河北省衡水中学2016届高三数学上学期二调试题 文（含解析）.doc

‎2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）二调数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．设全集U={1，3，5，6，8}，A={1，6}，B={5，6，8}，则（∁UA）∩B=（　　）‎ A．{6} B．{5，8} C．{6，8} D．{3，5，6，8}‎ ‎　‎ ‎2．已知数列{an}中，a1=a2=1，且an+2﹣an=1，则数列{an}的前100项和为（　　）‎ A．2550 B．2600 C．2651 D．2652‎ ‎　‎ ‎3．设0≤x＜2π，且=sinx﹣cosx，则（　　）‎ A．0≤x≤π B．≤x≤ C．≤x≤ D．≤x≤‎ ‎　‎ ‎4．已知A，B是非空集合，命题甲：A∪B=B，命题乙：A⊈B，那么（　　）‎ A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 ‎　‎ ‎5．下列函数中，图象关于坐标原点对称的是（　　）‎ A．y=lgx B．y=cosx C．y=|x| D．y=sinx ‎　‎ ‎6．，是两个向量，||=1，||=2，且（+）⊥，则与的夹角为（　　）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎　‎ ‎7．已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ=（　　）‎ A．﹣ B． C．﹣ D．‎ ‎　‎ ‎8．在等差数列{an}中，若a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，则a3+a6+a9的值为（　　）‎ A．30 B．27 C．24 D．21‎ ‎　‎ ‎9．已知M是△ABC内的一点，且=2，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为，x，y，则+的最小值是（　　）‎ A．20 B．18 C．16 D．9‎ ‎　‎ ‎10．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（　　）‎ - 15 -‎ A．1 B． C． D．‎ ‎　‎ ‎11．f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若对任意的x1∈[﹣1，2]，存在x0∈[﹣1，2]，使g（x1）=f（x0），则a的取值范围是（　　）‎ A． B． C．[3，+∞） D．（0，3]‎ ‎　‎ ‎12．已知点P为△ABC所在平面内一点，且满足=λ（+）（λ∈R），则直线AP必经过△ABC的（　　）‎ A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 ‎　‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎13．已知函数f（x）=2015sinx+x2015+2015tanx+2015，且f（﹣2015）=2016，则f（2015）的值为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎14．不等式ex≥kx对任意实数x恒成立，则实数k的最大值为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎15．函数y=sinx﹣cosx﹣sinxcosx的最大值为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎16．已知△ABC的三边a，b，c满足+=，则角B=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（10分）（2014•河北区一模）已知A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角，向量，，且．‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且，求边c的长．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2011•广东三模）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|﹣|=．‎ ‎（1）求cos（α﹣β）的值；‎ ‎（2）若0＜α＜，﹣＜β＜0，且sinβ=﹣，求sinα的值．‎ ‎　‎ - 15 -‎ ‎19．（12分）（2015秋•衡水校级月考）已知函数f（x）=ax2+bx（a≠0）的导函数f′（x）=﹣2x+7，数列{an}的前n项和为Sn，点Pn（n，Sn）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求Sn的最大值．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2014•泉州模拟）数列{an}的前n项和为Sn=2n+1﹣2，数列{bn}是首项为a1，公差为d（d≠0）的等差数列，且b1，b3，b9成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若cn=（n∈N*），求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2013•泗县模拟）已知在x=1与处都取得极值．‎ ‎（Ⅰ） 求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）设函数g（x）=x2﹣2mx+m，若对任意的，总存在，使得g（x1）≥f（x2）﹣lnx2，求实数m的取值范围．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2012•宜春模拟）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当0＜a≤1时，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数a，使f（x）≤x恒成立，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）二调数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．设全集U={1，3，5，6，8}，A={1，6}，B={5，6，8}，则（∁UA）∩B=（　　）‎ A．{6} B．{5，8} C．{6，8} D．{3，5，6，8}‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算． ‎ ‎【分析】根据补集和交集的意义直接求解即可．‎ ‎【解答】解：由于U={1，3，5，6，8}，A={1，6}，∴CUA={3，5，8}，∵B={5，6，8}，∴（CUA）∩B={5，8}，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查集合的交集及补集运算，较简单．‎ ‎　‎ ‎2．已知数列{an}中，a1=a2=1，且an+2﹣an=1，则数列{an}的前100项和为（　　）‎ A．2550 B．2600 C．2651 D．2652‎ ‎【考点】等差数列的前n项和． ‎ - 15 -‎ ‎【专题】等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】a1=a2=1，且an+2﹣an=1，可得数列{an}奇数项与偶数项分别成等差数列，公差与首项都为1．利用等差数列的前n项和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵a1=a2=1，且an+2﹣an=1，‎ ‎∴数列{an}奇数项与偶数项分别成等差数列，公差与首项都为1．‎ ‎∴数列{an}的前100项和=（a1+a3+…+a99）+（a2+a4+…+a100）‎ ‎=‎ ‎=2550．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的定义通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎3．设0≤x＜2π，且=sinx﹣cosx，则（　　）‎ A．0≤x≤π B．≤x≤ C．≤x≤ D．≤x≤‎ ‎【考点】二倍角的正弦；同角三角函数基本关系的运用． ‎ ‎【分析】先对进行化简，即=|sinx﹣cosx|，再由=sinx﹣cosx确定sinx＞cosx，从而确定x的范围，得到答案．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴sinx≥cosx．∵x∈[0，2π），∴．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查三角函数的二倍角公式和同角三角函数的基本关系．属基础题．三角函数这一部分的公式比较多，一定要强化公式的记忆．‎ ‎　‎ ‎4．已知A，B是非空集合，命题甲：A∪B=B，命题乙：A⊈B，那么（　　）‎ A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． ‎ ‎【专题】常规题型．‎ ‎【分析】已知A，B是非空集合，命题甲：A∪B=B，可以推出A⊆B，从而进行判断；‎ ‎【解答】解：∵已知A，B是非空集合，A∪B=B，‎ ‎∴A⊊B或A=B，‎ ‎∵命题乙：A⊈B，‎ ‎∴甲是乙既不充分也不必要条件 故选D．‎ ‎【点评】此题以集合为载体，考查了必要条件和充分条件的定义及其判断，是一道基础题．‎ ‎　‎ - 15 -‎ ‎5．下列函数中，图象关于坐标原点对称的是（　　）‎ A．y=lgx B．y=cosx C．y=|x| D．y=sinx ‎【考点】奇偶函数图象的对称性． ‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】根据函数的性质可得奇函数关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，要找图象关于原点对称，即在4个选项中找出奇函数即可，结合选项利用排除法．‎ ‎【解答】解：根据函数的性质可得奇函数关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，‎ A：y=lgx是非奇非偶函数，错误 B：y=cosx为偶函数，图象关于y轴对称，错误 C：y=|x|为偶函数，图象关于y轴对称，错误 D：y=sinx为奇函数，图象关于原点对称，正确 故选D ‎【点评】本题主要考查了函数奇、偶函数的性质可得奇函数关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，奇偶函数的判断，注意：再判断函数的奇偶性时，不但要检验f（﹣x）与f（x）的关系，更不能漏掉对函数的定义域要求对称的检验．‎ ‎　‎ ‎6．，是两个向量，||=1，||=2，且（+）⊥，则与的夹角为（　　）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎【考点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的运算． ‎ ‎【专题】平面向量及应用．‎ ‎【分析】设，的夹角为θ，0°≤θ≤180°，则由题意可得（）•=0，解得cosθ=﹣，可得θ 的值．‎ ‎【解答】解：设，的夹角为θ，0°≤θ≤180°，则由题意可得（）•=0，‎ 即 +=1+1×2×cosθ=0，解得cosθ=﹣，∴θ=120°，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，根据三角函数的值求角，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎7．已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ=（　　）‎ A．﹣ B． C．﹣ D．‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用；同角三角函数基本关系的运用． ‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】利用sin2θ+cos2θ=1，令原式除以sin2θ+cos2θ，从而把原式转化成关于tanθ的式子，把tanθ=2代入即可．‎ ‎【解答】解：sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ ‎=‎ - 15 -‎ ‎=‎ ‎==．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换应用．本题利用了sin2θ+cos2θ=1巧妙的完成弦切互化．‎ ‎　‎ ‎8．在等差数列{an}中，若a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，则a3+a6+a9的值为（　　）‎ A．30 B．27 C．24 D．21‎ ‎【考点】等差数列的性质． ‎ ‎【专题】计算题；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】利用等差数列的定义，求出数列的公差，从而可求a3+a6+a9的值．‎ ‎【解答】解：设等差数列的公差为d，则 ‎∵等差数列{an}中，a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，‎ ‎∴两式相减可得3d=﹣6‎ ‎∴d=﹣2‎ ‎∴a3+a6+a9=a2+a5+a8+3d=a2+a5+a8﹣6=33﹣6=27‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．已知M是△ABC内的一点，且=2，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为，x，y，则+的最小值是（　　）‎ A．20 B．18 C．16 D．9‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用；向量在几何中的应用． ‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，进而把+转化成2（+）×（x+y），利用基本不等式求得+的最小值．‎ ‎【解答】解：由已知得=bccos∠BAC=2⇒bc=4，‎ 故S△ABC=x+y+=bcsinA=1⇒x+y=，‎ 而+=2（+）×（x+y）‎ ‎=2（5++）≥2（5+2）=18，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，向量的数量积的运算．要注意灵活利用y=ax+的形式．‎ - 15 -‎ ‎　‎ ‎10．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【考点】点到直线的距离公式． ‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】设出切点坐标，利用导数在切点处的函数值，就是切线的斜率，求出切点，然后再求点P到直线y=x﹣2的最小距离．‎ ‎【解答】解：过点P作y=x﹣2的平行直线，且与曲线 y=x2﹣lnx相切，‎ 设P（x0，x02﹣lnx0）则有 k=y′|x=x0=2x0﹣．‎ ‎∴2x0﹣=1，∴x0=1或x0=﹣（舍去）．‎ ‎∴P（1，1），‎ ‎∴d==．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查点到直线的距离，导数的应用，考查计算能力，是基础题．‎ ‎　‎ ‎11．f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若对任意的x1∈[﹣1，2]，存在x0∈[﹣1，2]，使g（x1）=f（x0），则a的取值范围是（　　）‎ A． B． C．[3，+∞） D．（0，3]‎ ‎【考点】函数的值域；集合的包含关系判断及应用． ‎ ‎【专题】计算题；压轴题．‎ ‎【分析】先求出两个函数在[﹣1，2]上的值域分别为A、B，再根据对任意的x1∈[﹣1，2]，存在x0∈[﹣1，2]，使g（x1）=f（x0），集合B是集合A的子集，并列出不等式，解此不等式组即可求得实数a的取值范围，注意条件a＞0．‎ ‎【解答】解：设f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），在[﹣1，2]上的值域分别为A、B，‎ 由题意可知：A=[﹣1，3]，B=[﹣a+2，2a+2]‎ ‎∴‎ ‎∴a≤‎ 又∵a＞0，‎ ‎∴0＜a≤‎ 故选：A ‎【点评】此题是个中档题．考查函数的值域，难点是题意的理解与转化，体现了转化的思想．同时也考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，‎ ‎　‎ - 15 -‎ ‎12．已知点P为△ABC所在平面内一点，且满足=λ（+）（λ∈R），则直线AP必经过△ABC的（　　）‎ A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 ‎【考点】向量的线性运算性质及几何意义． ‎ ‎【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用．‎ ‎【分析】两边同乘以向量，利用向量的数量积运算可求得•=0，从而得到结论．‎ ‎【解答】解：∵=λ（+），‎ 两边同乘以向量，得•=λ（+）•=λ（+）‎ ‎=λ（+）=λ（﹣||+||）=0．‎ ‎∴⊥，‎ 即点P在在BC边的高线上，‎ ‎∴P的轨迹过△ABC的垂心．‎ 故选：C ‎【点评】本题考查平面向量数量积的运算、向量的线性运算性质及其几何意义，属中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎13．已知函数f（x）=2015sinx+x2015+2015tanx+2015，且f（﹣2015）=2016，则f（2015）的值为　2014　．‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质． ‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】根据f（x）解析式可以看出函数f（x）﹣2015为奇函数，从而便有f（﹣2015）﹣2015=﹣[f（2015）﹣2015]，这样即可根据f（﹣2015）的值解出f（2015）．‎ ‎【解答】解：f（x）﹣2015=2015sinx+x2015+2015tanx，∴f（x）﹣2015为奇函数；‎ ‎∴f（﹣2015）﹣2015=﹣[f（2015）﹣2015]，f（﹣2015）=2016；‎ ‎∴f（2015）=2014．‎ 故答案为：2014．‎ ‎【点评】考查奇函数的概念，将函数变成奇函数解决问题的方法，不要直接按f（x）为奇函数求．‎ ‎　‎ ‎14．不等式ex≥kx对任意实数x恒成立，则实数k的最大值为　e　．‎ ‎【考点】函数恒成立问题． ‎ - 15 -‎ ‎【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】由题意可得f（x）=ex﹣kx≥0恒成立，即有f（x）min≥0，求出f（x）的导数，求得单调区间，讨论k，可得最小值，解不等式可得k的最大值．‎ ‎【解答】解：不等式ex≥kx对任意实数x恒成立，即为 f（x）=ex﹣kx≥0恒成立，‎ 即有f（x）min≥0，‎ 由f（x）的导数为f′（x）=ex﹣k，‎ 当k≤0，ex＞0，可得f′（x）＞0恒成立，f（x）递增，无最大值；‎ 当k＞0时，x＞lnk时f′（x）＞0，f（x）递增；x＜lnk时f′（x）＜0，f（x）递减．‎ 即有x=lnk处取得最小值，且为k﹣klnk，‎ 由k﹣klnk≥0，解得k≤e，‎ 即k的最大值为e，‎ 故答案为：e．‎ ‎【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用构造函数求最值，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎15．函数y=sinx﹣cosx﹣sinxcosx的最大值为　+　．‎ ‎【考点】三角函数的最值． ‎ ‎【专题】三角函数的求值．‎ ‎【分析】令sinx﹣cosx=t∈[﹣，]，可得y=（t+1）2﹣1，再利用二次函数的性质求得它的最大值．‎ ‎【解答】解：令sinx﹣cosx=t∈[﹣，]，则t2=1﹣2sinxcosx，‎ 函数y=sinx﹣cosx﹣sinxcosx=t﹣=t2+t﹣=（t+1）2﹣1，‎ 故当t=时，函数y取得最大值为 t=+，‎ 故答案为：+．‎ ‎【点评】本题主要考查二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．已知△ABC的三边a，b，c满足+=，则角B=　　．‎ ‎【考点】余弦定理． ‎ ‎【专题】解三角形．‎ ‎【分析】化简所给的条件求得b2=a2+c2﹣ac，利用余弦定理求得cosB= 的值，可得B的值．‎ ‎【解答】解：△ABC的三边a，b，c满足+=，‎ - 15 -‎ ‎∴+=3，∴+=1，∴c（b+c）+a（a+b）=（a+b）（b+c），‎ 即 b2=a2+c2﹣ac，∴cosB==，‎ ‎∴B=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，式子的变形是解题的难点，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（10分）（2014•河北区一模）已知A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角，向量，，且．‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且，求边c的长．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理． ‎ ‎【专题】解三角形．‎ ‎【分析】（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，求出cosC的值，即可确定出C的度数；‎ ‎（2）由sinA，sinC，sinB成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式2sinC=sinA+sinB，利用正弦定理化简得到2c=a+b，已知等式利用平面向量的数量积运算化简，将cosC的值代入求出ab的值，利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b与ab的值代入即可求出c的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵=（sinA，sinB），=（cosB，cosA），‎ ‎∴•=sin2C，即sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC=sin2C=2sinCcosC，‎ ‎∵sinC≠0，‎ ‎∴cosC=，‎ ‎∵C为三角形内角，‎ ‎∴C=；‎ ‎（2）∵sinA，sinC，sinB成等差数列，‎ ‎∴2sinC=sinA+sinB，‎ 利用正弦定理化简得：2c=a+b，‎ ‎∵•=18，‎ ‎∴abcosC=ab=18，即ab=36，‎ - 15 -‎ 由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，‎ 将a+b=2c，ab=36代入得：c2=4c2﹣108，即c2=36，‎ 解得：c=6．‎ ‎【点评】此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及等差数列的性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2011•广东三模）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|﹣|=．‎ ‎（1）求cos（α﹣β）的值；‎ ‎（2）若0＜α＜，﹣＜β＜0，且sinβ=﹣，求sinα的值．‎ ‎【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；平面向量数量积的运算． ‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】（1）通过|﹣|=．求出向量的模，化简即可求出cos（α﹣β）的值；‎ ‎（2）通过0＜α＜，﹣＜β＜0，且sinβ=﹣，求出cosβ的值，sin（α﹣β）的值，利用sinα=sin（α﹣β+β），然后求sinα的值．‎ ‎【解答】解：（1）因为向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|﹣|===，所以2﹣2cos（α﹣β）=，‎ 所以cos（α﹣β）=；‎ ‎（2）若0＜α＜，﹣＜β＜0，所以0＜α﹣β＜π，因为cos（α﹣β）=，所以sin（α﹣β）=‎ 且sinβ=﹣，cosβ=，‎ 所以，sinα=sin（α﹣β+β）=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ==‎ ‎【点评】本题是中档题，考查三角函数的恒等变换以及化简求值，平面向量的数量积的应用，注意角的变换的技巧α=α﹣β+β，是简化解题过程的依据，注意角的范围的确定，是解题的关键，同时注意：3，4，5；5，12，13．这些特殊数字组成的直角三角形的三角函数值的应用．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2015秋•衡水校级月考）已知函数f（x）=ax2+bx（a≠0）的导函数f′（x）=﹣2x+7，数列{an}的前n项和为Sn，点Pn（n，Sn）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上．‎ - 15 -‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求Sn的最大值．‎ ‎【考点】数列的求和；利用导数研究函数的单调性． ‎ ‎【专题】计算题；函数思想；综合法；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】（1）由导数性质求出f（x）=﹣x2+7x，由点Pn（n，Sn）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上，求出，由此能求出数列{an}的通项公式．‎ ‎（2）令an=﹣2n+8≥0，得n≤4，由此能求出Sn的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=ax2+bx（a≠0），∴f′（x）=2ax+b，‎ ‎∵函数f（x）=ax2+bx（a≠0）的导函数f′（x）=﹣2x+7，‎ ‎∴a=﹣1，b=7，‎ ‎∴f（x）=﹣x2+7x，‎ 又∵点Pn（n，Sn）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上，‎ ‎∴，‎ 当n=1时，a1=S1=6，‎ 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣2n+8，‎ ‎∴an=﹣2n+8，n∈N*．‎ ‎（2）令an=﹣2n+8≥0，得n≤4，‎ ‎∴当n=3或n=4时，Sn取得最大值=12．‎ ‎【点评】本题考查数列的通项公式和数列前n项和的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2014•泉州模拟）数列{an}的前n项和为Sn=2n+1﹣2，数列{bn}是首项为a1，公差为d（d≠0）的等差数列，且b1，b3，b9成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若cn=（n∈N*），求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和． ‎ ‎【专题】等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用公式，能求出数列{an}的通项公式；利用等差数列的通项公式和等比数列的性质能求出数列{bn}的通项公式．‎ ‎（Ⅱ）由cn=，利用裂项求和法能求出数列{cn}的前n项和．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为Sn=2n+1﹣2，‎ 所以，当n=1时，a1=S1=21+1﹣2=2=21，‎ 当n≥2时，‎ an=Sn﹣Sn﹣1=2n+1﹣2n=2n，（2分）‎ 又a1=S1=21+1﹣2=2=21，也满足上式，‎ - 15 -‎ 所以数列{an}的通项公式为．（3分）‎ b1=a1=2，设公差为d，则由b1，b3，b9成等比数列，‎ 得（2+2d）2=2×（2+8d），（4分）‎ 解得d=0（舍去）或d=2，（5分）‎ 所以数列{bn}的通项公式为bn=2n．（6分）‎ ‎（Ⅱ）cn=（8分）‎ 数列{cn}的前n项和：‎ Tn=（10分）‎ ‎=1﹣=1﹣=．（12分）‎ ‎【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列前n项和的求法，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2013•泗县模拟）已知在x=1与处都取得极值．‎ ‎（Ⅰ） 求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）设函数g（x）=x2﹣2mx+m，若对任意的，总存在，使得g（x1）≥f（x2）﹣lnx2，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件． ‎ ‎【专题】综合题；导数的综合应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求导数f′（x），由f（x）在x=1与处都取得极值，得f'（1）=0，，得关于a，b的方程组，解出a，b，然后检验；‎ ‎（Ⅱ）对任意的，总存在，使得g（x1）≥f（x2）﹣lnx2，等价于g（x）min≥[f（x）﹣lnx]min，利用函数单调性易求[f（x）﹣lnx]min，按照对称轴在区间[，2]的左侧、内部、右侧三种情况进行讨论可求得g（x）min，然后解不等式g（x）min≥[f（x）﹣lnx]min可得答案；‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵，‎ ‎∵在x=1与处都取得极值，‎ ‎∴f'（1）=0，，∴，解得，‎ 当时，，‎ - 15 -‎ 所以函数f（x）在x=1与处都取得极值．‎ ‎∴；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：函数在上递减，‎ ‎∴[f（x）﹣g（x）]min=﹣+=﹣，‎ 又函数g（x）=x2﹣2mx+m图象的对称轴是x=m，‎ ‎（1）当时：，依题意有 成立，∴；‎ ‎（2）当时：，‎ ‎∴，即6m2﹣6m﹣7≤0，解得：，‎ 又∵，∴；‎ ‎（3）当m＞2时，g（x）min=g（2）=4﹣3m，∴，解得，‎ 又 m＞2，∴m∈ϕ；‎ 综上：，‎ 所以，实数m的取值范围为．‎ ‎【点评】本题考查利用导数研究函数的极值、闭区间上函数的最值，考查恒成立问题的解决，考查分类讨论思想、转化思想．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2012•宜春模拟）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当0＜a≤1时，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数a，使f（x）≤x恒成立，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． ‎ ‎【专题】综合题；压轴题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）确定函数f（x）的定义域，求导函数，分类讨论，利用导数的正负确定取得函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）f（x）≤x恒成立可转化为a+（a+1）xlnx≥0恒成立，构造函数φ（x）=a+（a+1）xlnx，则只需φ（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立即可，求导函数，分类讨论，即可求出实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（2分）‎ - 15 -‎ ‎（1）当0＜a＜1时，由f′（x）＞0得，0＜x＜a或1＜x＜+∞，由f′（x）＜0得，a＜x＜1‎ 故函数f（x）的单调增区间为（0，a）和（1，+∞），单调减区间为（a，1）…（4分）‎ ‎（2）当a=1时，f′（x）≥0，f（x）的单调增区间为（0，+∞）…（5分）‎ ‎（Ⅱ）f（x）≤x恒成立可转化为a+（a+1）xlnx≥0恒成立，‎ 令φ（x）=a+（a+1）xlnx，则只需φ（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立即可，…（6分）‎ 求导函数可得：φ′（x）=（a+1）（1+lnx）‎ 当a+1＞0时，在时，φ′（x）＜0，在时，φ′（x）＞0‎ ‎∴φ（x）的最小值为，由得，‎ 故当时f（x）≤x恒成立，…（9分）‎ 当a+1=0时，φ（x）=﹣1，φ（x）≥0在x∈（0，+∞）不能恒成立，…（11分）‎ 当a+1＜0时，取x=1，有φ（1）=a＜﹣1，φ（x）≥0在x∈（0，+∞）不能恒成立，…（13分）‎ 综上所述当时，使f（x）≤x恒成立．…（14分）‎ ‎【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查恒成立问题，同时考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ - 15 -‎