西安市第一中学2015-2016学年度第一学期期中
高三数学(文科)试题
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则∁UM等于 ( )
A.U B.{1,3,5} C.{2,4,6} D.{3,5,6}
2.-870°角的终边在第几象限 ( )
A.一 B.二 C.三 D.四
3.命题“,”的否定是 ( )
A., B.,
C., D. ,
4.如图,e1,e2为互相垂直的单位向量,则向量a-b可表示为 ( )
A.e1-3e2
B.-2e1-4e2
C. 3e2-e1
D.3e1-e2
5.函数y=x|x|的图像经描点确定后的形状大致是 ( )
6.设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8的值为 ( )
A.64 B.49 C.16 D.15
7.曲线y=sin x+ex在点(0,1)处的切线方程是 ( )
A.x-3y+3=0 B.x-2y+2=0 C.2x-y+1=0 D.3x-y+1=0
8.若变量x,y满足约束条件则2x+y的最大值是 ( )
A.8 B.7 C.4 D.2
9.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=bc,sin C=2sin B,则A等于 ( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
10.如图是三棱锥D-ABC的三视图,点O
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在三个视图中都是所在边的中点,则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于( )
A. B. C. D.
11. 椭圆M: 左右焦点分别为,,P为椭圆M上任一点且 最大值取值范围是,其中,则椭圆离心率e取值范围为 ( )
A. B. C. D.
12. 已知函数,若存在,当时,,则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若(其中为虚数单位),则是______________.
14.已知x>0,y>0,且2x+y=1,则+的最小值是______________.
15.随机向边长为5,5,6的三角形中投一点P,则点P到三个顶点的距离都不小于1的概率是___________.
16.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是________.
三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答写在答卷纸的相应位置上)
17.(本小题满分12分)函数f(x)=3sin(2x+)的部分图像如图所示.
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0,y0的值;
(2)求f(x)在区间[-,-]上的最大值和最小值.
18.(本小题满分12分)在等比数列{an}中,a2=3,a5=81.
(1)求an;
(2)设bn=log3an,求数列{bn}的前n项和Sn.
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19.(本小题满分12分) 如图,在三棱柱ABC A1B1C1中,侧棱垂直于底
面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.
(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;
(2)求证:C1F∥平面ABE;
(3)求三棱锥E ABC的体积.
20.(本小题满分12分)如图所示,抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,点P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上.
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程;
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求y1+y2的值及直线AB的斜率.
21.(本小题满分12分)
设函数 .
(1) 当时,求函数的单调区间;
(2) 当时,求函数在上的最小值和最大值.
请考生在(22).(23).(24)三题中任选一题作答,如果多答,则按做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑.
22.(选修4—1几何证明选讲) (本小题满分10分)
如图,过圆外一点P的直线交圆O于A、B两点,PE是圆的切线,CP平分∠,
分别与AE、BE交于点.
求证:(1) ; (2)
23.(选修4─4坐标系与参数方程选讲) (本小题满分10分)
已知在直角坐标系中,直线的参数方程为,(为
参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的取值范围.
24.(选修4—5不等式选讲)(本小题满分10分)设函数
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(1)求不等式的解集;
(2)若的定义域为R,求实数的取值范围.
西安市第一中学
2015-2016学年度第一学期期中
高三数学(文科)答案
一、选择题: DCBAAD CBACBB
二、填空题 13. 14. 8 15. 16. (0,1)
三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答写在答卷纸的相应位置上)
17. 函数f(x)=3sin(2x+)的部分图像如图所示.
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0,y0的值;
(2)求f(x)在区间[-,-]上的最大值和最小值.
[解] (1)f(x)的最小正周期为π.
x0=,y0=3. ---------------------------------------------------------6
(2)因为x∈[-,-],所以2x+∈[-,0].
于是,当2x+=0,即x=-时,f(x)取得最大值0;
当2x+=-,即x=-时,f(x)取得最小值-3.-----------------------12
18.在等比数列{an}中,a2=3,a5=81.
(1)求an;
(2)设bn=log3an,求数列{bn}的前n项和Sn.
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[解] (1)设{an}的公比为q,依题意得
解得
因此,an=3n-1. ------------------------------------------------------------------6
(2)因为bn=log3an=n-1,
所以数列{bn}的前n项和Sn==.---------------------------12
19. 如图,
在三棱柱ABC A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.
(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;
(2)求证:C1F∥平面ABE;
(3)求三棱锥E ABC的体积.
(1)[证明] 在三棱柱ABCA1B1C1中,BB1⊥底面ABC,
所以BB1⊥AB.
又因为AB⊥BC,所以AB⊥平面B1BCC1.
所以平面ABE⊥平面B1BCC1.--------------------------------------------------------------------4
(2)[证明] 取AB的中点G,连接EG,FG.
因为E,F,G分别是A1C1,BC,AB的中点,
所以FG∥AC,且FG=AC,EC1=A1C1.
因为AC∥A1C1,且AC=A1C1,
所以FG∥EC1,且FG=EC1,
所以四边形FGEC1为平行四边形,所以C1F∥EG.
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又因为EG平面ABE,C1F⃘平面ABE,
所以C1F∥平面ABE. -----------------------------------------------------------------8
(3)解:因为AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,
所以AB==.
所以三棱锥E ABC的体积
V=S△ABC·AA1=×××1×2=.----------------------------------------------12
20.如图所示,抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,点P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上.
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程;
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求y1+y2的值及直线AB的斜率.
[解] (1)由已知条件,可设抛物线的方程为y2=2px(p>0).
∵点P(1,2)在抛物线上,∴22=2p×1,解得p=2.故所求抛物线的方程是y2=4x,准线方程是x=-1.----------------------------------------------------------------------6
(2)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB,则
kPA=(x1≠1),kPB=(x2≠1),
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,∴kPA=-kPB.
由A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,得y=4x1,①
y=4x2,②
∴=,∴y1+2=-(y2+2).
∴y1+y2=-4.
由①-②得,y-y=4(x1-x2),
∴kAB===-1(x1≠x2).--------------------------------------------------12
21.(本小题满分14分)
设函数 .
(1) 当时,求函数的单调区间;
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(2) 当时,求函数在上的最小值和最大值.
【解析】:
(1)当时
,在上单调递增.---------------------------------------------------------6
(2)当时,,其开口向上,对称轴 ,且过
-k
k
k
(i)当,即时,,在上单调递增,
从而当时, 取得最小值 ,
当时, 取得最大值.
(ii)当,即时,令
解得:,注意到,
(注:可用韦达定理判断,,从而;或者由对称结合图像判断)
的最小值,
的最大值
综上所述,当时,的最小值,最大值
9
------------12
解法2(2)当时,对,都有,故
故,而 ,
所以 ,
做的第一题记分.做答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.
A.选修4-1:几何证明选讲
如图所示,为圆的直径,,为
圆的切线,,为切点.
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)若圆的半径为2,求的值.
解:(I)连接是圆的两条切线, ,
,又为圆的直径,,
,,即得证,
(II),,△∽△,
。
B.选修4-4:坐标系与参数方程
已知在直角坐标系中,圆的参数方程为(为参数).
(Ⅰ)以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆的极坐标方程;
(Ⅱ)已知,圆上任意一点,求△面积的最大值.
解:(I)圆的参数方程为(为参数)
所以普通方程为
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圆的极坐标方程:
(II)点到直线:的距离为 △的面积
所以△面积的最大值为
C.选修4-5:不等式选讲
已知函数
(I)若,解不等式;
(II)如果,求的取值范围.
解:(Ⅰ)当时,
由得
当时,不等式可化为即,其解集为
当时,不等式化为,不可能成立,其解集为;
当时,不等式化为,其解集为
综上所述,的解集为
(Ⅱ),∴要成立,
则,,
即的取值范围是。
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