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宜昌市第一中学2018年春季学期高二年级期末考试
理科数学
考试时间：120分钟 满分：150分
命题人：王健 审题人：孙红波
[来源:Zxxk.Com]
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设，，集合（ ）
A． B． C． D．
2．已知为虚数单位，则复数对应复平面上的点在第（ ）象限．
A．一 B． 二 C．三 D．四
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．已知，，（ ）
A． B． C． D．
5．若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（ ）
A． B． C． D．
6．函数的图象大致为( )
7．已知函数满足，当时，，若在区间上方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
8．若角为三角形的一个内角，并且，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知定义域为的奇函数，当时，满足，
则（ ）
A． B． C． D．
10．某巨型摩天轮．其旋转半径50米，最高点距地面110米，运行一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第35分钟时他距地面大约为（ ）米．
A．75
B．85
C．100
D．110
11．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割),并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集划分为两个非空的子集与,且满足,,中的每一个元素都小于中的每一个元素,则称为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割,下列选项中,不可能成立的是( )
A．没有最大元素, 有一个最小元素 B．没有最大元素, 也没有最小元素
C．有一个最大元素, 有一个最小元素 D．有一个最大元素, 没有最小元素
12．已知关于的方程为（其中），则此方程实根的个数为（ ）
A．2 B．2或3 C．3 D．3或4
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知角的终边经过，则________．
14．满足不等式组的点所围成的平面图形的面积为________．
15．学校艺术节对同一类的 A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：
甲说：“ A作品获得一等奖”； 乙说：“C作品获得一等奖”
丙说：“B, D两项作品未获得一等奖” 丁说：“是A或D作品获得一等奖”
若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是________．
16．对于定义域为的函数，若满足① ；② 当，且时，都有；③ 当，且时，都有，则称为“偏对称函数”．现给出四个函数：①；② ； ③；④.则其中是“偏对称函数”的函数序号为 __ ____．
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。）
（一）必考题：共60分。
17．（本题满分12分）
已知集合
（1）若，求实数的值；
（2）若命题命题且是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18．（本题满分12分）
已知函数，．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的对称中心和单调递增区间．
19．（本题满分12分）
统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量(升)关于行驶速度(千米/小时)的函数为
．
（1）当千米/小时时,行驶千米耗油量多少升？
（2）若油箱有升油,则该型号汽车最多行驶多少千米？
20．（本题满分12分）
如图，已知单位圆上有四点，，，，其中，分别设的面积为.
（1）用表示；
（2）求的最大值及取最大值时的值。
21．（本题满分12分）
已知函数．
（1）若在为增函数，求实数的取值范围；
（2）当时，函数在的最小值为，求的值域．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知点是曲线上一点，若点到曲线的最小距离为，求的值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若，求的最小值．
宜昌市第一中学2018年春季学期高二年级期末考试
理科数学参考答案
考试时间：120分钟 满分：150分
命题人：王健 审题人：孙红波
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
B
C
A
B
D
A
D
B
C
C[来源:学*科*网Z*X*X*K]
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13． 14． 15． C 16．②③
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。）
17．【解析】
(1) 当时
当时显然故时，…………6分
（2）
当时， 则解得[来源:学|科|网]
当时，则
综上是的充分不必要条件，实数的取值范围是或…………12分
18．【解析】（1）∵
…………3分
． …………5分
∴． …………6分
（2）令得：，[来源:学科网]
所以对称中心为：， …………9分
令
解得单调递增区间为：，………… 12分
19．【解析】 (1)当千米/小时时,要行驶千米需要小时，
要耗油 (升) ．
(2)设升油能使该型号汽车行驶千米,由题意得，
，所以 ，
设
则当最小时，取最大值，令
当时，，当时，
故当时，函数为减函数，当时，函数为增函数，
所以当时， 取得最小值，此时取最大值为
所以若油箱有升油,则该型号汽车最多行驶千米．
20．【解析】解析：（1）根据三角函数的定义，知
所以，所以.
又因为四边形OABC的面积＝，
所以. ………… 6分
（2）由（1）知.
因为，所以，所以，
所以的最大值为，此时的值为. ………… 12分
21．【解析】（1）在上恒成立，设在上为增函数，所以． …………4分
（2） …………5分
可得在上是增函数，
又，，…………6分
则存在唯一实数，使得即…………7分
则有在上递减；
在上递增；
故当时，有最小值………9分
则有最小值，
又，
令
求导得：，故在上递增，………10分[来源:Zxxk.Com]
而，，故可等价转化为
故求的最小值的值域，可转化为求在上的值域．………11分
易得：在上为减函数，则其值域为．………12分
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
【解析】（1）由曲线的参数方程，消去参数，
可得的普通方程为：. …………2分
由曲线的极坐标方程得：
曲线的直角坐标方程为 …………5分
（2）设曲线上任意一点，则点到曲线的距离为
． …………7分
，．
当时，，即；
当时，，即
或 …………10分
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
【解析】（1）当时，
的解集为： …………5分
（2）由得：
由，得：
得（当且仅当或时等号成立），
故的最小值为 …………10分
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