www.ks5u.com
眉山市高中2019届第四学期期末教学质量检测
数学试题卷 （文史类） 2018.07
数学试题卷（文科）共4页．满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．
2．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
3．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
4．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知为虚数单位，实数满足，则
A．1 B． C． D．
2．高二（3）班共有学生56人，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、31号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是
A.15 B.16 C.17 D.18
3．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有有理根，那么、、中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是
A．假设、、都是偶数 B．假设、、都不是偶数
C．假设、、至多有一个偶数 D．假设、、至多有两个偶数
4．设，计算得
，观察上述结果，可推测一般结论为
A. B.
C. D.
5．已知为虚数单位，为实数，复数在复平面内对应的点为，则
“”是“点第四象限”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子（它们的六个面分别标有数字），设甲、乙所抛掷骰子朝上一面的点数分别为、，则满足复数的实部大于虚部的概率是
A． B． C． D．
7．已知函数，则函数的大致图象是
8．在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC、CB的长,则该矩形面积小于32cm2的概率为
9．AQI是表示空气质量的指数,AQI指数值越小,表明空气质量越好,当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据,图中点A表示4月1日的AQI指数值为201,则下列叙述不正确的是
A．这12天中有6天空气质量为“优良”
B．这12天中空气质量最好的是4月9日
C．这12天的AQI指数值的中位数是90
D．从4日到9日,空气质量越来越好
10．函数的大致图象如图所示，
则等于
A. B. C. D.
11．设函数的导函数为，对任意成立，则
A． B．
C． D．与的大小不确定
12．设函数在区间上有两个极值点，则的取值范围是
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．为虚数单位，设复数满足 ，则的虚部是 .
14．如图,函数的图象在点P处的切线方程是
，则 .
15．一个样本的平均数是,且是方程的两根,则这个样本的方差是 .
16．已知函数的定义域是，关于函数给出下列命题：
①对于任意，函数是上的减函数；
②对于任意，函数存在最小值；
③存在，使得对于任意的，都有成立；
④存在，使得函数有两个零点．
其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号)
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已知函数
（1）求的单调递减区间；
（2）若在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
18.（本小题满分12分）
某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如图．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．
（1）在乙班样本的20个个体中，从不低于86分的
成绩中随机抽取2个，求抽出的两个均“成绩优秀”的概率；
（2）由以上统计数据作出列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．
0.400
0.250
0.150
0.100
0.050
0.025
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
参考公式：
19. （本小题满分12分）
某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6
（1）请根据表中提供的数据，用相关系数说明与的线性相关程度；（结果保留小数点后两位，参考数据: ）
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
（3）试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．
参考公式：，；相关系数；
20．（本小题满分12分）
为了弘扬民族文化，某中学举行了“我爱国学，传诵经典”考试，并从中随机抽取了60名学生的成绩（满分100分）作为样本，其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生，得到成绩分布的频率分布直方图如图所示．
（1）若该所中学共有2000名学生，试利用样本估计全校这次考试中优秀生人数；
（2）①试估计这次参加考试的学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
②若在样本中，利用分层抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从中抽取3人赠送一套国学经典学籍，试求恰好抽中2名优秀生的概率．
21. （本小题满分12分）
已知函数，且曲线在点处的切线方程为.
（1）求实数的值及函数的最大值；
（2）证明：对任意的.
22. （本小题满分12分）
设函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个极值点和，记过点，的直线的斜率为，问：是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
眉山市高中2019届第四学期期末教学质量检测
数学（文科）参考答案
一、选择题：DCBDA BACCC AD
二、填空题：
13. 14. 1 15. 16.②④
三、解答题：
17.解：（1） --------------2分
所以函数的单调减区间为 ------------------------4分
（2）因为 ----------------------5分
---------------------6分
又 ---------------------8分
由， -----------------------10分
18.[解] (1)由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从不低于86分的成绩中随机抽取两个包含的基本事件是：(86,93), (86,96), (86,97), (86,99), (86,99), (93,96)，(93,97), (93,99), (93,99), (96,97), (96,99), (96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共有15种结果， --------- -------3分
符合条件的事件数(93,96)，(93,97)，(93,99)，(93,99)，(96,97)，(96,99)，(96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共有10种结果， -----------------5分
根据等可能事件的概率得到P＝＝． --------------------6分
(2)由已知数据得
甲班
乙班
总计
成绩优秀
1
5
6
成绩不优秀
19
15
34
总计
20
20
40
-----------------------8分
根据列联表中的数据，计算得随机变量K2的观测值
k＝≈3.137， ----------------------------11分
由于3．137>2．706，所以在犯错误的概率不超过0．1的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关． ----------------------------12分
19.（1）6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158， ----------------------------1分
＝＝9，＝＝4， ----------------------------2分
62＋82＋102＋122＝344． ---------------------------4分
，线性相关性非常强. ---------------------------6分
(2)158，=9，＝4，344．
＝＝＝0.7，＝－＝4－0．7×9＝－2.3，
故线性回归方程为＝0.7x－2.3． ----------------------------10分
(3)由(2)中线性回归方程知，当x＝9时，＝0．7×9－2．3＝4，故预测记忆力为9的同学的判断力约为4． ----------------------------12分
20.（1）由直方图可知，样本中数据落在的频率为，
则估计全校这次考试中优秀生人数为． ----------------------2分
（2）①设样本数据的平均数为，
则，
则估计所有参加考试的学生的平均成绩为72.5． ----------------------------5分
②成绩在间分别抽取了3人，2人，1人．---------------7分
记成绩在的3人为，成绩在的2人为，成绩在的1人为，记恰好抽中2名优秀生为事件，则从这6人中抽取3人的所有可能结果有
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
共20种 -------------------------------------------------------------------------------------------9分
其中恰好抽中2名优秀生的结果有，
共9种，----11分
则． --------------------------------------------------------------------------------12分
21解：（1）函数的定义域为，，因的图象在点处的切线方程为，所以解得，所以，故．令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以当时，取得最大值． --------------------6分
（Ⅱ）证明：原不等式可变为则
，可知函数单调递增，
而，
所以方程在（0，+∞）上存在唯一实根x0，即．
当x∈（0，x0）时，，函数h（x）单调递减；
当x∈（x0，+∞）时，，函数h（x）单调递增；所以
.
即在（0，+∞）上恒成立，
所以对任意x＞0，成立． ---------------------12分
法二：证，亦可.
22.解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋－＝. ----------1分
令g(x)＝x2－ax＋1，则方程x2－ax＋1＝0的判别式Δ＝a2－4.
①当|a|≤2时，Δ≤0，f′(x)≥0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ---------2分
②当a0，g(x)＝0的两根都小于0，在(0，＋∞)上恒有f′(x)>0，
故f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ----------3分
③当a>2时，Δ>0，g(x)＝0的两根为x1＝，x2＝，
当01)． (*) -----------------------9分
再由(1)知，函数h(t)＝t－－2ln t在(0，＋∞)上单调递增，而x2>1，
所以x2－－2ln x2>1－－2ln 1＝0.这与(*)式矛盾． -------------------11分
故不存在a，使得k＝2－a. ------------------12分
微信/支付宝扫码支付