广东省深圳市锦华学校2015-2016学年九年级数学上学期期末模拟试题
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．方程x2=2x的解是（ ）
A．
x=2
B．
x1=2，x2=0
C．
x1=﹣，x2=0
D．
x=0
2．下列四个选项中，是如图所示的几何体的俯视图的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．若函数的图象经过点（﹣2，3），则该函数的图象必经过点（ ）
A．
（﹣3，2）
B．
（﹣2，﹣3）
C．
（2，3）
D．
（﹣3，﹣2）
5．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，下列条件：（1）∠B+∠DAC=90°；（2）∠B=∠DAC；（3）=；（4）AB2=BD•BC．其中一定能够判定△ABC是直角三角形的有（ ）
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
6．2008年爆发的世界金融危机，是自上世纪三十年代以来世界最严重的一场金融危机．受金融危机的影响，某商品原价为200元，连续两次降价后售价为148元，求平均每次降价的百分率是多少？设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为（ ）
A．
200（1+x）2=148
B．
200（1﹣x）2=148
C．
200（1﹣2x）=148
D．
148（1+x）2=200
7．如图，正方形ABCD的边长为2，H在CD的延长线上，四边形CEFH也为正方形，则△DBF的面积为 （ ）
18
A．
4
B．
C．
D．
2
8．如图，反比例函数和正比例函数y2=k2x的图象都经过点A（﹣1，2），若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）
A．
﹣1＜x＜0
B．
﹣1＜x＜1
C．
x＜﹣1或0＜x＜1
D．
﹣1＜x＜0或x＞1
9．已知∠A+∠B=90°，且cosA=，则cosB的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知一元二次方程2x2﹣3x﹣6=0有两个实数根x1、x2，直线l经过点A（x1+x2，0）、B（0，x1•x2），则直线l的解析式为（ ）
A．
y=2x﹣3
B．
y=2x+3
C．
y=﹣2x﹣3
D．
y=﹣2x+3
11．已知函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：
①a＜0；②b＞0；③对称轴是直线x=1；④当x=﹣1或x=3时，函数y的值都等于0．
其中正确的个数是（ ）
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
12．如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为（ ）
18
A．
：1
B．
：1
C．
5：3
D．
不确定
二、填空题（每小题3分，共12分．）
13．某小区共有学生200人，随机抽查50名学生，其中有30人看中央电视台的晚间新闻．在该小区随便问一位学生，他看中央电视台晚间新闻的概率大约是 _________ ．
14．将抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，所得的抛物线的函数表达式为 _________ ．
15．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为E，连接DE交AC于点P，过P作PF⊥BC，垂足为F，则的值是 _________ ．
16．如图，已知双曲线（k≠0）与直线y=x交于A、C两点，AB⊥x轴于点B，若S△ABC=4，则k= _________ ．
三、解答题（本题共7小题，共52分）
17．（5分）计算：．
18．（5分）解方程：x2﹣5x﹣6=0．
19．（8分）列方程解应用题：如图，在长为1m，宽为0.8m的长方形风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果整幅挂图的面积为1.2m2，那么金色纸边的宽度应是多少m？
18
20．（8分）一个口袋中有1个黑球和若干个白球，这些球除颜色外其他都相同．已知从中任意摸取一个球，摸得黑球的概率为．
（1）求口袋中白球的个数；
（2）如果先随机从口袋中摸出一球，不放回，然后再摸出一球，求两次摸出的球都是白球的概率．用列表法或画树状图法加以说明．
21．（8分）如图所示，折线A﹣B﹣C是一段登山石阶，其中AB=BC，AB部分的坡角为60°，BC部分的坡角为45°，AD=30m．
（1）求石阶路（折线A→B→C）的长．
（2）如果每级石阶的高不超过20cm，那么这一段登山石阶至少有多少级台阶？（最后一级石阶的高度不足20cm时，按一级石阶计算．可能用到的数据：，）（4分）
22．（8分）阅读理解题：
已知：如图1，△ABC中，AB=AC，P是底边BC上的任一点（不与B、C重合），CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．求证：CD=PE+PF．
在解答这个问题时，小明与小颖的思路方法分别如下：
小明的思路方法是：过点P作PG⊥CD于G（如图2），则可证得四边形PEDG是矩形，也可证得△PCG≌△CPF，从而得到PE=DG，PF=CG，因此得CD=PE+PF．
小颖的思路方法是：连接PA（如图3），则S△ABC=S△PAB+S△PAC，再由三角形的面积公式便可证得CD=PE+PF．
由此得到结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
阅读上面的材料，然后解答下面的问题：
（1）针对小明或小颖的思路方法，请选择俩人中的一种方法把证明过程补充完整；
（2）如图4，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°AB=AD=CD=2，E是BC上任意一点，EM⊥BD于M，EN⊥AC于N，试利用上述结论求EM+EN的值．
23．（10分）如图1，抛物线y=ax2﹣10ax+8与x轴交于A、C两点，与y 轴交于点B，且C点的坐标为（2，0）
（1）求抛物线的函数表达式和A、B两点的坐标；
（2）如图，设点D是线段OA上的一个动点，过点D作DE⊥x轴交AB于点E，过点E作EF⊥y轴，垂足为F．记OD=x，矩形ODEF的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值及此时点D的坐标；
18
（3）设抛物线的对称轴与AB交于点P（如图2），点Q是抛物线上的一个动点，点R是x轴上的一个动点．请求出当以P、Q、R、A为顶点的四边形是平行四边形时，点Q的坐标．
18
2015-2016学年深圳市锦华学校九年级（上）
期末数学模拟试卷参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）方程x2=2x的解是（ ）
A．
x=2
B．
x1=2，x2=0
C．
x1=﹣，x2=0
D．
x=0
考点：
解一元二次方程-因式分解法．
分析：
把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解求出方程的根．
解答：
解：x2=2x，
x2﹣2x=0，
x（x﹣2）=0，
∴x=0，x﹣2=0，
∴x1=0，x2=2，
故选：B．
点评：
本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：先把方程右边化为0，再把方程左边进行因式分解，然后一元二次方程就可化为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可．
2．（3分）下列四个选项中，是如图所示的几何体的俯视图的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
简单组合体的三视图．
专题：
应用题．
分析：
根据俯视图的定义，找到从上面看所得到的图形即可．
解答：
解：从上面看得到的图形为一个大圆，下面还有一个小的圆柱，看不见，用虚线．
故选C．
点评：
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，比较简单．
3．（3分）小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
列表法与树状图法．
分析：
列举出所有情况，看每个路口都是绿灯的情况数占总情况数的多少即可．
解答：
解：共4种情况，有1种情况每个路口都是绿灯，所以概率为．
故选：A．
18
点评：
考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到每个路口都是绿灯的情况数是解决本题的关键．
4．（3分）若函数的图象经过点（﹣2，3），则该函数的图象必经过点（ ）
A．
（﹣3，2）
B．
（﹣2，﹣3）
C．
（2，3）
D．
（﹣3，﹣2）
考点：
反比例函数图象上点的坐标特征．
专题：
计算题．
分析：
将点（﹣2，3）代入反比例函数的解析式，求得反比例函数的k的值，从四个答案中找到横纵坐标成绩等于k的点即为本题的答案．
解答：
解：∵函数的图象经过点（﹣2，3），
∴k=﹣2×3=﹣6，
∵﹣3×2=﹣6，
故反比例函数还经过点（﹣3，2）
故选A．
点评：
本题考查了反比例函数的解析式，解题的关键是正确的求出反比例函数的比例系数的值．
5．（3分）如图，△ABC中，AD⊥BC于D，下列条件：（1）∠B+∠DAC=90°；（2）∠B=∠DAC；（3）=；（4）AB2=BD•BC．其中一定能够判定△ABC是直角三角形的有（ ）
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
考点：
相似三角形的判定与性质．
分析：
对题干中给出的条件逐一验证，证明∠BAC=90°即可解题．
解答：
解：（1）∠B+∠DAC=90°，该条件无法判定△ABC是直角三角形；
（2）∵∠B=∠DAC，∠BAD+∠B=90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，即∠BAC=90°，故该条件可以判定△ABC是直角三角形；
（3）=，该条件无法判定△ABC是直角三角形；
（4）∵AB2=BD•BC，
∴=，
∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBA，
∴∠BAC=90°，故该条件可以判定△ABC是直角三角形；
故选 B．
18
点评：
本题考查了直角三角形的判定，考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应角相等的性质，本题中求证△ABD∽△CBA是解题的关键．
6．（3分）2008年爆发的世界金融危机，是自上世纪三十年代以来世界最严重的一场金融危机．受金融危机的影响，某商品原价为200元，连续两次降价后售价为148元，求平均每次降价的百分率是多少？设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为（ ）
A．
200（1+x）2=148
B．
200（1﹣x）2=148
C．
200（1﹣2x）=148
D．
148（1+x）2=200
考点：
由实际问题抽象出一元二次方程．
专题：
增长率问题．
分析：
设平均每次降价的百分率为x，根据某商品原价为200元，连续两次降价后售价为148元，可列出方程．
解答：
解：设平均每次降价的百分率为x，
200（1﹣x）2=148．
故选B．
点评：
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，降价两次，关键知道降价前和降价后的价格，列出方程求解．
7．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，H在CD的延长线上，四边形CEFH也为正方形，则△DBF的面积为 （ ）
A．
4
B．
C．
D．
2
考点：
整式的混合运算．
专题：
计算题．
分析：
设正方形CEFH边长为a，根据图形表示出阴影部分面积，去括号合并即可得到结果．
解答：
解：设正方形CEFH的边长为a，根据题意得：
S△BDF=4+a2﹣×4﹣a（a﹣2）﹣a（a+2）
=2+a2﹣a2+a﹣a2﹣a
=2．
故选：D．
点评：
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（3分）如图，反比例函数和正比例函数y2=k2x的图象都经过点A（﹣1，2），若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）
18
A．
﹣1＜x＜0
B．
﹣1＜x＜1
C．
x＜﹣1或0＜x＜1
D．
﹣1＜x＜0或x＞1
考点：
反比例函数的图象；一次函数的图象．
专题：
压轴题．
分析：
易得两个交点坐标关于原点对称，可求得正比例函数和反比例函数的另一交点，进而判断在交点的哪侧相同横坐标时反比例函数的值都大于正比例函数的值即可．
解答：
解：根据反比例函数与正比例函数交点规律：两个交点坐标关于原点对称，可得另一交点坐标为（1，﹣2），
由图象可得在点A的右侧，y轴的左侧以及另一交点的右侧相同横坐标时反比例函数的值都大于正比例函数的值；
∴﹣1＜x＜0或x＞1，故选D．
点评：
用到的知识点为：正比例函数和反比例函数的交点关于原点对称；求自变量的取值范围应该从交点入手思考．
9．（3分）已知∠A+∠B=90°，且cosA=，则cosB的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
互余两角三角函数的关系．
专题：
计算题．
分析：
利用同角、互为余角的三角函数关系式求解．
解答：
解：∵∠A+∠B=90°，
∴cosB=cos（90°﹣∠A）=sinA，
又∵sin2A+cos2A=1，
∴cosB==．
故选D．
点评：
本题考查了利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA；同角的三角函数关系式：sin2A+cos2A=1．
10．（3分）已知一元二次方程2x2﹣3x﹣6=0有两个实数根x1、x2，直线l经过点A（x1+x2，0）、B（0，x1•x2），则直线l的解析式为（ ）
A．
y=2x﹣3
B．
y=2x+3
C．
y=﹣2x﹣3
D．
y=﹣2x+3
考点：
待定系数法求一次函数解析式；根与系数的关系．
分析：
根据一元二次方程的根与系数的关系，求出A，B的坐标，代入直线的解析式，求出k，b的值，从而确定直线的解析式．
18
解答：
解：由题意知，x1+x2=，x1•x2=﹣3，
∴A（，0），B（0，﹣3），
设直线l的解析式为：y=kx+b，把点A，点B的坐标代入，解得，k=2，b=﹣3，
∴直线l的解析式为：y=2x﹣3．
故选A．
点评：
本题主要考查了两个内容：1、一元二次方程的根与系数的关系，若方程ax2+bx+c=0（a≠0，且a、b、c都是常数），有两个实数根x1和x2，则x1+x2=，x1•x2=；
②利用待定系数法求函数的解析式．
11．（3分）已知函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：
①a＜0；②b＞0；③对称轴是直线x=1；④当x=﹣1或x=3时，函数y的值都等于0．
其中正确的个数是（ ）
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
考点：
二次函数图象与系数的关系．
专题：
数形结合．
分析：
①由二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下可以判断a的正负；②由对称轴x=﹣＜0和a＜0可以得到b的正负；③x=﹣=﹣可以推知对称轴方程；④由图象可以直接回答．
解答：
解：①∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，
∴a＜0；
故本选项正确；
②∵对称轴x=﹣＞0和a＜0，
∴b＞0；
故本选项正确；
③∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣1，0）、（3，0），
∴对称轴x=﹣==1，
故本选项正确；
④根据图象可知，当x=﹣1或x=3时，函数y的值都等于0．
故本选项正确．
综上所述，其中正确的个数是4．
故选D．
点评：
本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数等确定．
18
12．（3分）如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为（ ）
A．
：1
B．
：1
C．
5：3
D．
不确定
考点：
相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
专题：
压轴题．
分析：
连接OA、OD，由已知可以推出OB：OA=OE：OD，推出△ODA∽△OEB，根据锐角三角函数即可推出AD：BE的值．
解答：
解：连接OA、OD，
∵△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，
∴AO⊥BC，DO⊥EF，∠EDO=30°，∠BAO=30°，
∴OD：OE=OA：OB=：1，
∵∠DOE+∠EOA=∠BOA+∠EOA 即∠DOA=∠EOB，
∴△DOA∽△EOB，
∴OD：OE=OA：OB=AD：BE=：1．
故选A．
点评：
本题主要考查了相似三角形的判定及性质、等边三角形的性质，本题的关键在于找到需要证相似的三角形，找到对应边的比即可．
二、填空题（每小题3分，共12分．）
13．（3分）某小区共有学生200人，随机抽查50名学生，其中有30人看中央电视台的晚间新闻．在该小区随便问一位学生，他看中央电视台晚间新闻的概率大约是 ．
考点：
概率公式．
分析：
随机调查的有50人，其中30人看中央电视台的晚间新闻，计算可得在被调查的人中，看中央电视台晚间新闻的概率，根据用样本估计总体的方法，在该小区随便问一位学生，他（她）看中央电视台晚间新闻的概率与前者相同，即可得答案．
解答：
解：根据题意，随机调查的有50人，其中30人看中央电视台的晚间新闻，
则在被调查的人中，看中央电视台晚间新闻的概率为 =，
根据用样本估计总体的方法，
可得在该小区随便问一学生，他（她）看中央电视台晚间新闻的概率也是 ．
18
故选答案为．
点评：
本题考查概率的计算，其一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
14．（3分）将抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，所得的抛物线的函数表达式为 y=﹣2（x﹣1）2+3或y=﹣2x2+4x+1 ．
考点：
二次函数图象与几何变换．
专题：
函数思想．
分析：
由抛物线平移不改变y的值，根据平移口诀“左加右减，上加下减”可知移动后的顶点坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达式．
解答：
解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，那么新抛物线的顶点为：（1，3）．可设新抛物线的解析式为y=（x﹣h）2+k，代入得y=﹣2（x﹣1）2+3．
故答案是：y=﹣2（x﹣1）2+3或y=﹣2x2+4x+1．
点评：
本题考查了二次函数图象与几何变换．解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
15．（3分）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为E，连接DE交AC于点P，过P作PF⊥BC，垂足为F，则的值是 ．
考点：
相似三角形的判定与性质；矩形的性质．
专题：
综合题；压轴题．
分析：
根据题意易证△OBE∽△DBC和△EPF∽△EDC，利用相似三角形的相似比求解．
解答：
解：∵OB=OD=BD，OE⊥BC，CD⊥BC，
∴△OBE∽△DBC，
∴OE：CD=1：2，
∵OE∥CD，
∴△OEP∽△CDP，
∴，
∵PF∥DC，
∴△EPF∽△EDC，
∴，
∵CE=BC，
∴=．
故答案为．
点评：
本题考查对相似三角形性质的理解．相似三角形对应边的比相等．
18
16．（3分）如图，已知双曲线（k≠0）与直线y=x交于A、C两点，AB⊥x轴于点B，若S△ABC=4，则k= 4 ．
考点：
反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的性质；三角形的面积．
专题：
计算题．
分析：
过C作CD⊥X轴于D，设A的坐标是（a，b），根据双曲线的性质得到C的坐标是（﹣a，﹣b），根据三角形的面积公式推出×a×b+×a×b=4，代入即可求出k．
解答：
解：过C作CD⊥X轴于D，
设A的坐标是（a，b），则根据双曲线的两个分支关于原点对称，则C的坐标是（﹣a，﹣b），
则ab=k，OB=a，AB=b，CD=b，
∵S△ABC=S△AOB+S△COB=4，
∴×a×b+×a×b=4，
即k+k=4，
k=4，
故答案为：4．
点评：
本题主要考查对三角形的面积，反比例函数的性质，一次函数与反比例函数的交点问题等知识点的理解和掌握，能推出k+k=4是解此题的关键．
三、解答题（本题共7小题，共52分）
17．（5分）计算：．
考点：
特殊角的三角函数值．
专题：
计算题．
分析：
将sin45°和tan30°的值代入计算可得出答案．
解答：
解：原式=﹣×
=﹣1
=﹣．
18
点评：
本题考查了特殊角的三角函数值，比较简单，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．
18．（5分）解方程：x2﹣5x﹣6=0．
考点：
解一元二次方程-因式分解法．
分析：
把方程左边进行因式分解得到（x﹣6）（x+1）=0，则方程就可化为两个一元一次方程x﹣6=0，或x+1=0，解两个一元一次方程即可．
解答：
解：x2﹣5x﹣6=0，
∴（x﹣6）（x+1）=0，
∴x﹣6=0或x+1=0，
∴x1=6，x2=﹣1．
点评：
本题考查了运用因式分解法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的方法：先把方程化为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后一元二次方程就可化为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可．
19．（8分）列方程解应用题：如图，在长为1m，宽为0.8m的长方形风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果整幅挂图的面积为1.2m2，那么金色纸边的宽度应是多少m？
考点：
一元二次方程的应用．
分析：
设金色纸边的宽度应是xm，根据在长为1m，宽为0.8m的长方形风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果整幅挂图的面积为1.2m2，根据此可列方程求解．
解答：
解：设金色纸边的宽度应是xm，
（1+2x）（0.8+2x）=1.2，
x=0.1或x=﹣1（舍去）．
那么金色纸边的宽度应是0.1m．
点评：
本题考查一元二次方程的应用，关键是求出变化后的长和宽，根据面积列方程求解．
20．（8分）一个口袋中有1个黑球和若干个白球，这些球除颜色外其他都相同．已知从中任意摸取一个球，摸得黑球的概率为．
（1）求口袋中白球的个数；
（2）如果先随机从口袋中摸出一球，不放回，然后再摸出一球，求两次摸出的球都是白球的概率．用列表法或画树状图法加以说明．
考点：
列表法与树状图法．
分析：
（1）根据摸得黑球的概率为，假设出白球个数直接得出答案；
（2）利用先随机从口袋中摸出一球，不放回，得出树状图即可．
解答：
解：（1）∵一个口袋中有1个黑球和若干个白球，从中任意摸取一个球，摸得黑球的概率为．
∴假设白球有x个，
∴，
∴x=2．
∴口袋中白球的个数为2个；
18
（2）∵先随机从口袋中摸出一球，不放回，然后再摸出一球，求两次摸出的球都是白球的概率．
∴两次都摸到白球的概率为：．
点评：
此题主要考查了树状图法求概率，根据已知得出树状图注意按要求从口袋中摸出一球，不放回，容易在这个地方犯错．
21．（8分）如图所示，折线A﹣B﹣C是一段登山石阶，其中AB=BC，AB部分的坡角为60°，BC部分的坡角为45°，AD=30m．
（1）求石阶路（折线A→B→C）的长．
（2）如果每级石阶的高不超过20cm，那么这一段登山石阶至少有多少级台阶？（最后一级石阶的高度不足20cm时，按一级石阶计算．可能用到的数据：，）（4分）
考点：
解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
专题：
计算题．
分析：
（1）由∠BAD=60°，AD=30m，根据含30度的直角三角形三边的关系，得到AB=2AD=60m，则BC=60m，所以石阶路（折线A→B→C）的长为120m；
（2）根据含30度的直角三角形三边的关系和等腰直角三角形的性质得到BD=AD=30m，CE=BC=30m，则30（+）×100÷20≈472．
解答：
解：（1）∵∠BAD=60°，AD=30m，
∴∠ABD=30°，AB=2AD=60m，
而AB=BC
∴BC=60m，
∴石阶路（折线A→B→C）的长为120m；
（2）∵BD=AD=30m，
CE=BC=30m，
∴CF=30（+）m
∴30（+）×100÷20≈472，
∴这一段登山石阶至少有472级台阶．
点评：
本题考查了坡度的概念：斜坡的坡度等于斜坡的铅直高度与对应的水平距离的比值，即斜坡的坡度等于斜坡的坡角的正弦．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和等腰直角三角形的性质．
22．（8分）阅读理解题：
18
已知：如图1，△ABC中，AB=AC，P是底边BC上的任一点（不与B、C重合），CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．求证：CD=PE+PF．
在解答这个问题时，小明与小颖的思路方法分别如下：
小明的思路方法是：过点P作PG⊥CD于G（如图2），则可证得四边形PEDG是矩形，也可证得△PCG≌△CPF，从而得到PE=DG，PF=CG，因此得CD=PE+PF．
小颖的思路方法是：连接PA（如图3），则S△ABC=S△PAB+S△PAC，再由三角形的面积公式便可证得CD=PE+PF．
由此得到结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
阅读上面的材料，然后解答下面的问题：
（1）针对小明或小颖的思路方法，请选择俩人中的一种方法把证明过程补充完整；
（2）如图4，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°AB=AD=CD=2，E是BC上任意一点，EM⊥BD于M，EN⊥AC于N，试利用上述结论求EM+EN的值．
考点：
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
分析：
（1）连接AP，根据S△ABC=AB•CD，S△PAB=AB•PE，S△PAC=AC•PF，即可解题；
（2）作AF⊥BC，DG⊥BC，易求得BC的长，易求∠ABD=30°，即可求得∠CBD=30°，可得BE=2EM，同理可得CE=2EN，即可解题．
解答：
证明：（1）连接AP，
∵S△ABC=AB•CD，S△PAB=AB•PE，S△PAC=AC•PF，S△ABC=S△PAB+S△PAC，
∴AB•CD=AB•PE+AC•PF，
∵AB=AC，
∴CD=PE+PF；
（2）作AF⊥BC，DG⊥BC，
∵∠ABC=60°，AB=AD=CD=2，
∴CG=BF=1，
∴BC=BF+FG+CG=4，
∵∠ABC=60°，
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∴∠BAD=120°，
∵AD=AB，
∴∠ABD=30°，
∴∠CBD=30°，
∴BE=2EM，同理CE=2CN，
∴EM+EN=（BE+CE）=2．
点评：
本题考查了三角形面积计算，考查了等腰梯形底角相等的性质，本题中求得BE=2EM和CE=2CN是解题的关键．
23．（10分）如图1，抛物线y=ax2﹣10ax+8与x轴交于A、C两点，与y 轴交于点B，且C点的坐标为（2，0）
（1）求抛物线的函数表达式和A、B两点的坐标；
（2）如图，设点D是线段OA上的一个动点，过点D作DE⊥x轴交AB于点E，过点E作EF⊥y轴，垂足为F．记OD=x，矩形ODEF的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值及此时点D的坐标；
（3）设抛物线的对称轴与AB交于点P（如图2），点Q是抛物线上的一个动点，点R是x轴上的一个动点．请求出当以P、Q、R、A为顶点的四边形是平行四边形时，点Q的坐标．
考点：
二次函数综合题．
专题：
综合题．
分析：
（1）根据题意易得对称轴的方程，又有AB∥x轴，结合对称轴的性质，可得AB=10，故在Rt△AOC中，由勾股定理易得答案；
（2）根据题意将△PAC的周长用PC+PA表示出来，由抛物线的对称性分析可得P即为BC直线x=5的交点；由此设BC的解析式为：y=kx+b，将A（8，0），B（0，8）代入可得k，b的值，进而可得其解析式；
（3）假设存在，在Rt△MOC与Rt△PBE中，根据勾股定理，结合MP∥BC分析可得答案．
解答：
解：（1）∵y=ax2﹣10ax+8，
∴抛物线的对称轴为：x=﹣=﹣=5，
令x=0，得到y=8，
∴点B的坐标为（0，8），
∵点C坐标为：（2，0），
∵点A与点C关于对称轴x=5对称，
∴点A坐标为：（8，0），
将C（2，0）代入y=ax2﹣10ax+8得：4a﹣20a+8=0，
∴a=，
则抛物线的函数表达式为y=x2﹣5x+8；
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（2）∵A（8，0），B（0，8），
∴设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A和B坐标代入得：'
解得：，
∴直线AB解析式为y=﹣x+8，
由OD=x，即E横坐标为x，
代入直线AB解析式得：y=﹣x+8，即ED=﹣x+8，
则矩形的面积S=x（﹣x+8）=﹣x2+8x，0＜x＜8，
当x=﹣=4，即D（4，0）时，S有最大值，最大值为16；
（3）根据题意画出图形，如图所示：
存在符合条件的点Q和R，使以P，R，Q，A为顶点的四边形为平行四边形，
若Q在对称轴右边，把x=5代入直线AB解析式，解得y=3，即Q纵坐标为3，
把y=3代入抛物线解析式得：3=x2﹣5x+8 解得：x=5±，
当Q的纵坐标为﹣3，还有点（5±，﹣3）
即 Q的坐标为：（5+，3）（5﹣，3）或（5+，﹣3）（5﹣，﹣3）．
点评：
本题考查了二次函数的综合运用．将二次函数的图象与解析式相结合处理问题是解题的关键．
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