兰州一中2015-2016-1学期高三月考（12月）试题
数学（文科）
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则为
A. (0，＋) B. (1，＋) C. [2，＋) D.［1，＋)
2. 已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的正方形 (如图所示),则它的体积为
俯视图
正视图
侧视图
A. B.
C. D.
3. 已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为
A. B. C. D.
4. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是
A. 若 B. 若
C. 若 D. 若
5．函数在定义域内的零点的个数为
A.0 B．1 C．2 D．3
6. 若非零向量满足，且，则与的夹角为
A. B. C. D.
7. 如图所示，点是函数图象的一个最高点，、是图象与轴的交点，若，则等于
A.8 B.
C. D.
13
8．的外接圆的圆心为O，半径为1，且，则向量在向量方向上的投影为
A. B. C. D.
9．已知实数满足：，，则的取值范围是
A. B. C. D.
10．已知函数对任意的满足 (其中 是函数的导函数)，则下列不等式成立的是
A. B.
C. D.
11．已知命题p：∃x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．
若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为
A.m≥2 B. m≤－2或m>－1
C. m≤－2或m≥2 D.－1＜m≤2
12. .已知函数,n∈N*的图象与直线交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为，则＋＋…＋的值为
A.－1 B. 1－log20132012 C.-log20132012 D.1
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知数列为等差数列，，，则 .
14.若直线过曲线的对称中心，
则的最小值为 .
15.设三棱柱的侧棱垂直于底面，，
且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是 .
16. 数列的通项为，前项和为，则= ．
13
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an ,n∈N*．设Sn为数列{bn}的前n项和， 已知b1≠0，2bn–b1=S1 Sn，n∈N*．
D
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=bn log3 an，求数列{cn}的前n项和Tn .
18.（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，,,
,分别为棱的中点．
（Ⅰ）求证:∥平面；
（Ⅱ）若异面直线与 所成角为，
求三棱锥的体积．
19.（本小题满分12分）已知某班学生语文与数学的学业水平测试成绩抽样统计如下表，若抽取学生n人，成绩分为A（优秀）、B（良好）、C（及格）三个等级，设x，y分别表示语文成绩与数学成绩．例如：表中语文成绩为B等级的共有20＋18＋4＝42人．已知x与y均为B等级的概率是0.18．
（Ⅰ）求抽取的学生人数；
（Ⅱ）设该样本中，语文成绩优秀率是30%，求a，b值；
（Ⅲ）已知求语文成绩为A等级的总人数
比语文成绩为C等级的总人数少的概率.
20.（本小题满分12分）已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线与以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为椭圆上一点，若过点的直线与椭圆相交于不同的两点
和，满足（为坐标原点），求实数的取值范围.
21. （本小题满分12分）已知函数.
（Ⅰ）当时，求在区间上的最大值；
（Ⅱ）若在区间（1， +∞）上，函数的图象恒在直线下方，
求的取值范围．
四、请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
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22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，四边形内接于⊙，过点作⊙的
切线交的延长线于，已知.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）证明：．
23．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程
已知平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，
曲线方程为; 的参数方程为（为参数）．
（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程和的普通方程；
（Ⅱ）设点为曲线上的任意一点，求点 到曲线距离的取值范围．
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知关于的不等式，其解集为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，均为正实数，且满足，求的最小值.
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兰州一中2015-2016-1学期高三月考（12月）数学试题
文科试题
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一.选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则为 (B)
A. (0，＋) B. (1，＋) C. [2，＋) D.［1，＋)
2.已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的正方形，如图所示，则它的体积为 (D)
俯视图
正视图
侧视图
A. B.
C. D.
3. 已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为 (B)
A. B. C. D.
4. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ C ）
A. 若 B. 若
C. 若 D. 若
5．函数在定义域内的零点的个数为（ C ）
A.0 B．1 C．2 D．3
6. 若非零向量满足，且，则与的夹角为 (A)
A. B. C. D.
7. 如图所示，点是函数图象的最高点，、是图象与轴的交点，若，则等于 (C)
A. B.
C. D.
13
8． 的外接圆的圆心为O，半径为1，且，则向量在向量方向上的投影为 ( A )
A. B. C. D.
9．已知实数满足：，，则的取值范围是（ B ）
A. B. C. D.
10．已知函数对任意的满足 (其中是函数的导函数)，则下列不等式成立的是 (A)
A. B.
C. D.
11．已知命题p：∃x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．
若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为 (B)
A．m≥2 B．m≤－2或m>－1
C．m≤－2或m≥2 D．－1＜m≤2
12. .已知函数,n∈N*的图象与直线交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为，则＋＋…＋的值为（ A ）
A.－1 B. 1－log20132012 C.-log20132012 D.1
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知数列为等差数列，，，则 2
14.若直线过曲线的对称中心，
则的最小值为________.
15．设三棱柱的侧棱垂直于底面，，
且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是 .
16．数列的通项为，前项和为，则= 200 ．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
13
17．（本小题满分12分）设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an ,n∈N*．设Sn为数列{bn}的前n项和，
已知b1≠0，2bn–b1=S1Sn，n∈N*．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设cn=bnlog3an，求数列{cn}的前n项和Tn；
解：（1）∵an+1=3an，∴{an}是公比为3，首项a1=1的等比数列，
∴通项公式为an=3n–1． ………………2分
∵2bn–b1=S1•Sn，∴当n=1时，2b1–b1=S1•S1，
∵S1=b1，b1≠0，∴b1=1．
∴当n＞1时，bn=Sn–Sn–1=2bn–2bn–1，∴bn=2bn–1，
∴{bn}是公比为2，首项a1=1的等比数列，
∴通项公式为bn=2n–1． …………6分
（2）cn=bn•log3an=2n–1log33n–1=(n–1)2n–1，
Tn=0•20+1•21+2•22+…+(n–2)2n–2+(n–1)2n–1 ①
2Tn= 0•21+1•22+2•23+……+(n–2)2n–1+(n–1) 2n ②
①–②得：–Tn=0•20+21+22+23+……+2n–1–(n–1)2n
=2n–2–(n–1)2n =–2–(n–2)2n
∴Tn=(n–2)2n+2． …………12分
D
18.（本小题满分12分）．如图，在直三棱柱中，,,,分别为棱的中点．
（1）求证:∥平面；
（2）若异面直线与所成角为，
求三棱锥的体积．
解：（1）证明：取的中点,连接, 因为分别为棱的中点，
所以∥,∥,,平面,
平面,所以平面∥平面，
又平面,所以∥平面. ……………………………………
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4分
（2）由（Ⅰ）知异面直线与所成角,所以, ……………6分
因为三棱柱为直三棱柱，所以平面,所以平面,,,,
由,
平面, ……………………10分
所以 . ……………………12分
19. （本小题满分12分）．已知某班学生语文与数学的学业水平测试成绩抽样统计如下表，若抽取学生n人，成绩分为A（优秀）、B（良好）、C（及格）三个等级，设x，y分别表示语文成绩与数学成绩．例如：表中语文成绩为B等级的共有20＋18＋4＝42人．已知x与y均为B等级的概率是0.18．
（1）求抽取的学生人数；
（2）设该样本中，语文成绩优秀率是30%，求a，b值；
（3）已知求语文成绩为A等级的总人数比语文成绩为
C等级的总人数少的概率.
解：（1）由题意可知＝0.18，得.故抽取的学生人数是 .…………..2分
（2） 由（Ⅰ）知，，故， …………..4分
而，故. …………..6分
（3）设“语文成绩为等级的总人数比语文成绩为等级的总人数少”为事件，
由（2）易知，且满足条件的有
共有组，其中的有组， …………..11分
则所求概率为. …………..12分
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20.（本小题满分12分）已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰
直角三角形，直线与以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上一点，若过点的直线与椭圆相交于不同的两点和，满足（为坐标原点），求实数的取值范围.
解：（1）由题意，以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为，
∴圆心到直线的距离（*）………………………………1分
∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，
∴,， 代入（*）式得， ∴，
故所求椭圆方程为 ……………………………………………………4分
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，设，
将直线方程代入椭圆方程得：，
∴，∴.
设,，则， …………………6分
由，
当,直线为轴，点在椭圆上适合题意； …………………………………7分
当，得
∴
将上式代入椭圆方程得：，
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整理得：，由知，，
所以， ……………………………………………………………11分
综上可得. ……………………………………………………………12分
21.（本小题满分12分）已知函数.
（1）当时，求在区间上的最大值；
（2）若在区间（1， +∞）上，函数的图象恒在直线下方，求的取值范围．
解：（1）当时
……………1分
当,有；当，有，在区间
上是增函数，在 上为减函数， …………… 3分
又 ……………4分
（2）令，则的定义域为
在区间上，函数的图象恒在直线下方
等价于 在区间上恒成立. ……………………5分
①
①若，令，得极值点
当，即时，在（，1)上有，在上有，
在上有，此时在区间上是增函数，
并且在该区间上有
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不合题意；
当，即时，同理可知，在区间上，有
，也不合题意； ……………………8分
② 若，则有，此时在区间上恒有，
从而在区间上是减函数；
要使在此区间上恒成立，只须满足，
由此求得的范围是。 ……………………11分
综合①②可知，当时，函数的图象恒在直线下方.
……………12分
四、请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22．（本小题满分10分） 选修4—1：几何证明选讲
如图，四边形内接于⊙，过点作⊙的切
线交的延长线于，已知.
证明：（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
解：（Ⅰ）∵与⊙相切于点，
∴. …………………2分
又，
∴，
∴. …………………………5分
（Ⅱ）∵四边形内接于⊙，
∴， ……………………………………………………………6分
又， ∴∽.
∴，即，∴. ………………………10分
23．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程
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已知平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线方程为．的参数方程为（为参数）．
（I）写出曲线的直角坐标方程和的普通方程；
（II）设点为曲线上的任意一点，求点到曲线距离的取值范围．
解：（I）的直角坐标方程：，
的普通方程：． ………………4分
（II）由（I）知，为以为圆心，为半径的圆，
的圆心到的距离为，则与相交，
到曲线距离最小值为0，最大值为，
则点到曲线距离的取值范围为． ………………10分
24.（本小题满分10分） 选修4—5：不等式选讲
已知关于的不等式，其解集为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，均为正实数，且满足，求的最小值.
24.（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）不等式可化为，
∴，即, ……………………………………2分
∵其解集为，∴ ，. ………………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
（方法一：利用基本不等式）
∵ ，
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∴ ，∴当且仅当时，取最小值为.……………10分
. （方法二：利用柯西不等式）
∵ ，
∴ ，∴当且仅当时，取最小值为.……………10分
（方法三：消元法求二次函数的最值）
∵，∴，
∴，
∴当且仅当时，取最小值为.………………………………10分
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