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第14章检测卷
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．如图，△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应点．如果AB＝6cm，BD＝5cm，AD＝4cm，那么BC的长是( )
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
2．已知两个三角形全等，相关数据如图所示，则∠1的度数为( )
A．72° B．60° C．50° D．58°
3．如图，已知AB＝AC，BD＝CD，则可推出( )
A．△ABD≌△BCD B．△ABD≌△ACD
C．△ACD≌△BCD D．△ACE≌△BDE
4．如图，E、B、F、C四点在一条直线上，且EB＝CF，∠A＝∠D，在不添加辅助线的情况下增加下列条件中的一个仍不能证明△ABC≌△DEF的是( )
A．AB＝DE
B．DF∥AC
C．∠E＝∠ABC
D．AB∥DE
5．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1＋∠2等于( )
A．90° B．150° C．180° D．210°
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6．如图，点P在射线OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.若OD＝OE，∠AOC＝25°，则∠AOB的度数为( )
A．25° B．50° C．60° D．70°
7．如图，已知EA⊥AB，BC∥EA，ED＝AC，AD＝BC，则下列式子不一定成立的是( )
A．∠EAF＝∠ADF B．DE⊥AC
C．AE＝AB D．EF＝FC
8．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，则P1，P2，P3，P4四个点中符合条件的点P有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，已知A在DE上，F在AB上，且AC＝CE，∠1＝∠2＝∠3，DE＝6，则AB的长为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
10．如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，下列结论：①EM＝FN；②CD＝DN；③∠FAN＝∠EAM；④△ACN≌△ABM.其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．如图，∠ACB＝∠DBC，要想说明△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是____________(只需填一个你认为合适的条件)．
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12．如图，已知△OAD≌△OBC，∠O＝72°，∠C＝20°，则∠AEB＝________°.
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC.若BD＝3，CE＝6，则DE的长为________．
14．如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上一点，BE＝BA，AE＝CE，过点E作EF⊥AB于点F，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE＋∠BDC＝180°；③AD＝AE；④BA＋BC＝2BF.其中正确的是________(填序号)．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．如图，已知△ABE≌△ACD.
(1)如果BE＝6，DE＝2，求BC的长；
(2)如果∠BAC＝75°，∠BAD＝30°，求∠DAE的度数．
16．如图，已知CE⊥AB，DF⊥AB，AC＝BD，CE＝DF.求证：AC∥BD.
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四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．如图，两车从路段AB的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C、D两地，CE⊥AB，DF⊥AB，C、D两地到路段AB的距离相等吗？为什么？
18．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.求证：△AEC≌△BED.
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．下面四个条件中，请以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个真命题(只需写出一种情况)，并给予证明．
①AE＝AD；②AB＝AC；③OB＝OC；④∠B＝∠C.
已知：
求证：
证明：
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20．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD＝CD.
(1)求证：△ABD≌△CFD；
(2)已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．
六、(本题满分12分)
21．阅读下面材料：
学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
小聪将命题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E.
小聪的探究方法是对∠B分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
第一种情况：当∠B 是直角时，如图①，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根据“HL”，可以判定Rt△ABC≌Rt△DEF；
第二种情况：当∠B 是锐角时，如图②，BC＝EF，∠B＝∠E＜90°，在射线EM上有点D，使DF＝AC，则△ABC和△DEF的关系是________；
A．全等 B．不全等 C．不一定全等
第三种情况：当∠B是钝角时，如图③，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＞90°.过点C作AB边的垂线交AB的延长线于点M，过点F作DE边的垂线交DE的延长线于N，根据“AAS”，可以知道△CBM≌△FEN，请补全图形，进而证出△ABC≌△DEF.
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七、(本题满分12分)
22．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝8，BC＝6，点D为AB的中点，点P在线段BC上以每秒2个单位长度的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上以每秒a个单位长度的速度由点C向点A运动．设运动时间为t(秒)(0≤t≤3)．
(1)用含t的代数式表示线段PC的长；
(2)若点P、Q的运动速度相等，当t＝1时，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由．
(3)若点P、Q的运动速度不相等，则当△BPD与△CQP全等时，求a的值．
八、(本题满分14分)
23．问题背景：如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，∠EAF＝60°.探究图中线段BE，EF，DF之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG.先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是__________________；
探索延伸：如图②，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
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参考答案与解析
1．B 2.D 3.B 4.A 5.C 6.B 7.D 8.C
9．C 解析：∵∠2＝∠3，∴∠2＋∠ACD＝∠3＋∠ACD，即∠ACB＝∠ECD.∵∠1＝∠2，∠AFD＝∠CFB，∴∠D＝∠B.在△ABC和△EDC中，∵∴△ABC≌△EDC(AAS)，∴AB＝ED＝6.故选C.
10．C 解析：∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，∴△AEB≌△AFC(AAS)，∴BE＝CF，∠BAE＝∠CAF，∴∠BAE－∠BAM＝∠CAF－∠BAM，即∠EAM＝∠FAN，故③正确；在△AEM和△AFN中，∵∠E＝∠F＝90°，AE＝AF，∠EAM＝∠FAN，∴△AEM≌△AFN(ASA)，∴EM＝FN，AM＝AN，故①正确；在△ABM和△ACN中，∵∠B＝∠C，∠BAM＝∠CAN，AM＝AN，∴△ABM≌△ACN(AAS)，故④正确；CD与DN的大小无法确定．故选C.
11．∠A＝∠D(答案不唯一)
12．112 解析：∵△OAD≌△OBC，∴∠C＝∠D＝20°.在△AOD中，∠CAE＝∠D＋∠O＝20°＋72°＝92°.在△ACE中，∠AEB＝∠C＋∠CAE＝20°＋92°＝112°.
13．9 解析：∵∠ABD＋∠BDA＋∠BAD＝180°，∠CAE＋∠BAC＋∠BAD＝180°，∠BDA＝∠BAC，∴∠ABD＝∠CAE.在△ABD和△CAE中，∵∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴AD＝CE＝6，BD＝AE＝3，∴DE＝AD＋AE＝6＋3＝9.
14．①②③④ 解析：∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD.又∵BA＝BE，BD＝BC，∴△ABD≌△EBC(SAS)，故①正确；∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE＝∠BDA，∴∠BCE＋∠BDC＝∠BDA＋∠BDC＝180°，故②正确；∵△ABD≌△EBC，∴AD＝EC.又∵AE＝CE，∴AD＝AE，故③正确；如图，过点E作EG⊥BC于点G，则∠G＝90°.∵EF⊥AB，∴∠BFE＝90°，∴∠BFE＝∠G.又∵∠FBE＝∠GBE，BE＝BE，∴△FBE≌△GBE，∴BF＝BG，EF＝EG.在Rt△AEF和Rt△CEG中，∴Rt△AEF≌Rt△CEG(HL)，∴AF＝CG，∴BA＋BC＝BF＋AF＋BG－CG＝BF＋BG＝2BF，故④正确．故答案为①②③④.
15．解：(1)∵△ABE≌△ACD，∴BE＝CD，∠BAE＝∠CAD.又∵BE＝6，DE＝2，∴EC＝DC－DE＝BE－DE＝4，∴BC＝BE＋EC＝10.(4分)
(2)∵∠CAD＝∠BAC－∠BAD＝75°－30°＝45°，∴∠BAE＝∠CAD＝45°，∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝45°－30°＝15°.(8分)
16．证明：∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠AEC＝∠BFD＝90°.在Rt△ACE和Rt△BDF中，
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∵∴Rt△ACE≌Rt△BDF(HL)，∴∠A＝∠B，∴AC∥BD.(8分)
17．解：C、D两地到路段AB的距离相等．(2分)理由如下：由题意可知AC＝BD.∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠AEC＝∠BFD＝90°.∵AC∥BD，∴∠A＝∠B.(5分)在△AEC和△BFD中，∴△AEC≌△BFD(AAS)，∴CE＝DF，∴C，D两地到路段AB的距离相等．(8分)
18．证明：∵在△AOD和△BOE中，∠AOD＝∠BOE，∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2.又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO，∴∠AEC＝∠BED.(4分)在△AEC和△BED中，∴△AEC≌△BED(ASA)．(8分)
19．解：答案不唯一，下面给出一种．
已知：①②.
求证：④.(4分)
证明：在△ACD与△ABE中，∵AC＝AB，∠A＝∠A，AD＝AE，∴△ACD≌△ABE(SAS)，∴∠B＝∠C.(10分)
20．(1)证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CDF＝∠CEB＝90°，∴∠BAD＋∠B＝∠FCD＋∠B＝90°，∴∠BAD＝∠FCD.在△ABD和△CFD中，∴△ABD≌△CFD(AAS)．(5分)
(2)解：∵△ABD≌△CFD，∴BD＝DF.∵BC＝7，AD＝DC＝5，∴BD＝BC－CD＝2，∴AF＝AD－DF＝AD－BD＝5－2＝3.(10分)
21．解：第二种情况：C(3分) 解析：由题意可知满足条件的点D有两个(如图②)，所以△ABC和△DEF不一定全等．故选C.
第三种情况：补全图形如图③所示．(6分)
证明：∵∠ABC＝∠DEF，∴∠CBM＝∠FEN.∵CM⊥AB，FN⊥DE，∴∠CMB＝∠FNE＝90°.在△CBM和△FEN中，∴△CBM≌△FEN(AAS)，∴BM＝EN，CM＝FN.(8分)在Rt△ACM和Rt△DFN中，
∴Rt△ACM≌Rt△DFN(HL)，∴AM＝DN，∴AM－BM＝DN－EN，∴AB＝DE.又∵BC＝
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EF，∴△ABC≌△DEF(SSS)．(12分)
22．解：(1)PC＝BC－BP＝6－2t.(3分)
(2)全等．理由如下：∵t＝1，∴PB＝CQ＝2，∴PC＝BC－PB＝6－2＝4.∵AB＝8，点D为AB的中点，∴BD＝AD＝4，∴PC＝BD.∵∠C＝∠B，CQ＝BP，CP＝BD，∴△CQP≌△BPD(SAS)．(8分)
(3)∵点P、Q的运动速度不相等，∴BP≠CQ.又∵△BPD与△CQP全等，∠B＝∠C，∴BP＝PC，BD＝CQ，∴2t＝6－2t，at＝4，解得t＝，a＝.(12分)
23．解：问题背景：EF＝BE＋DF(2分)
探索延伸：EF＝BE＋DF仍然成立．(4分)理由如下：如图，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG.(5分)∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠ADG＝180°，∴∠B＝∠ADG.在△ABE和△ADG中，∵∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.(8分)∵∠EAF＝∠BAD，∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF.在△AEF和△AGF中，∵∴△AEF≌△AGF(SAS)，∴EF＝GF.(12分)∵GF＝DG＋DF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF.(14分)
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