25.3 用频率估计概率
知识点 用频率估计概率
1．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是( )
A．频率就是概率
B．频率与试验次数无关
C．概率是随机的，与频率无关
D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
2．某校篮球队进行篮球投篮训练，下表是某队员投篮的统计结果：
投篮次数/次
10
50
100
150
200
500
命中次数/次
9
40
70
108
144
360
命中率
0.9
0.8
0.7
0.72
0.72
0.72
根据上表可知该队员一次投篮命中的概率大约是( )
A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.72
3．2017·兰州一个不透明的盒子里有n个除颜色不同外其他完全相同的小球，其中有9个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为( )
A．20 B．24 C．28 D．30
4．一个不透明的口袋里装有除颜色不同外其余都相同的10个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋中随机摸出1球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了1000次，其中有200次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球有( )
A．60个 B．50个 C．40个 D．30个
5．2017·宿迁如图25－3－1，为测量平地上一块不规则区域(图中的阴影部分)的面积，画一个边长为2 m的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子(假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的)，经过大量重复投掷试验，
发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是________m2.
图25－3－1
6．为了估计暗箱里白球的数量(箱内只有白球)，将5个红球放进去，随机摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出1个球记下颜色，多次重复后发现红球出现的频率约为0.2，那么可以估计暗箱里白球的数量为________个．
7．儿童节期间，某公园游乐场举行一场活动．有一种游戏规则是在一个装有8个红球和若干个白球(每个球除颜色不同外，其他都相同)的袋中，随机摸1个球，摸到1个红球就得到1个玩具．已知参加这种游戏的儿童有40000人，公园游乐场发放玩具8000个．
(1)求参加此次活动得到玩具的频率；
(2)请你估计袋中白球的数量接近多少．
8．为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中捕获30条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放回鱼塘，再从鱼塘中打捞出200条鱼．若在这200条鱼中有5条鱼是有记号的，则估计鱼塘中的鱼有( )
A．3000条 B．2200条
C．1200条 D．600条
9．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图25－3－2所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是( )
图25－3－2
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽1张牌的花色是红桃
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取1球是黄球
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是4
10．小颖和小红两名同学在学习“概率”时，做掷骰子(质地均匀的正方体)试验．
(1)她们在一次试验中共掷骰子60次，试验的结果如下：
朝上的点数
1
2
3
4
5
6
出现的次数
7
9
6
8
20
10
①填空：此次试验中“5点朝上”的频率为________；
②小红说：“根据试验，出现5点的概率最大．”她的说法正确吗？为什么？
(2)小颖和小红在试验中如果各掷一枚骰子，那么两枚骰子朝上的点数之和为多少时的概率最大？试用列表法或画树状图法加以说明，并求出其概率．
11．为了了解初中生毕业后就读普通高中或就读中等职业技术学校的意向，某校对八、九年级部分学生进行了一次调查，调查结果有三种情况：A.只愿意就读普通高中；B.只愿意就读中等职业技术学校；C.就读普通高中或中等职业技术学校都愿意．学校教务处将调查数据进行了整理，并绘制了如图25－3－3所示的尚不完整的统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
(1)本次活动共调查了多少名学生？
(2)补全图①，并求出图②中B区域的圆心角的度数；
(3)若该校八、九年级的学生共有2800名，请估计该校八、九年级学生中只愿意就读中等职业技术学校的人数．
图25－3－3
教师详解详析
1．D [解析] ∵大量重复试验中事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率，
∴选项A，B，C错误，选项D正确．故选D.
2．D [解析] 试验次数越大，频率越稳定，越接近事件发生的概率，故该队员一次投篮命中的概率大约是0.72.
3．D [解析] 根据题意得＝30%，解得n＝30，所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色不同外其他完全相同的小球．
4．C [解析] ∵小亮共摸了1000次，其中200次摸到白球，则有800次摸到红球，
∴白球与红球的数量之比为1∶4.
∵白球有10个，
∴红球有4×10＝40(个)．
5．1 [解析] ∵经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，
∴小石子落在不规则区域的概率为0.25.
∵正方形的边长为2 m，
∴正方形的面积为4 m2.
设不规则区域的面积为S，则＝0.25，
解得S＝1(m2)．
6．20 [解析] 设暗箱里白球的数量是n，则根据题意，得＝0.2，解得n＝20.
经检验，n＝20是原方程的解，且符合题意．
7．解：(1)参加此次活动得到玩具的频率为＝0.2.
(2)设袋中共有m个球，则P(摸到1个球是红球)＝，
∴＝0.2，解得m＝40，
经检验，m＝40是原方程的解，且符合题意．
∴袋中白球的数量接近40－8＝32(个)．
8．C
9．D [解析] A项中，小明随机出的是“剪刀”的概率是≈0.33.B项中，从中任抽1张牌的花色是红桃的概率是＝＝0.25.
C项中，从中任取1球是黄球的概率是≈0.67.
D项中，向上一面的点数是4的概率是≈0.17.而折线统计图中试验的频率稳定在0.17左右，与D项中的概率接近．
故选D.
10．解：(1)①∵试验中“5点朝上”的次数为20，总次数为60，
∴此次试验中“5点朝上”的频率为＝.
②小红的说法不正确．
理由：∵利用频率估计概率的试验次数必须比较多，重复试验，频率才会慢慢接近概率．而她们的试验次数太少，没有代表性，
∴小红的说法不正确．
(2)列表如下：
小红
和
小颖
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
由表格可以看出，共有36种等可能的结果，其中点数之和为7的结果数最多，有6种，
∴两枚骰子朝上的点数之和为7时的概率最大，为＝.
11．解：(1)C部分所占的百分比为×100%＝10%，故本次活动共调查了80÷10%＝800(名)学生．
(2)只愿意就读中等职业技术学校的学生人数为800－480－80＝240，补全图形如下图所示．图②中B区域的圆心角的度数是×360°＝108°.
(3)估计该校八、九年级学生中只愿意就读中等职业技术学校的人数为×2800＝840.
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