第二十四章 圆
一、填空题(每题3分，共18分)
1．如图24－Z－1所示，在⊙O中，若∠A＝60°，AB＝3 cm，则OB＝________ cm.
图24－Z－1
2．如图24－Z－2，AB是⊙O的直径，∠AOC＝130°，则∠D＝________°.
图24－Z－2
3．如图24－Z－3所示，一个宽为2厘米的刻度尺(刻度单位：厘米)放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿的半径为________厘米．
图24－Z－3
4.如图24－Z－4，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，C是上的一点，∠P＝40°，则∠ACB的度数为________．
图24－Z－4
5．如图24－Z－5，把半径为4 cm的半圆围成一个圆锥的侧面，使半圆圆心为圆锥的顶点，那么这个圆锥的高是________cm(结果保留根号)．
图24－Z－5
6.如图24－Z－6，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A，B，C，如果AB＝1，那么曲线CDEF的长为________．
图24－Z－6
二、选择题(每题4分，共32分)
7．如图24－Z－7，点A，B，C在⊙O上，∠A＝50°，则∠BOC的度数为( )
图24－Z－7
A．40° B．50° C．80° D．100°
8．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不能确定
9．如图24－Z－8，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC.若∠BCD＝50°，则∠AOC的度数为( )
图24－Z－8
A．40° B．50° C．80° D．100°
10．一个扇形的半径为2，扇形的圆心角为48°，则它的面积为( )
A. B. C. D.
11．已知圆锥的底面积为9π cm2，母线长为6 cm，则圆锥的侧面积是( )
A．18π cm2 B．27π cm2 C．18 cm2 D．27 cm2
12．一元钱硬币的直径约为24 mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过( )
A．12 mm B．12 mm
C．6 mm D．6 mm
13．如图24－Z－9，半圆的直径BC恰与等腰直角三角形ABC的一条直角边完全重合，若BC＝4，则图中阴影部分的面积是( )
图24－Z－9
A．2＋π B．2＋2π
C．4＋π D．2＋4π
12.如图24－Z－10，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，将矩形ABCD
按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是( )
图24－Z－10
A.π B．13π C．25π D．25
三、解答题(共50分)
15．(10分)如图24－Z－11，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°.求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
图24－Z－11
16．(12分)如图24－Z－12，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB.
(1)若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径；
(2)若∠M＝∠D，求∠D的度数．
图24－Z－12
17．(12分)已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D.
(1)如图24－Z－13①，求∠T和∠CDB的大小；
(2)如图②，当BE＝BC时，求∠CDO的大小．
图24－Z－13
18．(16分)如图24－Z－14，AB是以BC为直径的半圆O的切线，D为半圆上一点，AD＝AB，AD，BC的延长线相交于点E.
(1)求证：AD是半圆O的切线；
(2)连接CD，求证：∠A＝2∠CDE；
(3)若∠CDE＝27°，OB＝2，求的长．
图24－Z－14
教师详解详析
【作者说卷】
本试卷的重点是圆的基本概念、与圆有关的位置关系及应用．难点是如何构建垂径定理模型解决问题，切线的判定与性质的综合应用，亮点是既注重解决生活中的实际问题，又培养学生认真读题的习惯.
知识与
技能
圆的相
关性质
垂径定理
及其应用
与圆有关的
位置关系
题号
1，2，4，
7，9，15
3，16
8
知识与技能
扇形、弧长、圆锥
综合运用
题号
5，6，10，11，13，14
17，18
1.3
2．25 [解析] ∵AB是⊙O的直径，∠AOC＝130°，
∴∠BOC＝180°－∠AOC＝50°，
∴∠D＝∠BOC＝25°.
故答案为25.
3. [解析] 如图所示，设该圆的半径为x厘米，已知弦长为6厘米，根据垂径定理，得AB＝3厘米．根据勾股定理，得OA2－OB2＝AB2，即x2－(x－2)2＝32，解得x＝.
4．110° [解析] 如图所示，连接OA，OB，
∵PA，PB是切线，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝360°－90°－90°－40°＝
140°，
∴∠ADB＝70°.
又∵圆内接四边形的对角互补，
∴∠ACB＝180°－∠ADB＝180°－70°＝110°.
5．2 [解析] 设圆锥的底面圆半径为r cm，高为h cm，则2πr＝4π，r＝2，根据勾股定理，得h＝＝2 .故答案是2 .
6．4π [解析] l＝＝，l＝＝，l＝＝2π，所以曲线CDEF的长＝＋＋2π＝4π.
7．D
8．A [解析] ∵⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，
又∵3＞2，即d＜r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交．
9．C [解析] ∵CD为⊙O的切线，∴∠OCD＝90°.
∵∠BCD＝50°，∴∠OCB＝40°.
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝40°，
∴∠AOC＝2∠OBC＝80°.故选C.
10．A [解析] 根据扇形面积公式：S＝＝＝.故选A.
11．A [解析] 因为圆锥的底面积为9π cm2，所以圆锥的底面圆的半径为3 cm，圆锥的底面周长为6π cm，根据扇形面积公式得S＝lR＝×6π×6＝18π(cm2)．
12．A [解析] 如图，已知圆的半径r为12 mm，△OBC是等边三角形，所以BC＝12 mm，所以正六边形的边长最大不超过12 mm.故选A.
13．A [解析] 如图，连接DO.
∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠CBA＝45°，∴∠DOC＝90°.
利用分割的方法，得到阴影部分的面积等于三角形BOD的面积加扇形COD的面积，所以阴影部分的面积＝×2×2＋π×22＝2＋π.
14．A [解析] 如图，连接BD，B′D.
∵AB＝5，AD＝12，
∴BD＝＝13，
∴的长l＝＝π.
∵的长l′＝＝6π，
∴点B在两次旋转过程中经过的路径的长是π＋6π＝π.故选A.
15．证明：∵＝，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
∵∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝CA，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
16．解：(1)∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD＝16，∴DE＝CD＝8.
∵BE＝4，
∴OE＝OB－BE＝OD－4.
在Rt△OED中，OE2＋DE2＝OD2，
即(OD－4)2＋82＝OD2，解得OD＝10.
∴⊙O的直径是20.
(2)∵弦CD⊥AB，
∴∠OED＝90°，
∴∠EOD＋∠D＝90°.
∵∠M＝∠D，∠EOD＝2∠M，
∴∠EOD＋∠D＝2∠M＋∠D＝3∠D＝90°，
∴∠D＝30°.
17．解：(1)如图①，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，
∴AT⊥AB，即∠TAB＝90°.
∵∠ABT＝50°，
∴∠T＝90°－∠ABT＝40°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°－∠ABT＝40°，
∴∠CDB＝∠CAB＝40°.
(2)如图②，连接AD，
在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝50°，
∴∠BCE＝∠BEC＝65°，
∴∠BAD＝∠BCD＝65°.
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝65°.
∵∠ADC＝∠ABC＝50°，
∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝15°.
18．解：(1)证明：连接OD，BD.
∵AB是以BC为直径的半圆O的切线，
∴AB⊥BC，即∠ABO＝90°.
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB.
∵OB＝OD，
∴∠DBO＝∠BDO，
∴∠ABD＋∠DBO＝∠ADB＋∠BDO，
即∠ABO＝∠ADO＝90°.
又∵OD是半圆O的半径，
∴AD是半圆O的切线．
(2)证明：由(1)知∠ADO＝∠ABO＝90°，
∴∠A＝360°－∠ADO－∠ABO－∠BOD＝180°－∠BOD＝∠DOC.
∵AD是半圆O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠ODC＋∠CDE＝90°.
∵BC是⊙O的直径，
∴∠ODC＋∠BDO＝90°，
∴∠BDO＝∠CDE.
∵∠BDO＝∠OBD，
∴∠DOC＝2∠BDO，
∴∠DOC＝2∠CDE，
∴∠A＝2∠CDE.
(3)∵∠CDE＝27°，
∴∠DOC＝2∠CDE＝54°，
∴∠BOD＝180°－54°＝126°.
∵OB＝2，
∴的长＝＝π.
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