考点18 电容器 带电粒子
在电场中的运动
两年高考真题演练
1．(2015·新课标全国卷Ⅱ，14)
如图，两平行的带电金属板水平放置。若在两板中间a点从静止释放一带电微粒，微粒恰好保持静止状态，现将两板绕过a点的轴(垂直于纸面)逆时针旋转45°，再由a点从静止释放一同样的微粒，该微粒将( )
A．保持静止状态
B．向左上方做匀加速运动
C．向正下方做匀加速运动
D．向左下方做匀加速运动
2．(2015·江苏单科，7)(多选)一带正电的小球向右水平抛入范围足够大的匀强电场，电场方向水平向左。不计空气阻力，则小球( )
A．做直线运动 B．做曲线运动
C．速率先减小后增大 D．速率先增大后减小
3．(2015·海南单科，5)如图，一充电后的平行板电容器的两极板相距l。在正极板附近有一质量为M、电荷量为q(q＞0)的粒子；在负极板附近有另一质量为m、电荷量为－q的粒子。在电场力的作用下，两粒子同时从静止开始运动。已知两粒子同时经过一平行于正极板且与其相距l的平面。若两粒子间相互作用力可忽略。不计重力，则M∶m为( )
A．3∶2 B．2∶1 C．5∶2 D．3∶1
4．(2015·天津理综，7)(多选)
如图所示，氕核、氘核、氚核三种粒子从同一位置无初速地飘入电场线水平向右的加速电场E1之后进入电场线竖直向下的匀强电场E2发生偏转，最后打在屏上。整个装置处于真空中，不计粒子重力及其相互作用，那么( )
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A．偏转电场E2对三种粒子做功一样多
B．三种粒子打到屏上时的速度一样大
C．三种粒子运动到屏上所用时间相同
D．三种粒子一定打到屏上的同一位置
5．(2015·山东理综，20)(多选)如图甲，两水平金属板间距为d，板间电场强度的变化规律如图乙所示。t＝0时刻，质量为m的带电微粒以初速度v0沿中线射入两板间，0～时间内微粒匀速运动，T时刻微粒恰好经金属板边缘飞出。微粒运动过程中未与金属板接触。重力加速度的大小为g。关于微粒在0～T时间内运动的描述，正确的是( )
A．末速度大小为v0
B．末速度沿水平方向
C．重力势能减少了mgd
D．克服电场力做功为mgd
6．(2014·山东理综，19)如图，半径为R的均匀带正电薄球壳，其上有一小孔A。已知壳内的场强处处为零；壳外空间的电场，与将球壳上的全部电荷集中于球心O时在壳外产生的电场一样。一带正电的试探电荷(不计重力)从球心以初动能Ek0沿OA方向射出。下列关于试探电荷的动能Ek与离开球心的距离r的关系图线，可能正确的是( )
7．(2014·山东理综，18)如图，场强大小为E、方向竖直向下的匀强电场中有一矩形区域abcd，水平边ab长为s，竖直边ad长为h。质量均为m、带电荷量分别为＋q和－q的两粒子，由a、c两点先后沿ab和cd方向以速率v0进入矩形区(两粒子不同时出现在电场中)。不计重力。若两粒子轨迹恰好相切，则v0等于( )
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A. B. C. D.
8．(2015·安徽理综，23)
在xOy平面内，有沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E(图中未画出)，由A点斜射出一质量为m，带电量为＋q的粒子，B和C是粒子运动轨迹上的两点，如图所示，其中l0为常数。粒子所受重力忽略不计。求：
(1)粒子从A到C过程中电场力对它做的功；
(2)粒子从A到C过程所经历的时间；
(3)粒子经过C点时的速率。
9．(2015·四川理综，10)如图所示，粗糙、绝缘的直轨道OB固定在水平桌面上，B端与桌面边缘对齐，A是轨道上一点，过A点并垂直于轨道的竖直面右侧有大小E＝1.5×106 N/C，方向水平向右的匀强电场。带负电的小物体P电荷量是2.0×10－6 C，质量m＝0.25 kg，与轨道间动摩擦因数μ＝0.4。P从O点由静止开始向右运动，经过0.55 s到达A点，到达B点时速度是5 m/s，到达空间D点时速度与竖直方向的夹角为α，且tan α＝1.2。P在整个运动过程中始终受到水平向右的某外力F作用，F大小与P的速率v的关系如表所示。P视为质点，电荷量保持不变，忽略空气阻力，取g＝10 m/s2。求：
v/(m·s－1)
0≤v≤2
2＜v＜5
v≥5
F/N
2
6
3
(1)小物体P从开始运动至速率为2 m/s所用的时间；
(2)小物体P从A运动至D的过程，电场力做的功。
10．(2014·新课标全国卷Ⅰ，25)如图，O、A、B为同一竖直平面内的三个点，OB
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沿竖直方向，∠BOA＝60°，OB＝OA。将一质量为m的小球以一定的初动能自O点水平向右抛出，小球在运动过程中恰好通过A点。使此小球带电，电荷量为q(q>0)，同时加一匀强电场，场强方向与△OAB所在平面平行。现从O点以同样的初动能沿某一方向抛出此带电小球，该小球通过了A点，到达A点时的动能是初动能的3倍；若该小球从O点以同样的初动能沿另一方向抛出，恰好通过B点，且到达B点时的动能为初动能的6倍，重力加速度大小为g。求
(1)无电场时，小球到达A点时的动能与初动能的比值；
(2)电场强度的大小和方向。
考点18 电容器 带电粒子
在电场中的运动
一年模拟试题精练
1．(2015·南昌市调研)
如图所示，平行板电容器两极板M、N相距d，两极板分别与电压为U的恒定电源两极连接，极板M带正电。现有一质量为m的带电油滴在极板中央处于静止状态，且此时极板带电荷量与油滴带电荷量的比值为k，则( )
A．油滴带正电
B．油滴带电荷量为
C．电容器的电容为
D．将极板N向下缓慢移动一小段距离，油滴将向上运动
2．(2015·南昌市模拟)
如图所示，水平放置的平行金属板a、b分别与电源的两极相连，带电液滴P在金属板a、b间保持静止，现设法使P固定，再使两金属板a、b分别绕过中心点O、O′垂直于纸面的轴顺时针转动相同的小角度α，然后释放P，则P在电场内将做( )
A．匀速直线运动
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B．水平向右的匀加速直线运动
C．斜向右下方的匀加速直线运动
D．曲线运动
3．(2015·山西四校联考)如图甲所示，两平行金属板MN、PQ的板长和板间距离相等，板间存在如图乙所示的随时间周期性变化的电场，电场方向与两板垂直，在t＝0时刻，一不计重力的带电粒子沿板间中线垂直电场方向射入电场，粒子射入电场时的速度为v0，t＝T时刻粒子刚好沿MN板右边缘射出电场。则( )
A．该粒子射出电场时的速度方向一定是沿垂直电场方向的
B．在t＝T/2时刻，该粒子的速度大小为2v0
C．若该粒子在T/2时刻以速度v0进入电场，则粒子会打在板上
D．若该粒子的入射速度变为2v0，则该粒子仍在t＝T时刻射出电场
4．(2015·开封市模拟)
如图所示，倾角为θ＝30°的光滑绝缘斜面处于电场中，斜面AB长为L，一带电荷量为＋q、质量为m的小球，以初速度v0由斜面底端的A点开始沿斜面上滑，到达斜面顶端时速度仍为v0，则( )
A．小球在B点时的电势能一定大于小球在A点时的电势能
B．A、B两点之间的电势差一定为
C．若该电场是匀强电场，则电场强度的值一定是
D．若该电场是由放在AC边中垂线上某点的点电荷Q产生的，则Q一定是正电荷
5．(2015·长沙重点高中测试)(多选)
如图所示，带正电q′的小球Q固定在倾角为θ的光滑固定绝缘细杆下端，让另一穿在杆上的质量为m、电荷量为q的带正电的小球M从A点由静止释放，M到达B点时速度恰好为零。若A、B间距为L，C是AB的中点，两小球都可视为质点，重力加速度为g，则下列判断正确的是( )
A．在从A点至B点的过程中，M先做匀加速运动，后做匀减速运动
B．在从A点至C点和从C点至B点的过程中，前一过程M的电势能的增加量较小
C．在B点M受到的库仑力大小是mgsin θ
D．在Q产生的电场中，A、B两点间的电势差为UBA＝
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6．(2015·湖南十校联考)
如图所示，真空中水平放置的两个相同极板Y和Y′长为L，相距d，足够大的竖直屏与两板右侧相距b。在两板间加上可调偏转电压UYY′，一束质量为m、带电荷量为＋q的粒子(不计重力)从两板左侧中点A以初速度v0沿水平方向射入电场且能穿出。
(1)证明粒子飞出电场后的速度方向的反向延长线交于两板间的中心O点；
(2)求两板间所加偏转电压UYY′的范围；
(3)求粒子可能到达屏上区域的长度。
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参考答案
考点18 电容器 带电粒子在电场中的运动
两年高考真题演练
1．D [两平行金属板水平放置时，带电微粒静止有mg＝qE，现将两板绕过a点的轴(垂直于纸面)逆时针旋转45°后，两板间电场强度方向逆时针旋转45°，电场力方向也逆时针旋转45°，但大小不变，此时电场力和重力的合力大小恒定，方向指向左下方，故该微粒将向左下方做匀加速运动，选项D正确。]
2．BC [对小球受力分析，小球受重力、电场力作用，合外力的方向与初速度的方向夹角为钝角，故小球做曲线运动，故A错误，B正确；在运动的过程中合外力方向与速度方向间的夹角先为钝角后为锐角，故合外力对小球先做负功后做正功，所以速率先减小后增大，选项C正确，D错误。]
3．A [设电场强度为E，两粒子的运动时间相同，对M有，aM＝，l＝t2；对m有am＝·l＝t2，联立解得＝，A正确。]
4．AD [带电粒子经加速电场后速度v0＝，出偏转电场时的纵向速度vy＝，所以偏转电场E2对粒子做功为W＝m(v＋v)－mv＝q，故做功一样多，故A正确；粒子打到屏上时的速度为v＝＝，与比荷有关，故速度不一样大，故B错误；纵向位移y＝at2＝，即位移与比荷无关，由相似三角形可知，打到屏幕上的位置相同，故D正确；运动到屏上所用时间t＝×，与比荷有关，故C错误。]
5．BC [因0～内微粒匀速运动，故E0q＝mg；在～时间内，粒子只受重力作用，做平抛运动，在t＝时刻的竖直速度为vy1＝，水平速度为v0；在～T时间内，由牛顿第二定律2E0q－mg＝ma，解得a＝g，方向向上，则在t＝T时刻，vy2＝vy1－g＝0粒子的竖直速度减小到零，水平速度为v0，选项A错误，B正确；微粒的重力势能减小了ΔEp＝mg·＝mgd，选项C正确；从射入到射出，由动能定理可知，mgd－W电＝0，可知克服电场力做功为mgd，选项D错误。]
6．A [由于带正电的试探电荷在球壳内运动时，不受电场力，没有力做功
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，动能不变，可知C、D项错误；在球壳外，电场力做正功，动能增大，且由F库＝k可知随r的增大，F库减小，体现为Ekr图线的斜率减小，故选项A正确，B错误。]
7．B [因为两粒子轨迹恰好相切，切点为矩形区域中心，则对其中一个粒子，水平方向＝v0t，竖直方向＝at2且满足a＝，三式联立解得v0＝，故B正确。]
8．解析 (1)粒子从A到C过程中电场力对它做的功
W＝qE(yA－yC)＝3qEl0①
(2)粒子只要沿y轴负方向的电场力作用，粒子做类似斜上抛运动，粒子在x轴方向做匀速直线运动，由对称性可知轨迹最高点D在y轴上，可令
tAD＝tDB＝T，且tBC＝T②
由牛顿第二定律qE＝ma③
由运动学公式得yD＝aT2④
从D到C做类平抛运动，沿y轴方向：yD＋3l0＝a(2T)2⑤
由②③④⑤式解得T＝⑥
则A→C过程所经历的时间t＝3T＝3⑦
(3)粒子由D到C过程中
x轴方向：2l0＝vD·2T⑧
y轴方向：vCy＝a·2T⑨
vC＝⑩
由⑥⑧⑨⑩式解得vC＝⑪
答案 (1)3qEl0 (2)3 (3)
9．解析 (1)小物体P的速率从0至2 m/s，受外力F1＝2 N，设其做匀变速直线运动的加速度为a1，经过时间Δt1速度为v1，则
F1－μmg＝ma1①
v1＝a1Δt1②
由①②式并代入数据得Δt1＝0.5 s③
(2)小物体P从速率为2 m/s运动至A点，受外力F2＝6 N，设其做匀变速直线运动的加速度为a2，则
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F2－μmg＝ma2④
设小物体P从速度v1经过Δt2时间，在A点的速度为v2，则
Δt2＝0.55 s－Δt1⑤
v2＝v1＋a2Δt2⑥
P从A点至B点，受外力F2＝6 N、电场力和滑动摩擦力的作用，设其做匀变速直线运动的加速度为a3，电荷量为q，在B点的速度为v3，从A点至B点的位移为x1，则
F2－μmg－qE＝ma3⑦
v－v＝2a3x1⑧
P以速度v3滑出轨道右端B点，设水平方向受外力为F3，电场力大小为 FE，有FE＝F3⑨
F3与FE大小相等方向相反，P水平方向所受合力为零，所以，P从B点开始做初速度为v3的平抛运动。设P从B点运动至D点用时为Δt3，水平位移为x2，由题意知＝tan α⑩
x2＝v3Δt3⑪
设小物体P从A点至D点电场力做功为W，则
W＝－qE(x1＋x2)⑫
联立④～⑧，⑩～⑫式并代入数据得W＝－9.25 J⑬
答案 (1)0.5 s (2)－9.25 J
10．解析 (1)设小球的初速度为v0，初动能为Ek0，从O点运动到A点的时间为t，令OA＝d，则OB＝d，根据平抛运动的规律有
dsin 60°＝v0t①
dcos 60°＝gt2②
又有Ek0＝mv③
由①②③式得Ek0＝mgd④
设小球到达A点时的动能为EkA，则
EkA＝Ek0＋mgd⑤
由④⑤式得＝⑥
(2)加电场后，小球从O点到A点和B点，高度分别降低了和，设电势能分别减小ΔEpA和ΔEpB，由能量守恒及④式得
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ΔEpA＝3Ek0－Ek0－mgd＝Ek0⑦
ΔEpB＝6Ek0－Ek0－mgd＝Ek0⑧
在匀强电场中，沿任一直线，电势的降落是均匀的。设直线OB上的M点与A点等电势，M与O点的距离为x，如图，则有
＝⑨
解得x＝d。MA为等势线，电场必与其垂线OC方向平行。设电场方向与竖直向下的方向的夹角为α，由几何关系可得
α＝30°⑩
即电场方向与竖直向下的方向的夹角为30°。
设场强的大小为E，有qEdcos 30°＝ΔEpA⑪
由④⑦⑪式得E＝⑫
答案 (1) (2)，方向与竖直向下成30°夹角
一年模拟试题精练
1．C [带电油滴静止在两板间，重力与电场力等大、反向，电场力竖直向上，而电容器上极板与电源正极相连为正极板，两板间电场方向竖直向下，综上可知，带电油滴带负电，A项错误；由场强与电势差关系可知mg＝Eq＝q，解得q＝，B项错误；由题意知，电容器带电荷量Q＝kq＝，由电容的定义式知，C＝＝，C项正确；电容器与电源保持连接，两板间电势差不变，N板向下移动，板间距离变大，F电＝q，油滴所受电场力减小，油滴向下运动，D项错误。]
2．B
3．A [由题设条件可知：粒子在0～做类平抛运动，在～T做类
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斜抛运动，因粒子在电场中所受的电场力大小相等，根据运动的对称性，粒子射出电场时的速度方向一定是沿垂直电场方向的，如图所示，选项A正确；前后两段运动的时间相等，时将速度分解，设板长为l，由类平抛运动规律可得：l＝v0T，l＝vT，则v＝v0，则时刻该粒子的速度为v0，选项B错误；若该粒子在时刻以速度v0进入电场，粒子将先向下做类平抛运动，后做类斜抛运动，而从PQ板右边缘射出电场，选项C错误；若该粒子的入射速度变为2v0，粒子在场中运动的时间t＝＝，选项D错误。]
4．B [对小球进行受力分析可知，小球受重力、支持力和电场力作用，由功能关系及能量守恒定律可知，由A点到B点的过程中，重力做负功，重力势能增大，电场力做正功，电势能减小，合外力做的功为零，动能不变。小球在A点时的电势能大于在B点时的电势能，A错误；由动能定理可知，qUAB－mgLsin θ＝0，可求得A、B两点之间的电势差为，B正确；由于不知道电场方向，因此不能确定电场强度的大小，C错误；由于电场力做正功，而场源电荷位置不同，做功结果也不同，故D错误。]
5．BD [以带电小球M为研究对象，带电小球M受到重力、电场力、弹力三个力作用，根据牛顿第二定律和库仑定律可得mgsin θ－k＝ma，又两小球间的距离在减小，故小球M在从A点至B点的过程中，先做速度增大、加速度减小的变加速运动，然后做速度减小、加速度增大的减速运动，且小球M在B点受到的库仑力大小为F库＝k＝ma1＋mgsin θ>mgsin θ，故A、C错误；根据电势能的变化量与电场力做功的关系可得，在从A点至C点的过程中，电势能的增加量为ΔEpAC＝－WAC＝qUCA，在从C点至B点的过程中，电势能的增加量为ΔEpCB＝－WCB＝qUBC，又UCA
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