b＋b2＝6，两式相减，得 4a·b＝4，a·b＝ 1. 2．B 解析：由题意，得 cosπ 6 ＝ a·b |a||b| ＝ 3＋ 3m 2 32＋m2 ＝ 3 2 ，解得 m＝ 3.故选 B. 3．A 解析：根据投影的定义，得向量 a 在 b 方向上的投影是|a|cosα＝ ab |b| ＝－4.故 选 A. 4．B 解析：因为(m＋n)⊥(m－n)，则 m2＝n2， 即(λ＋1)2＋12＝(λ＋2)2＋22,2λ＝－6，λ＝－3. 5．A 解析：AE→·BD→＝(AD→＋DE→)·(AD→－AB→)＝ AD→＋1 2 AB→ ·(AD→－AB→)＝AD→2－1 2 AB→·AD→－ 1 2 AB→2 ＝22－1 2 ×2×2×1 2 －1 2 ×22＝1. 6．3 解析：因为|a|2＝(3e1－2e2)2＝9e2 1－12e1·e2＋4e2 2＝9－12a|＝3. 7．10 解析：a＝(－2，－6)，|a|＝ －2 2＋ －6 2＝2 10， a·b＝|a||b|cos60°＝2 10× 10×1 2 ＝10. 8. 3 2 解析：(AB→＋AC→)·AB→＝AB→2＋AB→·AC→＝1＋1×2cosA＝2，cosA＝1 2 ，A＝60°，则 S△ABC＝1 2 ×1×2sin60°＝ 3 2 . 9．解：(1)a·b＝|a||b|cos120°＝2×3× －1 2 ＝－3. (2)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|·cos120°－3|b|2＝8－15 －27＝－34. (3)|a＋b|＝ a＋b 2＝ a2＋2a·b＋b2＝ 4－6＋9＝ 7. 10．解：(1)由点 A，B，C 不能构成三角形，得 A，B，C 在同一条直线上，即向量BC→与AC→ 平行． ∵BC→∥AC→，∴4(2－k)－2×3＝0.解得 k＝1 2 . (2)∵BC→＝(2－k,3)，∴CB→＝(k－2，－3)．8 ∴AB→＝AC→＋CB→＝(k,1)． ∵△ABC 为直角三角形，则 ①当∠BAC 是直角时，AB→⊥AC→，即AB→·AC→＝0. ∴2k＋4＝0.解得 k＝－2； ②当∠ABC 是直角时，AB→⊥BC→，即AB→·BC→＝0. ∴k2－2k－3＝0.解得 k＝3 或 k＝－1； ③当∠ACB 是直角时，AC→⊥BC→，即AC→·BC→＝0. ∴16－2k＝0.解得 k＝8. 综上所述，k∈{－2，－1,3,8}． 第 3 讲 平面向量的应用举例 1．C 解析：a∥b，有 m2＝2，m＝± 2. 2．B 解析：a⊥b⇒a·b＝0⇒x－2＝0⇒x＝2，即 a＝(2,1)． |a＋b|＝|(2,1)＋(1，－2)|＝ 32＋ －1 2＝ 10. 3．C 解析：AC→＝(1,2)，BD→＝(－4,2)．∵1×(－4)＋2×2＝0，∴AC→⊥BD→.∴该四边形 的面积为1 2 |AC→|×|BD→|＝1 2 × 5×2 5＝5.故选 C. 4．A 解析：AB→＝(2,1)，CD→＝(5,5)，向量AB→在CD→方向上的投影为|AB→|cosθ＝ AB→·CD→ |CD→| ＝ 2×5＋1×5 52＋52 ＝ 15 5 2 ＝3 2 2 . 5．C 解析：∵θ∈ 0，π 4 ，∴cosθ∈ 2 2 ，1 .∵b∘ a＝b·a a·a ＝|b| |a| cosθ≤cosθ