2015～2016学年第一学期高三第四次模拟考试
数学（文科）试题
一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，，则 （ ）
A. B. C. D.
2.复数（其中）对应点在 （ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.下列函数中，既是偶函数又在区间上是增函数的是 （ ）
A. B.
C. D.
4．执行如图所示的程序框图，则输出的S值是( )．
A．－1 B. C. D．4
5．已知是第三象限角，，则sin2=（ ）
A． B． C． D．
6.已知是不同的直线，是不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若∥，∥则∥ B.若∥，则∥
C.若，则∥ D.若∥，则
7.设非负实数满足：，则的最大值是
A.7 B.6 C.9 D.12
8.的内角所对的边分别为，且成等差数列。
7
命题p: “成等比数列”；命题q:“是等边三角形”。则p是q的（ ）[Z-X-X-K]
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9.过点作直线与圆O：交于A、B两点，O为坐标原点，设且，当的面积为时，直线的斜率为
A. B. C. D.
10. 设为的外心，且，则的内角=（ ）
A. B. C. D.
11、函数（）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，点分别为该部分图象的最高点与最低点，且，则函数图象的一条对称轴的方程为
A． B． C． D．
12．已知是以为周期的偶函数，当时，，那么在区间内，关于的方程（且）有个不同的根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D ．
二、填空题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分）.
13.在样本的频率分布直方图中，共有8个小长方形，若最后一个小长方形的面积等于其他7个小长形的面积和的，且样本容量为200，则第8组的频数为
14.已知正方形的边长为6，空间有一点（不在平面内）满足，则三棱锥的体积的最大值是
15.已知P为双曲线（）的左支上一点，分别是它的左右焦点，直线与圆：相切，切点为线段的中点，则该双曲线的离心率为
7
16.给定如下命题：
①若命题，则
②若变量线性相关，其回归方程为，则正相关
③在中，，则是锐角三角形
④将长为8的铁丝围成一个矩形框，则该矩形面积大于3的概率为
⑤已知，且，则
其中正确命题是 （只填序号）
三、解答题（本大题共6道小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17.（满分12分）数列，中，，，（），且数列是等差数列。
（1）求的前项
（2）设数列的前项和为，求使最小的的值。
18．（满分12分）某市欲为市辖各学校招聘教师，从报名者中筛选1000名参加笔试，按笔试成绩择优取200名面试，再从面试对象中聘用100名教师．
（1）随机调查了50名笔试者的成绩如下表所示：
分数段
[60，65)
[65，70)
[70，75)
[75，80)
[80，85)
[85，90)
人数
2
3
15
20
7
3
请你预测面试的分数线大约是多少？
（2）该市某学校从聘用的四男、、、和二女、中选派两人参加某项培训，则选派结果为一男一女的概率是多少？
19.（满分12分）19.（满分12分如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，,是等边三角形，且，M是棱上除P、C的任意一点，且
（1）当时，求证：平面平面
（2）平面将四棱锥分成两部分，当，求两部分体积之比。
20.（满分12分）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为P，过P任作一条直线与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点。[Z-x-x-k.Com]
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（1）求的值
（2）设为抛物线上位于第一象限的任意一点，过C作直线与抛物线相切，求证：关于直线的对称点在抛物线的准线上。
21．（满分12分）已知函数 [Z-x-x-k.Com]
（1）若是函数的极大值点，求函数的单调递减区间；
（2）若恒成立，求实数的最大值．
请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请在答题卡上填涂题号标记。
22.（满分10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF//AB，证明：
(Ⅰ)CD=BC；
(Ⅱ)△BCD∽△GBD
23.（满分10分）圆C的极坐标方程为，极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的非负半轴重合，且长度单位相同，直线的参数方程为（为参数）。
（1）求C的直角坐标方程及圆心的极坐标
（2）与C交于A，B两点，求
24.（满分10分）已知函数，不等式的解集为。
（1）求的值
（2）若不等式的解集是空集，求实数的取值范围。
7
四模文科数学答案
一、BDCDD DACBA AB
二、13. 40 14. 24 15. 16. ③④⑤
三、17. （1）由得：，∵是等差数列 ∴是常数C， 又，∴ ∴ 即 ∴
（2），且，∴，∴
当时，且，∴使最小的的值为8或9
18.（1）根据题意：面试比例为1:5，被调查的50个人中有10人参加面试，而前10名的最低分在80分以上，所以，面试分数线大约为80分。
(2)从、、、、、中任取2人的取法有
共15种
而选派结果为一男一女的有共8种
所以，所求概率为
19.（1）设AD中点为O，连结PO、BO、连BD与OC交于Q点，则，且
由已知，为等边三角形，∴，在中，
∴，∴，
连结MQ，∽，，
当时， ∴PO//MQ，∴又，
∴平面平面
（2）当时，M是PC的中点，P到平面ABCD距离是M到平面BDC的距离的2倍，
又，∴
7
平面将四棱锥分成的上下两部分体积为3:1
20.（1）∵直线AB过点
∴设直线AB的方程为：，、
由得，则，
∴
（2）设（）∵抛物线在第一象限的方程可化为函数
, ∴直线的斜率为，直线的方程为：
过C点作抛物线准线的垂线，垂足为,根据抛物线定义：
线段DF的垂直平分线方程为：与直线重合
∴关于直线的对称点在抛物线的准线上。
21．（1），
是函数的极大值点，，
函数的单调递减区间为．
（2）恒成立，
恒成立，
即恒成立，
令，
在上递增，上递减，
，
，
令，， 在上递增，在上递减，，，
实数的最大值为．
7
23. （1）
，即，∴
圆心的极坐标为
(2)直线的直角坐标方程为，圆心C到直线的距离
∴
24. （1）
，根据题意：。∴
（2）的解集为空集，∴ 的解集为空集，
∴在R上恒成立，
又
∴，∴或
7
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