【南方新课堂】2016年高考数学总复习 第八章 立体几何知能训练 理.doc

第八章　立体几何 第1讲　空间几何体的三视图和直观图 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．以下命题：‎ ‎①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．‎ 其中正确命题的个数为(　　)‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎2．(2013年四川)一个几何体的三视图如图X811，则该几何体可以是(　　)‎ 图X811‎ A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．圆台 ‎3．如图X812，正方形O′A′B′C′的边长为‎1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为(　　)‎ 图X812‎ A．‎6 cm B．‎8 cm C．(2＋4 )cm D．(2＋2 )cm ‎4．(2015年广东汕头一模)一个锥体的主视图和左视图如下图X813，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是(　　)‎ 图X813‎ ‎　　　‎ A　　　　　B　　　　　C　　　　　D ‎5．如图X814是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正视图、俯视图如图X814；②存在四棱柱，其正视图、俯视图如图X814；③存在圆柱，其正视图、俯视图如图X814.其中真命题的个数是(　　)‎ 图X814‎ 25‎ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 ‎6．已知某一几何体的正视图与侧视图如图X815，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形为(　　)‎ 图X815‎ A．①②③⑤ B．②③④⑤‎ C．①②④⑤ D．①②③④‎ ‎7．(2013年新课标Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则得到的正视图可以为(　　)‎ ‎ ‎ A B C D ‎8．如图X816，直三棱柱的正视图面积为‎2a2，则侧视图的面积为________．‎ 图X816‎ ‎9．如图X817所示的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在图X818中画出．‎ X817‎ ‎(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；‎ ‎(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积．‎ X818‎ 25‎ ‎10．如图X819所示的为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝AD＝2EC＝2.‎ ‎(1)如图X8110所示的方框内已给出了该几何体的俯视图，请在方框内画出该几何体的正视图和侧视图；‎ ‎(2)求四棱锥BCEPD的体积；‎ ‎(3)求证：BE∥平面PDA.‎ X819‎ ‎　　‎ X8110‎ 25‎ 第2讲　空间几何体的表面积和体积 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．(2014年福建)以边长为1的正方形的一边所在的直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于(　　)‎ A．2π　　 B．π　 C．2　 D．1‎ ‎2．(2013年上海)若两个球的表面积之比为1∶4，则这两个球的体积之比为(　　)‎ A．1∶2 B．1∶‎4 C．1∶8 D．1∶16‎ ‎3．(2013年广东)某四棱台的三视图如图X821，则该四棱台的体积是(　　)‎ 图X821‎ A．4 B. C. D．6‎ ‎4．(2014年新课标Ⅱ)如图X822，网格纸上正方形小格的边长为1(表示‎1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为‎3 cm，高为‎6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 图X822 　　图X823‎ ‎5．圆柱形容器内盛有高度为‎8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图X823)，则球的半径是________cm.‎ ‎6．(2014年江苏)设甲、乙两个圆柱的底面面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面面积相等，且＝，则＝________.‎ ‎7．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．‎ ‎8．(2013年江苏)如图X824，在三棱柱A1B‎1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B‎1C1ABC的体积为V2，则V1∶V2＝__________.‎ 图X824‎ 25‎ ‎9．如图X825，设计一个正四棱锥形的冷水塔，高是‎1 m，底面的边长是‎2 m.‎ ‎(1)求这个正四棱锥形冷水塔的容积；‎ ‎(2)制造这个水塔的侧面需要的钢板的面积是多少？‎ 图X825‎ ‎10．如图X826，在三棱柱ABCA1B‎1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点．‎ ‎(1)证明：平面BDC1⊥平面BDC；‎ ‎(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．‎ 图X826‎ 第3讲　点、直线、平面之间的位置关系 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．(2013年安徽)在下列命题中，不是公理的是(　　)‎ A．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ‎2．下列命题正确的是(　　)‎ A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 25‎ D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 ‎3．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是(　　)‎ A．若AC与BD共面，则AD与BC共面 B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线 C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC D．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC ‎4．(2014年广东)若空间中有四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　)‎ A．l1⊥l4　‎ B．l1∥l4‎ C．l1，l4既不平行也不垂直 D．l1，l4的位置关系不确定 ‎5．如图X831所示的是正方体的平面展开图，在这个正方体中，‎ ‎①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；‎ ‎③CN与BM成60°；④CN与AF垂直．‎ 以上四个命题中，正确命题的序号是(　　)‎ A．①②③ B．②④ C．③ D．③④‎ ‎ ‎ 图X831 　　图X832‎ ‎6．(2013年上海)在如图X832所示的正方体ABCDA1B‎1C1D1中，异面直线A1B与B‎1C所成角的大小为________．‎ ‎7．(2014年广东惠州一模)已知在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D‎1F所成角的余弦值为________．‎ ‎8．(2013年安徽)如图X833，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°.已知PB＝PD＝2，PA＝.‎ ‎(1)证明：PC⊥BD；‎ ‎(2)若E为PA的中点，求三棱锥PBCE的体积．‎ 图X833‎ ‎9．如图X835所示的是一个正方体(如图X834)的表面展开图，MN和PQ 25‎ 是两个面的对角线，请在正方体中将MN和PQ画出来，并就这个正方体解答下列问题．‎ ‎(1)求MN和PQ所成角的大小；‎ ‎(2)求三棱锥MNPQ的体积与正方体的体积之比．‎ 图X834　　　　　　　图X835‎ 第4讲　直线、平面平行的判定与性质 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．已知直线l，m，n及平面α，下列命题中是假命题的是(　　)‎ A．若l∥m，m∥n，则l∥n B．若l⊥α，n∥α，则l⊥n C．若l⊥m，m∥n，则l⊥n D．若l∥α，n∥α，则l∥n ‎2．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，给出下列命题：①若n⊥α，n⊥β，则α∥β；②若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；③若n，m为异面直线，n⊂α，n∥β，m⊂β，m∥α，则α∥β.其中正确命题的个数是(　　)‎ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 ‎3．如图X841，已知l是过正方体ABCDA1B‎1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线，下列结论错误的是(　　)‎ A．D1B1∥l B．BD∥平面AD1B1‎ C．l∥平面A1D1B1 D．l⊥B‎1C1‎ ‎ ‎ 图X841　　　 图X842‎ ‎4．设m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列四个命题中，正确的是(　　)‎ A．若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥β B．若m∥α，m∥n，则n∥α C．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m，n为两条异面直线，且m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β ‎5．如图X842，在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB‎1C，则线段EF的长度等于________．‎ ‎6．正方体ABCDA1B‎1C1D1的棱长为‎1 cm，过AC作平行于对角线BD1的截面，则截面面积为________．‎ ‎7．如图X843(1)，在透明塑料制成的长方体ABCDA1B‎1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：‎ 25‎ ‎①水的部分始终呈棱柱状；‎ ‎②水面四边形EFGH的面积不改变；‎ ‎③棱A1D1始终与水面EFGH平行；‎ ‎④当容器倾斜如图X843(2)时，BE·BF是定值．‎ 其中正确说法的序号是____________．‎ 图X843‎ ‎8．(2014年广东惠州一模)如图X844，在三棱柱ABCA1B‎1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1＝AB＝2.‎ ‎(1)求证：AB1∥平面BC1D；‎ ‎(2)若BC＝3，求三棱锥DBC‎1C的体积．‎ 图X844‎ ‎9．(2014年安徽)如图X845，四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.‎ ‎(1)证明：GH∥EF；‎ ‎(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．‎ 图X845‎ 25‎ 第5讲　直线、平面垂直的判定与性质 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．(2013年广东)设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(　　)‎ A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β C．若l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β ‎2．如图X851，ABCDA1B‎1C1D1为正方体，下面结论错误的是(　　)‎ 图X851 ‎ A．BD∥平面CB1D1‎ B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面CB1D1‎ D．异面直线AD与CB1所成角 为60°‎ ‎3．(2015年广东深圳一模)已知直线a，b，平面α，β，且a⊥α，b⊂β，则“a⊥b”是“α∥β”的(　　)‎ A．充分不必要条件 ‎ B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．如图X852，在长方体ABCDA1B‎1C1D1中，AB＝BC＝2，A1D与BC1所成的角为，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 图X852 　　　图X853‎ ‎5．已知a，b，c是三条不同的直线，命题“a∥b，且a⊥c⇒b⊥c”是正确的，如果把a，b，c中的两个或三个换成平面，在所得的命题中，真命题有(　　)‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25‎ ‎6．如图X853，在正三棱柱ABCA1B‎1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为(　　)‎ A. B. C. D. ‎7．已知正三棱锥PABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________．‎ ‎8．(2014年辽宁)如图X854，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．‎ ‎(1)求证：EF⊥平面BCG；‎ ‎(2)求三棱锥DBCG的体积．‎ 图X854‎ ‎9．(2014年北京)如图X855，在三棱柱ABCA1B‎1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，点E，F分别为A‎1C1，BC的中点．‎ ‎(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；‎ ‎(2)求证：C‎1F∥平面ABE；‎ ‎(3)求三棱锥EABC的体积．‎ 图X855‎ 25‎ 第6讲　空间坐标系与空间向量 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为(　　)‎ A．－2 B．－ C. D．2‎ ‎2．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角余弦值为，则λ＝(　　)‎ A．2 B．－2‎ C．－2或 D．2或－ ‎3．(由人教版选修21P105例1改编)已知在平行六面体ABCDA1B‎1C1D1中，以同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为(　　)‎ A. B．‎2 C. D. ‎4．已知在空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，设＝a，＝b，＝c，则＝(　　)‎ A.a＋b－c B．－a＋b＋c C. a－b＋c D. a＋b－c ‎5．下列等式中，使点M与点A，B，C一定共面的是(　　)‎ A.＝3－2－ B.＝＋＋ ‎ C.＋＋＋＝0‎ D.＋＋＝0‎ ‎6．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，则·＝(　　)‎ A. B．－ C. D．－ ‎7．已知正方体ABCDA1B‎1C1D1的棱长为a，＝，点N为B1B的中点，则|MN|＝(　　)‎ A.a B.a C.a D.a ‎8．已知三点A(1,0,0)，B(3,1,1)，C(2,0,1)，则 ‎(1)与的夹角等于________；‎ ‎(2)在方向上的投影等于________．‎ ‎9．三棱锥OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝60°，则〈， 25‎ ‎〉的大小为__________．‎ ‎10．(2014年新课标Ⅰ)如图X861，在三棱柱ABCA1B‎1C1中，侧面BB‎1C1C为菱形，AB⊥B‎1C.‎ ‎(1)证明：AC＝AB1；‎ ‎(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角AA1B1C1的余弦值．‎ 图X861‎ 第7讲　空间中角与距离的计算 ‎　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为(　　)‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎2．如图X871，在棱长为1的正方体ABCDA1B‎1C1D1中，M，N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值等于(　　)‎ A. B. C. D. 25‎ 图X871‎ ‎　　　‎ ‎3．如图X872，若正四棱柱ABCDA1B‎1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD所成角为60°，则A‎1C1到底面ABCD的距离为(　　)‎ 图X872‎ A. B．1 ‎ C. D. ‎4．在三棱柱ABCA1B‎1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB‎1C1C的中心，则AD与平面BB‎1C1C所成角的大小是(　　)‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎5．如图X873，在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正切值是(　　)‎ A. B. C. D. 图X873‎ ‎6．已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与ACD垂直，则B与D之间的距离为________．‎ ‎7．已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为________．‎ ‎8．(2013年新课标Ⅰ)如图X874，在三棱柱ABCA1B‎1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.‎ 图X874‎ ‎(1)证明：AB⊥A‎1C；‎ ‎(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2，求直线A‎1C与平面BB‎1C1C所成角的正弦值．‎ 25‎ ‎9．(2013年江苏)如图X875，在直三棱柱A1B‎1C1ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．‎ ‎(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；‎ ‎(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．‎ 图X875‎ 第八章　立体几何 第1讲　空间几何体的三视图和直观图 ‎1．B　2.D　3.B　4.C ‎5．A　解析： ①可以是放倒的三棱柱，所以正确；容易判断②正确；③可以是放倒的圆柱，所以也正确．‎ 图D85‎ ‎6．D ‎7．A　解析：在空间直角坐标系中，先画出四面体OABC的直观图(如图D85)，以xOz平面为投影面，则易得到正视图．故选A.‎ 25‎ ‎8.a2　解析：由正视图面积可求出直三棱柱的高为‎2a，底面的正三角形的高为a，故左视图的面积为‎2a·a＝a2.‎ ‎9．解：(1)如图D86.‎ ‎(2)所求多面体体积V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－××2＝.‎ 图D86‎ ‎10．(1)解：该组合体的正视图和侧视图如图D87.‎ 图D87‎ ‎(2)解：∵PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PDCE，‎ ‎∴平面PDCE⊥平面ABCD.‎ ‎∵BC⊥CD，∴BC⊥平面PDCE.‎ ‎∵S梯形PDCE＝(PD＋EC)·DC＝×3×2＝3，‎ ‎∴四棱锥BCEPD的体积为 VBCEPD＝S梯形PDCE·BC＝×3×2＝2.‎ ‎(3)证明：∵EC∥PD，PD⊂平面PDA，EC⊄平面PDA，‎ ‎∴EC∥平面PDA.同理，BC∥平面PDA.‎ ‎∵EC⊂平面EBC，BC⊂平面EBC，且EC∩BC＝C，‎ ‎∴平面EBC∥平面PDA.‎ 又∵BE⊂平面EBC，∴BE∥平面PDA.‎ 第2讲　空间几何体的表面积和体积 ‎1．A　解析：由已知，得圆柱的底面半径和高均为1，其侧面积等于S＝2π×1×1＝2π.‎ ‎2．C　解析：因为球的表面积S＝4πR2，两个球的表面积之比为1∶4，则两个球的半径之比为1∶2.又因为球的体积V＝πR3，则这两个球的体积之比为1∶8.‎ ‎3．B　解析：由三视图可知，该四棱台的上、下底面边长分别为1和2的正方形，高为2，故V＝×(12＋＋22)×2＝.故选B.‎ 25‎ ‎4．C　解析：由三视图还原几何体为小圆柱和大圆柱组成的简单组合体．其中小圆柱底面半径为2、高为4，大圆柱底面半径为3、高为2，则其体积和为π×22×4＋π×32×2＝34π，而圆柱体毛坯体积为π×32×6＝54π，故切削部分的体积为20π，从而切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为＝.‎ ‎5．4　解析：设球的半径为r，则由3V球＋V水＝V柱，可得3×·πr3＋πr2×8＝πr2×6r.解得r＝4.‎ ‎6.　解析：设甲、乙两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2，h1，h2，则2πr1h1＝2πr2h2，＝.又＝＝，所以＝.则＝＝·＝·＝＝.‎ ‎7.π　解析：因为半圆面的面积为πl2＝2π，所以l2＝4，即l＝2，即圆锥的母线l＝2.底面圆的周长2πr＝πl＝2π，所以圆锥的底面半径r＝1，所以圆锥的高h＝＝.所以圆锥的体积为πr2h＝π×1×＝π.‎ ‎8．1∶24　解析：V1＝S△ADEh1＝×S△ABC×h2＝V2，所以V1∶V2＝1∶24.‎ ‎9．解：(1)V＝S底h＝×2×2×1＝(m3)．‎ 答：这个正四棱锥形冷水塔的容积是 m3.‎ ‎(2)如图D88，取底面边长的中点E，连接SE.‎ 图D88‎ SE＝＝＝(m)，‎ S侧＝4××2×＝4 (m2)．‎ 答：制造这个水塔的侧面需要4 m2的钢板．‎ ‎10．(1)证明：由题意知，BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，‎ ‎∴BC⊥平面ACC1A1.‎ 又DC1⊂平面ACC1A1，∴DC1⊥BC.‎ ‎∵AC＝AD，A1C1＝A1D，‎ ‎∴∠A1DC1＝∠ADC＝45°.‎ ‎∴∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.‎ 又DC∩BC＝C，∴DC1⊥平面BDC.‎ 又DC1⊂平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.‎ ‎(2)解：设棱锥BDACC1的体积为V1，AC＝1.‎ 由题意，得V1＝××1＝.‎ 又三棱柱ABCA1B1C1的体积V＝×1×1×2＝1，‎ ‎∴(V－V1)∶V1＝1∶1.‎ 故平面BDC1分此棱柱所得的两部分体积的比为1∶1.‎ 第3讲　点、直线、平面之间的位置关系 ‎1．A　2.C　3.C ‎4．D　解析：如图D89，在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，取AA1为l2，BB1为l3，AD为l1.若AB为l4，则l1⊥l4；若BC为l4，则l1∥l4；若A1B1为l4，则l1与l4异面．因此l1，l4‎ 25‎ 的位置关系不确定．故选D.‎ ‎ ‎ 图D89 　　　图D90‎ ‎5．D ‎6.　解析：∵A1D∥B‎1C，∴直线A1B与A1D所成的角即为异面直线A1B与B‎1C所成的角．又∵△A1DB为正三角形，∴∠DA1B＝.故答案为.‎ ‎7.　解析：如图D90，连接AE，DF，D‎1F，则DF∥AE，所以DF与D‎1F所成的角即为异面直线AE，D‎1F所成的角，设正方体的边长为2，则DF＝D‎1F＝，在△DD‎1F中，cos∠D1FD＝＝.‎ ‎8．解：(1)证明：如图D91，连接AC交BD于点O，连接PO.‎ ‎∵PB＝PD，∴PO⊥BD.‎ 又∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC.‎ 而AC∩PO＝O，∴BD⊥平面PAC.‎ ‎∴BD⊥PC，即PC⊥BD.‎ ‎(2)在△ABD中，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，‎ 则BD＝2，AC＝2AO＝2 .‎ 又PO⊥BD，则PO＝＝.‎ AO2＋PO2＝6＝AP2，∴PO⊥AC.‎ 又PE＝PA，则 S△PEC＝S△PAC＝×＝.‎ ‎∵BD⊥平面PAC，∴BO⊥平面PEC.‎ ‎∴VPBEC＝VBPEC＝S△PEC·BO＝××1＝.‎ ‎ ‎ 图D91 　　　图D92‎ ‎9．解：(1)如图D92，连接NC，NQ，MC，MN与PQ是异面直线．‎ 在正方体中，PQ∥NC，则∠MNC为MN与PQ所成的角．‎ 因为MN＝NC＝MC，所以∠MNC＝60°.‎ 所以MN与PQ所成角的大小为60°.‎ ‎(2)设正方体棱长为a，则正方体的体积V＝a3.‎ 而三棱锥MNPQ的体积与三棱锥NPQM的体积相等，且NP⊥平面PQM，‎ 所以VNPQM＝××MP×MQ×NP＝a3.‎ 所以三棱锥MNPQ的体积与正方体的体积之比为1∶6.‎ 第4讲　直线、平面平行的判定与性质 ‎1．D　2.B　3.D ‎4．D　解析：选项A中的直线m，n可能不相交；选项B中直线n可能在平面α 25‎ 内；选项C中直线m，n的位置可能是平行、相交或异面．‎ ‎5.　解析：因为EF∥平面AB‎1C，EF⊂平面ABCD，且平面AB‎1C与平面ABCD的交线为AC，所以EF∥AC.又点E为AD的中点，所以EF为△DAC的中位线，所以EF＝AC.因为AB＝2，ABCD为正方形，所以AC＝2 ，所以EF＝.‎ 图D93‎ ‎6. cm2　解析：如图D93，截面ACE∥BD1，平面BDD1∩平面ACE＝EF，其中F为AC与BD的交点，所以E为DD1的中点，易求S△ACE＝ cm2.‎ ‎7．①③④　解析：对于①，由于BC固定，所以在倾斜的过程中，始终有AD∥EH∥FG∥BC，且平面AEFB∥平面DHGC，故水的部分始终呈棱柱状(四棱柱、三棱柱或五棱柱)，且BC为棱柱的一条侧棱，故①正确；对于②，当水是四棱柱或五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等；当水是三棱柱时，则水面面积可能变大，也可能变小，故②不正确；③是正确的；④是正确的，由水的体积的不变性可证得．综上所述，正确命题的序号是①③④.‎ ‎8．(1)证明：如图D94，连接B‎1C，交BC1于点O，连接OD.‎ ‎∵四边形BCC1B1是平行四边形，‎ ‎∴点O为B1C的中点．‎ ‎∵D为AC的中点，‎ ‎∴OD为△ACB1的中位线．‎ ‎∴OD∥AB1.‎ ‎∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，‎ ‎∴AB1∥平面BC1D.‎ ‎(2)解：∵三棱柱ABCA1B‎1C1，∴侧棱CC1∥AA1.‎ 又∵AA1⊥底面ABC，∴侧棱CC1⊥平面ABC.‎ 故CC1为三棱锥C1BCD的高，A1A＝CC1＝2.‎ S△BCD＝S△ABC＝×＝.‎ ‎∴V＝V＝CC1·S△BCD＝×2×＝1.‎ ‎ ‎ 图D94 　　图D95‎ ‎9．(1)证明：∵BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，∴GH∥BC.‎ 同理，EF∥BC.∴GH∥EF.‎ ‎(2)解：如图D95，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.‎ ‎∵PA＝PC，O是AC的中点，‎ ‎∴PO⊥AC.同理，得PO⊥BD.‎ 又BD∩AC＝O，且AC，BD都在平面ABCD内，‎ 25‎ ‎∴PO⊥平面ABCD.‎ 又∵平面GEFH⊥平面ABCD，且PO⊄平面GEFH，‎ ‎∴PO∥平面GEFH.‎ ‎∵平面PBD∩平面GEFH＝GK，‎ ‎∴PO∥GK.∴GK⊥平面ABCD.‎ 又EF⊂平面ABCD，∴GK⊥EF.‎ ‎∴GK是梯形GEFH的高．‎ 由AB＝8，EB＝2，得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4.‎ 从而KB＝DB＝OB，即K是OB的中点．‎ 又由PO∥GK，得GK＝PO.‎ ‎∴G是PB的中点，且GH＝BC＝4.‎ 由已知，得OB＝＝4 ，‎ PO＝＝＝6.‎ ‎∴GK＝3.‎ 故四边形GEFH的面积S＝·GK＝×3＝18.‎ 第5讲　直线、平面垂直的判定与性质 ‎1．B　2.D ‎3．B　解析：根据题意，分两步来判断：①当α∥β时，∵a⊥α，且α∥β，∴a⊥β，又∵b⊂β，∴a⊥b，则a⊥b是α∥β的必要条件；②若a⊥b，不一定有α∥β，当α∩β＝a时，又由a⊥α，则a⊥b，但此时α∥β不成立，即a⊥b不是α∥β的充分条件，则a⊥b是α∥β的必要不充分条件．‎ 图D96‎ ‎4．B　解析：如图D96，连接B‎1C，则B‎1C∥A1D，∵A1D与BC1所成的角为，∴B‎1C⊥BC1，∴长方体ABCDA1B‎1C1D1为正方体．取B1D1的中点M，连接C‎1M，BM，∴C‎1M⊥平面BB1D1D，∴∠C1BM为BC1与平面BB1D1D所成的角．∵AB＝BC＝2，∴C‎1M＝，BC1＝2 ，‎ ‎∴sin∠C1BM＝＝.故选B.‎ ‎5．C　解析：若a，b，c换成平面α，β，γ，则“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题；‎ 若a，b换成平面α，β，则“α∥β，且c⊥α⇒c⊥β”是真命题；‎ 若b，c换成平面β，γ，则“a∥β，且a⊥γ⇒β⊥γ”是真命题；‎ 若a，c换成平面α，γ，则“b∥α，且α⊥γ⇒b⊥γ”是假命题．‎ ‎6．B　解析：方法一：取BC中点E，连接AE，A1E，‎ 过点A作AF⊥A1E，垂足为F.‎ ‎∵A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥BC.‎ ‎∵AB＝AC，∴AE⊥BC.‎ ‎∴BC⊥平面AEA1.∴BC⊥AF.‎ 又AF⊥A1E，∴AF⊥平面A1BC.‎ ‎∴AF的长即为所求点A到平面A1BC的距离．‎ ‎∵AA1＝1，AE＝，∴AF＝.‎ 25‎ 方法二：V＝S△ABC·AA1＝××1＝.‎ 又∵A1B＝A1C＝，‎ 在△A1BE中，A1E＝＝2，‎ ‎∴S＝×2×2＝2.‎ ‎∴V＝×S·h＝h.‎ ‎∴h＝.∴h＝.∴点A到平面A1BC的距离为.‎ 图D97‎ ‎7.　解析：因为在正三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，所以可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分(如图D97)，此正方体内接于球，正方体的对角线为球的直径，球心为正方体对角线的中点．球心到截面ABC的距离为球的半径减去正三棱锥PABC在平面ABC上的高．已知球的半径为，所以正方体的棱长为2，可求得正三棱锥PABC在平面ABC上的高为，所以球心到截面ABC的距离为－＝.‎ ‎8．(1)证明：由AB＝DB，BC＝BC，∠ABC＝∠DBC，‎ 得△ABC≌△DBC(SAS)．∴AC＝DC.‎ 又G为AD的中点，∴CG⊥AD.‎ ‎∵AB＝BD，G为AD的中点，∴BG⊥AD.‎ 又BG∩CG＝G，∴AD⊥平面BCG.‎ 又EF∥AD，故EF⊥平面BCG.‎ 图D98‎ ‎(2)解：如图D98，在平面ABC内，过点A作AO⊥BC，交CB的延长线于点O.‎ ‎∵平面ABC⊥平面BCD，‎ ‎∴AO⊥平面BDC.‎ 又G为AD的中点，‎ ‎∴G到平面BCD的距离h＝AO.‎ 在△AOB中，‎ AO＝AB·sin60°＝.∴h＝.‎ ‎∴VDBCG＝VGBCD＝××h＝.‎ ‎9．(1)证明：在三棱柱ABCA1B‎1C1中，‎ BB1⊥底面ABC，∴BB1⊥AB.‎ 又∵AB⊥BC，且BB1∩BC＝B，∴AB⊥平面B1BCC1.‎ 25‎ 又AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面B1BCC1.‎ ‎(2)证明：如图D99，取AB中点为G，连接EG，FG.‎ 图D99‎ ‎∵E，F分别是A1C1，BC的中点，‎ ‎∴FG∥AC，且FG＝AC.‎ ‎∵AC∥A1C1，且AC＝A1C1，‎ ‎∴FG∥EC1，且FG＝EC1.‎ ‎∴四边形FGEC1为平行四边形．‎ ‎∴C1F∥EG.‎ 又∵EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，‎ ‎∴C1F∥平面ABE.‎ ‎(3)解：∵AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，‎ ‎∴AB＝＝.‎ ‎∴VEABC＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝.‎ 第6讲　空间坐标系与空间向量 ‎1．D　‎ ‎2．C　解析：cos〈a，b〉＝＝＝.‎ 解得λ＝－2或.‎ ‎3．D　解析：∵＝＋＋，∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2(cos60°＋cos60°＋cos60°)＝6，∴||＝.‎ ‎4．D ‎5．D　解析：∵M，A，B，C四点共面⇔＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，且x＋y＋z＝1.∵＋＋＝0⇔＝－－，∴存在x＝－1，y＝－1，使＝x＋y，∴，，共面．∵M为公共点，∴M，A，B，C四点共面．‎ ‎6．B ‎7．A　解析：＝－＝－ ‎＝＋－ ‎＝＋－.‎ ‎∴||＝＝a.‎ ‎8．(1)　(2)　解析：＝(1,1,0)，＝(－1,0，－1)，‎ 25‎ ‎(1)cos〈，〉＝＝＝－，‎ ‎∴〈，〉＝.‎ ‎(2)在方向上的投影＝＝＝.‎ ‎9．90°　解析：∵·＝·(－)＝·－·＝||·||cos∠AOC－||·||·cos∠AOB＝||·||cos60°－||·||cos60°＝0.‎ ‎∴⊥，∴〈，〉＝90°.‎ 图D100‎ ‎10．(1)证明：如图D100，连接BC1，交B‎1C于点O，连接AO.‎ 因为侧面BB1C1C为菱形，‎ 所以B1C⊥BC1，且O为B1C及BC1的中点．‎ 又AB⊥B1C，所以B1C⊥平面ABO.‎ 由于AO⊂平面ABO，故B1C⊥AO.‎ 又B1O＝CO，故AC＝AB1.‎ ‎(2)解：因为AC⊥AB1，且O为B‎1C的中点，所以AO＝CO.‎ 又因为AB＝BC，所以△BOA≌△BOC(SSS)．‎ 故OA⊥OB，从而OA，OB，OB1两两垂直．‎ 以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，|OB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.‎ 因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形．‎ 又OB＝1，则OB1＝，OA＝.‎ 故A，B(1,0,0)，B1，C.‎ ＝，‎ ＝＝，‎ 1＝＝.‎ 设n＝(x，y，z)是平面AA1B1的法向量，则 即 所以可取n＝(1，，)．‎ 设m是平面A1B1C1的法向量，‎ 则 同理可取m＝(1，－，)．‎ 25‎ 则cos〈n，m〉＝＝.‎ 所以结合图形知，二面角AA1B1C1的余弦值为.‎ 第7讲　空间中角与距离的计算 ‎1．A　解析：设l与α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈m，n〉|＝.∴θ＝30°.‎ ‎2．D　3.D　4.C ‎5．B　解析：BB1与平面ACD1所成角即DD1 与平面ACD1所成角，即∠DD1O，其正切值是＝ .‎ ‎6.　解析：过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N.则可求得AM＝，BM＝，CN＝，DN＝，MN＝1.‎ ‎∵＝＋＋，∴||2＝|(＋＋)|2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝2＋12＋2＋2(0＋0＋0)＝，∴||＝.‎ ‎7.　解析：＝(－1,2,0)，＝(－1,0,3)．设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．由n·＝0，n·＝0知，令x＝2，则y＝1，z＝.‎ ‎∴平面ABC的一个法向量为n＝.‎ 又平面xOy的一个法向量为＝(0,0,3)．‎ ‎∴所求二面角的余弦值cosθ＝＝＝.‎ 故平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为.‎ ‎8．(1)证明：如图D101，取AB中点为E，连接CE，A1B，A1E.‎ 图D101‎ ‎∵AB＝AA1，∠BAA1＝60°，‎ ‎∴△BAA1是正三角形．∴A1E⊥AB.‎ ‎∵CA＝CB，∴CE⊥AB.‎ ‎∵CE∩A1E＝E，∴AB⊥平面CEA1.‎ ‎∴AB⊥A1C.‎ ‎(2)解：由(1)知，EC⊥AB，EA1⊥AB.‎ 又∵平面ABC⊥平面ABB1A1，平面ABC∩平面AA1B1B＝AB，‎ ‎∴EC⊥面AA1B1B.∴EC⊥EA1.‎ ‎∴EA，EC，EA1两两相互垂直．‎ 以E为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，||为单位长度，建立如图D102所示的空间直角坐标系Exyz，‎ 25‎ 图D102‎ 由题设知，A(1,0,0)，A1(0，，0)，C(0,0，)，B(－1,0,0)，‎ 则＝(1,0，)，＝＝(－1，，0)，＝(0，－，)．‎ 设n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，‎ 则即可取n＝(，1，－1)．‎ ‎∴cos〈n，〉＝＝－.‎ ‎∴直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.‎ ‎9．解：(1)如图D103，以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz，‎ 图D102‎ 则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,4)，D(1,1,0)，C1(0,2,4)．‎ ‎∴＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4)．‎ ‎∴cos〈，〉＝＝＝.‎ ‎∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.‎ ‎(2)＝(0,2,0)是平面ABA1的一个法向量．‎ 设平面ADC1的法向量为m＝(x，y，z)，‎ ‎∵＝(1,1,0)，＝(0,2,4)，‎ 且m⊥，m⊥，‎ ‎∴取z＝1，得y＝－2，x＝2.‎ ‎∴平面ADC1的法向量为m＝(2，－2,1)．‎ 设平面ADC1与平面ABA1所成二面角为θ，‎ ‎∴|cosθ|＝|cos〈，m〉|＝＝＝，‎ 25‎ 则sinθ＝.‎ ‎∴平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.‎ 25‎