【南方新课堂】2016年高考数学总复习 专题五 立体几何知能训练 理.doc

专题五　立体几何 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．下列命题中，假命题的个数为(　　)‎ ‎①与三角形两边平行的平面平行于这个三角形的第三边；‎ ‎②与三角形两边垂直的直线垂直于第三边；‎ ‎③与三角形三顶点等距离的平面平行于这个三角形所在平面．‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎2．在斜二测画法中，边长为a的正方形的直观图的面积为(　　)‎ A．a2 B.a2‎ C.a2 D.a2‎ ‎3．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题．如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，那么在所得的所有新命题中，真命题的个数有(　　)‎ A．0个　 B．1个 C．2个　 D．3个 ‎4．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．90°‎ ‎5．在直三棱柱ABCA1B‎1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．90°‎ ‎6．(2014年大纲)已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积是(　　)‎ A. B．16π C．9π　 D. ‎7．一个几何体的三视图如图Z51，则该几何体的表面积为____________．‎ 图Z51‎ ‎8．(2015年广东广州一模)如图Z52，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF＝O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图Z53所示的五棱锥PABFED，且PB＝.‎ ‎(1)求证：BD⊥平面POA；‎ ‎(2)求二面角BAPO的正切值．‎ 5‎ ‎ ‎ 图Z52 　图Z53‎ ‎9．(2014年重庆)如图Z54，在四棱锥PABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝，M为BC上一点，且BM＝，MP⊥AP.‎ ‎(1)求PO的长；‎ ‎(2)求二面角APMC的正弦值．‎ 图Z54‎ 专题五　立体几何 ‎1．B　2.D ‎3．C　解析：若α，β换为直线a，b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥α，且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题．‎ ‎4．A　解析：连接AC，则AC是PC在平面ABCD上的射影．∴∠PCA是PC与平面ABCD所成的角．∵AB＝1，BC＝，∴AC＝.∴在Rt△PAC中，tan∠PCA＝＝＝.∴∠PCA＝30°.故选A.‎ ‎5．C　解析：延长CA到D，使得AD＝AC，则ADA‎1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角．又△A1DB为等边三角形，∴∠DA1B＝60°.‎ 图D104‎ ‎6．A　解析：如图D104，由已知条件知，球心在正四棱锥的高上，设球的半径为R 5‎ ‎，球心为O，正四棱锥底面中心为O1，则OO1垂直于棱锥的底面，OO1＝4－R，所以(4－R)2＋()2＝R2.解得R＝.所以球的表面积S＝4πR2＝.‎ ‎7．38　解析：由三视图可知：该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱，其中长方体的长、宽、高分别为4,3,1，圆柱的底面直径为2，所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积，即为2(3×4＋4×1＋3×1)＋2π×1×1－2π＝38.‎ ‎8．(1)证明：∵点E，F分别是边CD，CB的中点，‎ ‎∴BD∥EF.‎ ‎∵菱形ABCD的对角线互相垂直，‎ ‎∴BD⊥AC.‎ ‎∴EF⊥AC.‎ ‎∴EF⊥AO，EF⊥PO.‎ ‎∵AO⊂平面POA，PO⊂平面POA，AO∩PO＝O，‎ ‎∴EF⊥平面POA.‎ ‎∴BD⊥平面POA.‎ ‎(2)解：方法一：如图D105.设AO∩BD＝H，连接BO，‎ 图D105‎ ‎∵∠DAB＝60°，‎ ‎∴△ABD为等边三角形．‎ ‎∴BD＝4，BH＝2，HA＝2 ，HO＝PO＝.‎ 在Rt△BHO中，BO＝＝，‎ 在△PBO中，BO2＋PO2＝10＝PB2，‎ ‎∴PO⊥BO.‎ ‎∵PO⊥EF，EF∩BO＝O，EF⊂平面BFED，BO⊂平面BFED，‎ ‎∴PO⊥平面BFED.‎ 过H作HG⊥AP，垂足为G，连接BG，‎ 由(1)知，BH⊥平面POA，且AP⊂平面POA，‎ ‎∴BH⊥AP.‎ ‎∵HG∩BH＝H，HG⊂平面BHG，BH⊂平面BHG，‎ ‎∴AP⊥平面BHG.‎ ‎∵BG⊂平面BHG，‎ ‎∴AP⊥BG.‎ ‎∴∠BGH为二面角BAPO的平面角．‎ 在Rt△POA中，AP＝＝，‎ 在Rt△POA和Rt△HGA中，∠POA＝∠HGA＝90°，∠PAO＝∠HAG，‎ ‎∴Rt△POA∽Rt△HGA.‎ ‎∴＝.‎ ‎∴HG＝＝＝.‎ 在Rt△BHG中，tan∠BGH＝＝＝ .‎ ‎∴二面角BAPO的正切值为.‎ 5‎ 图D106‎ 方法二：设AO∩BD＝H，连接BO，‎ ‎∵∠DAB＝60°，‎ ‎∴△ABD为等边三角形．‎ ‎∴BD＝4，BH＝2，HA＝2 ，HO＝PO＝.‎ 在Rt△BHO中，BO＝＝，‎ 在△PBO中，BO2＋PO2＝10＝PB2，‎ ‎∴PO⊥BO.‎ ‎∵PO⊥EF，EF∩BO＝O，EF⊂平面BFED，BO⊂平面BFED，‎ ‎∴PO⊥平面BFED.‎ 以O为原点，OF所在直线为x轴，AO所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立如图D106所示的空间直角坐标系Oxyz，‎ 则A(0，－3 ，0)，B(2，－，0)，P(0,0，)，H(0，－，0)．‎ ‎∴＝(0,3 ，)，＝(2,2 ，0)．‎ 设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 由n⊥，n⊥，得 令y＝1，得z＝－3，x＝－.‎ ‎∴平面PAB的一个法向量为n＝.‎ 由(1)知，平面PAO的一个法向量为＝，‎ 设二面角BAPO的平面角为θ，‎ 则cosθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.∴sinθ＝＝，tanθ＝＝.‎ ‎∴二面角BAPO的正切值为.‎ ‎9．解：(1)如图D107，连接AC，BD，因为四边形ABCD为菱形，所以AC∩BD＝O，且AC⊥BD.以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.‎ 图D107‎ 因为∠BAD＝，‎ 所以OA＝AB·cos＝，OB＝AB·sin＝1.‎ 5‎ 所以O(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，C(－，0,0)，＝(0,1,0)，＝(－，－1,0)．‎ 由BM＝，BC＝2知，＝＝，‎ 从而＝＋＝，‎ 即M.‎ 设P(0,0，a)，a＞0，‎ 则＝(－，0，a)，＝.‎ 因为MP⊥AP，所以·＝－＋a2＝0.‎ 所以a＝或a＝－(舍去)，即PO＝.‎ ‎(2)由(1)知，＝，＝，＝.设平面APM的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面PMC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．‎ 由n1·＝0, n1·＝0，得 故可取n1＝.‎ 由n2·＝0，n2·＝0，得 故可取n2＝(1，－，－2)．‎ 从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为 cos〈n1，n2〉＝＝－，‎ 故所求二面角APMC的正弦值为.‎ 5‎