遂宁市高中2020级第二学期期末教学水平监测
数 学 试 题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1. 的值是
A． B． C． D．
2. 已知，则下列不等式正确的是
A． B． C． D．
3. 已知等比数列中，，，则
A．4 B．－4 C． D．16
4. 若向量，，，则等于
A. B.
C. D．
5. 在中，＝60°，，，则等于
A．45°或135° B．135°
C．45° D．30°
6. 在中，已知，那么一定是
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D．正三角形
7. 不等式对任何实数恒成立，则的取值范围是
A. (﹣3，0 ) B. (﹣3，0]
C. [﹣3，0 ) D. [﹣3，0]
8. 《莱茵德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的是较小的三份之和，则最小的1份为
A. 磅 B. 磅 C. 磅 D. 磅
9. 如图，为测得河对岸塔的高，先在河岸上选一点，使在塔底的正东方向上，此时测得点的仰角为再由点沿北偏东方向走到位置，测得，则塔的高是
A. 10
B. 10
C. 10
D. 10
10. 已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为质数的正整数的个数是
A．2 B．3 C．4 D．5
11. 如图，菱形的边长为为中点，若为菱形内任意一点（含边
界），则的最大值为
A. B. C. D.
12．对于数列，定义为数列的“诚信”值，已知某数列的“诚信”值,记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 不等式的解集为 ▲ .
14. 化简 ▲ .
15. 已知，并且，，成等差数列，则的最小值为 ▲ .
16. 已知函数的定义域为,若对于、、分别为某个三角形的边长，则称为“三角形函数”。给出下列四个函数：
①； ②；
③；④.
其中为“三角形函数”的数是 ▲ .
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（本题满分10分）
已知,是互相垂直的两个单位向量，，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当为何值时，与共线.
▲
18．（本题满分12分）
已知是等比数列，，且，，成等差数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前n项和.
▲
19．（本题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）求的单调递增区间；
（Ⅱ）若，，求的值.
▲
20．（本题满分12分）
建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的大计，是实现中国梦的重要内容.习近平指出：“绿水青山就是金山银山”。某乡镇决定开垦荒地打造生态水果园区，其调研小组研究发现：一棵水果树的产量（单位：千克）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：。此外，还需要投入其它成本（如施肥的人工费等）元.已知这种水果的市场售价为16元/千克，且市场需求始终供不应求。记该棵水果树获得的利润为（单位：元）。
（Ⅰ）求的函数关系式；
（Ⅱ）当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？
▲
21．（本题满分12分）
如图：在中，，点在线段上，且.
（Ⅰ）若，．求的长；
（Ⅱ）若，求△DBC的面积最大值．
▲
22．（本题满分12分）
已知数列的前项和为且 .
（Ⅰ）求证为等比数列，并求出数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前项和为，是否存在正整数，对任意，不等式恒成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.
▲
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数学试题参考答案及评分意见
一、选择题（5′×12=60′）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
A
D
C
A
B
D
B
A
D
C
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 14.1 15.9 16.①④
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（10分）
解：（1）因为,是互相垂直的单位向量，所以 ,
; …………2分
∴ …5分
（2） ∵与共线，
∴，又不共线； …………8分
∴ …………10分
【解法二】
解：设与的夹角为，则由， 是互相垂直的单位向量，不妨设,分别为平面直角坐标系中轴、轴方向上的单位向量，则 …………1分
（1）
∴ …………5分
（2），
∵与共线，∴ …………8分
∴ …………10分
18．（12分）
（1）设等比数列的公比为，由，，成等差数列
∴， …………2分
即 ∴
∴. …………6分
（2）由
…………8分
两式作差：
…………10分
∴ …………12分
19．（12分）
解:（1）
……………3分
令， ……………5分
所以，的单调递增区间为， . ……………6分
（2） ，
∵∴∴ ……………9分
∴ ……………10分
. ……………12分
20．（12分）
（1） ……………6分
（2）当 ……………8分
当
当且仅当时，即时等号成立 ……………11分
答：当投入的肥料费用为30元时，种植该果树获得的最大利润是430元. …12分
21．（12分）
∵ ……………1分
(1)法一、在中,设,由余弦定理可得： ①
……………2分
在和中，由余弦定理可得：
又因为
∴得 ② ……………4分
由①②得 ∴. ……………6分
法二、向量法：得 ……………3分
得 ……5分
∴ ……………6分
（2） ……………7分
由
∴ （当且仅当取等号） ……………10分
由，可得
∴的面积最大值为. ……………12分
22．（12分）
解析：（1)证明：当时， ……………1分
当时， ……………2分
两式作差：
得 ， ……………4分
以1为首项，公比为2的等比数列; ……………5分
（2）代入得 ……………6分
由
∴为递增数列， ……………7分
∴
………9分
当时， ；
当时，；
当时，
； ∵ ……………11分
∴存在正整数对任意，不等式恒成立，
正整数的最小值为1 ……………12分
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