2015～2016学年第一学期高三第四次模拟考试
数学（理科）试题
一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，，则 （ ）
A. B. C. D.
2.复数（其中）对应点在 （ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.下列函数中，既是偶函数又在区间上是增函数的是 （ ）
A. B.
C. D.
4．执行如图所示的程序框图，则输出的S值是( )．
A．－1 B. C. D．4
5．的展开式中，常数项为，则（ ）
A． B． C． D．
6.的内角所对的边分别为，且成等差数列。
命题p: “成等比数列”；命题q:“是等边三角形”。则p是q的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知是不同的直线，是不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若∥，∥则∥ B.若∥，则∥
C.若，则∥ D.若∥，则
8.设非负实数满足：，（2,1）是目标函数（取最大值的最优解，则的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
8
9.过点作直线与圆O：交于A、B两点，O为坐标原点，设且，当的面积为时，直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
10、函数（）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，点分别为该部分图象的最高点与最低点，且，则函数图象的一条对称轴的方程为（ ）
A． B． C． D．
11.如图,正方形ABCD的顶点 顶点C,D位于第一象限,直线(0≤t≤)将正方形ABCD分成两部分,记位于直线左侧阴影部分的面积为,则函数的图象大致是( )
12.已知函数，，则函数的零点个数为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
二、填空题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分）.
13.有5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有 种摆放方法（用数字作答）
14.椭圆（）与双曲线（
8
）有相同焦点，它们的公共点在轴上的射影为其中一个焦点，若它们的离心率分别为则
15. 设为的外心，且，则的内角=
16.给定如下命题：
①若命题，则
②若变量线性相关，其回归方程为，则正相关
③在中，，则是锐角三角形
④将长为8的铁丝围成一个矩形框，则该矩形面积大于3的概率为
⑤已知，且，则
其中正确命题是 （只填序号）
三、解答题（本大题共6道小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17.（满分12分）数列，中，，，（），且数列是等差数列。
（1）求的前项（2）设数列的前项和为，求使最小的的值。
18.（满分12分）一企业由于生产某种产品的需要欲购进某种设备若干台，该设备运行台数只与月产量有关，根据调查统计，该设备运行1台的概率为；运行2台的概率为；运行3台的概率为，且每月产量相互没有影响。
（1）求未来3个月中，至多有1个月运行3台设备的概率
（2）若某台设备运行，则当月为企业创造利润12万元，否则亏损6万元，欲使企业月总利润的均值最大，购该种设备几台为宜？
19.（满分12分如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，,是等边三角形，且，M是棱上除P、C外的任意一点，且
（1）当时，求证：平面平面
（2）设二面角的大小为，当时，求的取值范围。
8
[Z-X-X-K]
20.（满分12分）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为P，过P任作一条直线与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点。
（1）求的值
（2）设（是抛物线内任意一点，过作轴的平行线交抛物线于C点，抛物线在C点处的切线为，关于的对称点为，证明：直线过定点。
21．（满分12分）已知函数
（1）讨论的单调性
（2）若恒成立，求实数的最大值．
请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请在答题卡上填涂题号对应标记。
22.（满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF//AB，证明：
(Ⅰ)CD=BC；
(Ⅱ)△BCD∽△GBD
23.（满分10分）圆C的极坐标方程为，极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的非负半轴重合，且长度单位相同，直线的参数方程为（为参数）。
（1）求C的直角坐标方程及圆心的极坐标
（2）与C交于A，B两点，求
24.（满分10分）已知函数，不等式的解集为。
（1）求的值
（2）若不等式的解集是空集，求实数的取值范围。
8
四模理科数学答案
一、BDCDD CDCBA CB
二、13. 16 14. 1 15. 16. ③④⑤
三、17. （1）由得：，∵是等差数列 ∴是常数C， 又，∴ ∴ 即 ∴
（2），且，∴，∴
当时，且，∴使最小的的值为8或9
18.（1）所求概率事件包含有且仅有一个月运行3台设备和三个月都没有运行3台设备两个互斥事件，运行三台设备的概率为，未能运行三台设备的概率为
∴
（2）由题意：该企业最多购三台设备，当购1台设备时，月利润为12万元。
当购2台设备时，设月利润为X（万元），X的分布列为：
X
6
24
P
（万元）
当购3台设备时，设月利润为（万元），的分布列为：
0
18
24
P
（万元） ∴购该种设备2台为宜.
19. （1）设AD中点为O，连结PO、BO、连BD与OC交于Q点，则，且
由已知，为等边三角形，∴，在中，
∴，∴，
连结MQ，∽，，当时，∴PO//MQ，[Z-X-X-K]
∴又，∴平面平面
8
（2）由（1）所证，以O为原点，OB为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系。
则、、、
设，∵，∴
设平面BDM的法向量为=，由 得取得
平面BDA的法向量，根据题意：，即
∴
由（1）可知，∴解得
20.（1）∵直线AB过点∴设直线AB的方程为：，、
由得，则，
∴
（2）C点坐标为，抛物线在第一象限的方程可化为函数
, ∴直线的斜率为，直线的方程为：
延长MC与抛物线的准线交于点
根据抛物线定义：，且线段的垂直平分线方程为与直线
8
重合，∴关于直线的对称点Q在直线MC上，∴M关于直线的对称点N在直线CF上
∴直线过定点
21．（1）
①当时，，∴在上单调递减
②当，由解得，∴的单调递增区间为
单调递减区间是和
③当时，同理可得的单调递增区间为，单调递减区间是和
终上所述：
（2））恒成立，
恒成立，
即恒成立，
令，
在上递增，上递减，
，
，
令，， 在上递增，在上递减，，，
实数的最大值为．
23. （1）
，即，∴
圆心的极坐标为
(2)直线的直角坐标方程为，圆心C到直线的距离
8
∴
24. （1）
，根据题意：。∴
（2）的解集为空集，∴ 的解集为空集，
∴在R上恒成立，
又
∴，∴或
8
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