2018年秋沪科版九年级数学上《第22章相似形》复习试题含答案.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第22章 相似形 类型之一　比例线段与比例性质 ‎1．如果x∶(x＋y)＝3∶5，那么x∶y等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎2．如图22－X－1，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交直线l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交直线l1，l2，l3于点D，E，F.若DE＝3，EF＝6，AB＝4，则AC的长是(　　)‎ A．6 B．8 C．9 D．12‎ 图22－X－1‎ ‎3．如图22－X－2，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E是OD的中点，连接AE并延长交CD于点F，则DF∶FC等于(　　)‎ A．1∶4 B．1∶3 C．1∶2 D．1∶1‎ ‎　　　‎ 图22－X－2‎ ‎4．如图22－X－3，在△ABC中，AM∶MD＝4∶1，BD∶DC＝2∶3，求AE∶EC的值．‎ 图22－X－3‎ 类型之二　相似三角形的判定与性质 ‎5．如图22－X－4，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是(　　)‎ 图22－X－4‎ A．①和② B．②和③‎ C．①和③ D．②和④‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎6．如果两个相似三角形的面积比是1∶2，那么它们的周长比是(　　)‎ A．1∶2 B．1∶4 C．1∶ D．2∶1‎ ‎7．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：(1)＝；(2)＝；(3)∠A＝∠A′；(4)∠C＝∠C′.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有(　　)‎ A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 ‎8．如图22－X－5，在直角梯形ABCD中，AB＝7，AD＝2，BC＝3，若在线段AB上取一点P，使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，则这样的P点有(　　)‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎ ‎ 图22－X－5‎ ‎9．［2016·泰安］如图22－X－6，△ABC是边长为4的等边三角形，P为BC边上的任意一点(不与点B，C重合)，且∠APD＝60°，PD交AB于点D，设BP＝x，BD＝y，则y关于x的函数图象大致是(　　)‎ 图22－X－6‎ 图22－X－7‎ ‎10．［2016·宿州二模］在▱ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于点O，则S△MOD∶S△COB＝________．‎ ‎11．如图22－X－8，在矩形ABCD中，AB＝10 cm，AD＝20 cm，两只小虫P和Q分别从点A，B同时出发沿AB，BC向终点B，C方向前进，小虫P的速度为1 cm/s，小虫Q的速度为2 cm/s.它们同时出发多少秒时，以P，B，Q为顶点的三角形与以A，C，D为顶点的三角形相似？‎ 图22－X－8‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎12．如图22－X－9所示，先把一张矩形纸片ABCD对折，设折痕为MN，再把点B叠在折痕线上，得到△ABE，过点B折纸片使点A叠在直线AD上，得折痕PQ.‎ ‎(1)求证：△PBE∽△QAB.‎ ‎(2)你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由．‎ 图22－X－9‎ 类型之三　相似三角形的实际应用 ‎13．如图22－X－10，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去．当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3米，CA＝1米，则树的高度为(　　)‎ A．3米 B．4米 C．4.5米 D．6米 图22－X－10‎ ‎14．如图22－X－11，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R.如果QS＝60 m，ST＝120 m，QR＝80 m，则河的宽度PQ为(　　)‎ A．40 m B．60 m C．120 m D．180 m 图22－X－11‎ ‎15．如图22－X－12，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 小军在地面上合适的位置平放了一块平面镜(平面镜的高度忽略不计)，刚好在平面镜中的点C处看到旗杆顶部E，此时小军的站立点B与点C的水平距离为2 m，旗杆底部D与点C的水平距离为12 m．若小军的眼睛距离地面的高度为1.5 m(即AB＝1.5 m)，则旗杆的高度为________m.‎ ‎　　　‎ ‎ 图22－X－12‎ ‎16．如图22－X－13所示的示意图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行并使直角边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，且测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝25米，求旗杆AB的高度．‎ 图22－X－13‎ 类型之四　位似图形的性质及作法 ‎17．如图22－X－14，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是(　　)‎ A．(－2，3) B．(2，－3)‎ C．(3，－2)或(－2，3) D．(－2，3)或(2，－3)‎ 图22－X－14‎ ‎18．如图22－X－15所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，若点F的坐标为(－1，1)，点C的坐标为(－4，2)，则这两个正方形的位似中心的坐标是____________．‎ ‎　　　‎ 图22－X－15‎ ‎19．［2017·包河区二模］如图22－X－16，在边长为1个单位的小正方形组成的网格中，给出了格点四边形ABCD(顶点是网格线的交点)和直线l，按要求画图．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(1)作出四边形ABCD关于直线l成轴对称的四边形A′B′C′D′；‎ ‎(2)以B为位似中心，在点B的下方将四边形ABCD放大2倍得到四边形A1B1C1D1，画出四边形A1B1C1D1.‎ 图22－X－16‎ 类型之五　阅读理解型的相似问题 ‎20．如图22－X－17(a)，P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．‎ ‎(1)如果△ABC是锐角三角形，点P为△ABC的费马点，且∠ABC＝60°.‎ ‎①求证：△ABP∽△BCP；‎ ‎②若PA＝3，PC＝4，则PB＝________．‎ ‎(2)如图(b)，已知△ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外作△ABE和△ACD，△ABE和△ACD均为等边三角形，且CE和BD相交于点P.‎ ‎①求∠CPD的度数；‎ ‎②求证：点P为△ABC的费马点．‎ 图22－X－17‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎21．［2016·宁波］从三角形(不是等腰三角形的)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．‎ ‎(1)如图22－X－18①，在△ABC中，CD为∠ACB的平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线；‎ ‎(2)在△ABC中，若∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数；‎ ‎(3)如图22－X－18②，△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．‎ 图22－X－18‎ 类型之六　数学活动 ‎22．类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．‎ 原题：如图22－X－19①，在▱ABCD中，E是BC边的中点，F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G.若＝3，求的值．‎ ‎(1)尝试探究 在图22－X－19①中，过点E作EH∥AB，交BG于点H，则AB和EH的数量关系是________，CG和EH的数量关系是________，的值是________．‎ ‎(2)类比延伸 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 如图22－X－19②，在原题的条件下，若＝m(m＞0)，则的值是____________(用含m的代数式表示)，试写出解答过程．‎ ‎(3)拓展迁移 如图22－X－19③，四边形ABCD中，DC∥AB，E是BC延长线上的一点，AE和BD相交于点F.‎ 若＝a，＝b(a＞0，b＞0)，则的值是________(用含a，b的代数式表示)．‎ ‎ ‎ 图22－X－19‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎1．D　[解析] ∵x∶(x＋y)＝3∶5，∴5x＝3x＋3y，整理，得2x＝3y，∴x∶y＝3∶2.‎ ‎2．D　[解析] ∵l1∥l2∥l3，‎ ‎∴＝，即＝.‎ ‎∴BC＝8，‎ ‎∴AC＝AB＋BC＝12.‎ 故选D.‎ ‎3．C　[解析] 在▱ABCD中，AB∥CD，则△DFE∽△BAE，∴＝.‎ ‎∵O为对角线的交点，∴DO＝BO.‎ 又∵E为OD的中点，∴DE＝BD，‎ 则DE∶BE＝1∶3，∴DF∶AB＝1∶3.‎ ‎∵CD＝AB，∴DF∶CD＝1∶3，‎ ‎∴DF∶FC＝1∶2.‎ ‎4．解：如图，过点D作DF∥ BE交AC于点F，则EF∶FC＝BD∶DC，AM∶MD＝AE∶EF.‎ ‎∵BD∶DC＝2∶3，‎ ‎∴EF∶FC＝2∶3.‎ 设EF＝2a，则CF＝3a.‎ ‎∵AM∶MD＝4∶1，∴AE∶EF＝4∶1，‎ ‎∴AE＝8a，∴AE∶EC＝8a∶5a＝8∶5.‎ ‎5．C ‎6．C　[解析] ∵两个相似三角形的面积比是1∶2，‎ ‎∴这两个相似三角形的相似比是1∶，‎ ‎∴它们的周长比是1∶.‎ 故选C.‎ ‎7．C　[解析] 共有3组，其组合分别是(1)和(2)，根据是三边成比例的两个三角形相似；‎ ‎(2)和(4)，根据是两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；‎ ‎(3)和(4)，根据是两角分别相等的两个三角形相似．‎ ‎8．C　[解析] ①当△DAP∽△CBP时，AD∶AP＝BC∶BP，即＝，解得AP＝；‎ ‎②当△DAP∽△PBC时，AD∶AP＝BP∶BC，即＝，解得AP＝1或AP＝6.‎ 综上可得，这样的点P有3个．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎9．C　[解析] ∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠B＝∠C＝60°.‎ 又∵∠BPD＋∠APD＝∠C＋∠CAP，∠APD＝60°，‎ ‎∴∠BPD＝∠CAP，∴△BPD∽△CAP，‎ ‎∴BP∶AC＝BD∶PC.‎ ‎∵△ABC的边长为4，‎ BP＝x，BD＝y，‎ ‎∴x∶4＝y∶(4－x)，‎ ‎∴y＝－x2＋x.‎ 故选C.‎ ‎10．4∶9或1∶9　[解析] 已知M，N是AD边上的三等分点．‎ ‎(1)当＝时，如图①所示．‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴△MOD∽△COB，‎ ‎∴S△MOD∶S△COB＝()2＝4∶9.‎ ‎(2)当＝时，如图②所示．‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴△MOD∽△COB，‎ ‎∴S△MOD∶S△COB＝()2＝1∶9.‎ 故答案为4∶9或1∶9.‎ ‎11．解：设它们同时出发t s时，以P，B，Q为顶点的三角形与以A，C，D为顶点的三角形相似，则AP＝t cm，BQ＝2t cm，PB＝(10－t)cm.‎ ‎(1)当△PBQ∽△ADC时，有＝，‎ 即＝，解得t＝2；‎ ‎(2)当△PBQ∽△CDA时，有＝，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 即＝，解得t＝5.‎ 综上可得，当它们同时出发2 s或5 s时，以P，B，Q为顶点的三角形与以A，C，D为顶点的三角形相似．‎ ‎12．解：(1)证明：∵∠PBE＋∠ABQ＝180°－90°＝90°，∠PBE＋∠PEB＝90°，‎ ‎∴∠ABQ＝∠PEB.‎ 又∵∠BPE＝∠AQB＝90°，‎ ‎∴△PBE∽△QAB.‎ ‎(2)相似．‎ 证明：∵△PBE∽△QAB，∴＝.‎ 由折叠可知BQ＝PB，‎ ‎∴＝，即＝.‎ 又∵∠ABE＝∠BPE＝90°，‎ ‎∴△PBE∽△BAE.‎ ‎13．D ‎14．C　[解析] ∵RQ⊥PS，TS⊥PS，‎ ‎∴RQ∥TS，‎ ‎∴△PQR∽△PST，‎ ‎∴＝，即＝，‎ ‎∴PQ＝120(m)．‎ 故选C.‎ ‎15．9　[解析] 由题意可得AB＝1.5 m，BC＝2 m，DC＝12 m.‎ 易得△ABC∽△EDC，‎ 则＝，即＝，解得ED＝9.‎ 故答案为9.‎ ‎16．解：∵∠ADC＝∠FDE，∠ACD＝∠FED＝90°，∴△ACD∽△FED，‎ ‎∴＝，即＝，‎ 解得AC＝12.5.‎ ‎∵AB⊥BG，DG⊥BG，DC⊥AB，‎ ‎∴∠ABG＝∠BGD＝∠DCB＝90°，‎ ‎∴四边形BGDC是矩形，‎ ‎∴BC＝DG＝1.5，‎ ‎∴AB＝AC＋BC＝12.5＋1.5＝14(米)．‎ 答：旗杆AB的高度是14米．‎ ‎17．D　[解析] ∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC.∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，‎ ‎∴矩形OA′B′C′与矩形OABC的相似比为1∶2.∵点B的坐标为(－4，6)，∴点B′的坐标是(－2，3)或(2，－3)．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故选D.‎ ‎18．(2，0)或(－，)　[解析] ①当两个位似图形在位似中心同旁时，位似中心就是CF与x轴的交点．设直线CF所对应的函数表达式为y＝kx＋b，将C(－4，2)，F(－1，1)代入，‎ 得解得 即y＝－x＋.令y＝0，得x＝2，‎ ‎∴点O′的坐标是(2，0)．‎ ‎②当位似中心点O′在两个正方形之间时，可求得直线OC所对应的函数表达式为y＝－x，直线DE所对应的函数表达式为y＝x＋1.联立得解得即点O′的坐标是(－，)．‎ 综上可知，点O′的坐标为(2，0)或(－，)．‎ ‎19．解：(1)如图，四边形A′B′C′D′即为所求．‎ ‎(2)如图，四边形A1B1C1D1即为所求．‎ ‎20．解：(1)①证明：∵∠PAB＋∠PBA＝180°－∠APB＝60°，∠PBC＋∠PBA＝∠ABC＝60°，‎ ‎∴∠PAB＝∠PBC.‎ 又∵∠APB＝∠BPC＝120°，‎ ‎∴△ABP∽△BCP.‎ ‎②∵△ABP∽△BCP，∴＝，‎ ‎∴PB2＝PA·PC＝12，∴PB＝2 .‎ ‎(2)①如图，∵△ABE与△ACD都为等边三角形，‎ ‎∴BAE＝∠CAD＝60°，AE＝AB，AC＝AD，‎ ‎∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 即∠EAC＝∠BAD.‎ 在△ACE与△ADB中，∵ ‎∴△ACE≌△ADB，∴∠1＝∠2.‎ ‎∵∠3＝∠4，∴∠CPD＝∠5＝60°.‎ ‎②证明：如图，连接AP，设AC与BD交于点F.‎ 易证△ADF∽△PCF，∴＝.‎ 又∵∠AFP＝∠CFD，‎ ‎∴△AFP∽△DFC，‎ ‎∴∠APF＝∠DCF ＝60°.‎ ‎∴∠APC＝∠CPD＋∠APF＝60°＋60°＝120°.同理可得∠BPA＝120°，‎ ‎∴∠BPC＝360°－∠BPA－∠APC＝120°，‎ ‎∴点P为△ABC的费马点．‎ ‎21．解：(1)证明：如图①.‎ ‎∵∠A＝40°，∠B＝60°，‎ ‎∴∠ACB＝80°，‎ ‎∴△ABC不是等腰三角形．‎ ‎∵CD平分∠ACB，‎ ‎∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°，‎ 从而∠ACD＝∠A＝40°，‎ ‎∴△ACD为等腰三角形．‎ ‎∵∠BCD＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，‎ ‎∴△BCD∽△BAC，‎ ‎∴CD是△ABC的完美分割线．‎ ‎(2)(i)当AD＝CD时，如图①，∠ACD＝∠A＝48°.‎ ‎∵△BDC∽△BCA，‎ ‎∴∠BCD＝∠A＝48°，‎ ‎∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝48°＋48°＝96°.‎ ‎(ii)当AD＝AC时，如图②，∠ACD＝∠ADC＝＝66°.‎ ‎∵△BDC∽△BCA，‎ ‎∴∠BCD＝∠A＝48°，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝66°＋48°＝114°.‎ ‎(iii)当AC＝CD时，如图③，∠ADC＝∠A＝48°.‎ ‎∵△BDC∽△BCA，‎ ‎∴∠BCD＝∠A＝48°.‎ ‎∵∠ADC应大于∠BCD，∴此种情况不存在．‎ 综上可知∠ACB的度数为96°或114°.‎ ‎(3)由已知得AC＝AD＝2.‎ ‎∵△BCD∽△BAC，‎ ‎∴＝.设BD＝x，从而＝，‎ 即()2＝x(x＋2)．‎ ‎∵x>0，∴x＝－1，即BD＝－1.‎ ‎∵△BCD∽△BAC，∴＝，‎ 即＝，‎ ‎∴CD＝×2＝－.‎ ‎22．[解析] (1)体现了“特殊”的情形，＝3是一个确定的数值．如图a，过点E作AB的平行线，构造相似三角形，利用相似三角形和中位线的性质，分别将各相关线段统一用EH来表示，即可求得比值．‎ ‎(2)体现了“一般”的情形，＝m不再是一个确定的数值，但(1)问中的方法仍适用，如图b所示．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(3)体现了“类比”与“转化”的情形，将(1)(2)问中的方法推广转化到梯形中，如图c所示．‎ 解：(1)AB＝3EH　CG＝2EH　　‎ ‎(2)　过点E作EH∥AB，交BG于点H，则△ABF∽EHF，∴＝＝m，则AB＝m·EH，CD＝m·EH.易得EH为△BCG的中位线，则CG＝2EH.∴＝＝.‎ ‎(3)ab 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费