高三数学试卷(理科)
考生注意:
1.本试卷分第I卷(选择题)和第"卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟。
2.请将各题答案填在试卷后面的答题卡上.
3.本试卷主要考试内容:集合与常用逻辑用语、函数与导数、不等式、三角函数与解三角形、平面向量,数列。
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.
1.设集合A= {x x2 —5x—141,x∈N},则A∩B的元素的个数为
A.3 B.4 C.5 D.6
2.下列函数中,既不是奇函数也不是偶函数的是
A.y=lnx B. y=x C. y=-x3 D.y=ex+e-x
3.设向量均为单位向量且互相垂直,则(a十2b) • (a—b)等于
A.2 B.0 C. 1 D.-1
4.在△ABC 中,a=9,b=3; A=1200 ,则 sin (—B)等于
A. B. - C. D.-
5.若cos=-,sin2>0,则tan的值为
A. - B. C.- D.
6.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a3=2a4=2,则S6等于
A.31 B. C. D.
7. 曲线f(x)= + 在(1,a + 1)处的切线与直线3x十y = 0垂直,
则a等于
A. - B. C. D.
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8. 若x,y满足约束条件 则目标函数z= —7x+y的最大值为
A.-5 B.-8 C.-17 D.-19
9.已知函数f(x) =Asin()(>0, 2”是“- <tan2<0”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
12.若直线y=a与函数y=
A. {} B.(0, ) C.( ,0 ) D. ( ,0)∪ {}
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上。
13. 设3x—1,x,4x是等差数列{a}的前三项,则a4 = ▲ 。
14.设向量AB=( —1,一3),BC=(2sin,2),若 A、B、C 三点共线,则 cos 2= ▲ 。
15.设f(x)= 若f(3) = 10,则实数a的取值范围为 ▲ 。
16.游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路。线路1是从A沿直线步行到C,线路2是先从A沿直线步行到景点B处,然后从B沿直线步行到C。
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现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行,甲的速度是乙的速度的倍,甲走线路2,乙走线路1,最后他们同时到达 C 处。经测量,AB = 1040 m,BC=500 m,则 sin∠BAC 等于 ▲ 。
三、解答题:本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分10分)
设命题p:存在x0 (一2,十∞,使得6+x0=5。
命题q:对任意x€ (0,十∞),(十x)( 十x)≥9恒成立。
(1)写出命题p的否定;
(2)判断命题非p,p或q,p且q.的真假,并说明理由。
18.(本小题满分12分)
已知Sn为等差数列的前{n}项和,且如a4=19,S7=2a9 +55。
(1)求数列{n}的通项公式;
⑵设ln bn2,求证:数列{bn}为等比数列,并求{n}的前n项和Tn。
19.(本小题满分12分)
在锐角△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且acosB+bcosA=sin C.
⑴求cos C
(2)若a=6, △ABC的面积为8 ,求c.
20.(本小题满分12分)
设函数f(x)=4sin((+)(>0)的最小正周期为,设向量a=(-1,f(x))(f(-x,1), g(x)=a·b.
(1)求函数f(x)的递增区间;
(2)求函数g(x)在区间[,)]上的最大值和最小值;
(3)若x(02015],求满足a丄b的实数x的个数.
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=k(x+1)2 —ln(x+ 1)(kR)。
(1)当k=时,求函数f(x)的单调区间与极值;
(2)若x轴是曲线y = f(x)的一条切线,求实数k的值.
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22.(本小题满分12分)
设函数 f(x) =ex+
(1)求证:函数f(x)的唯一零点 x0 (-,0).
(2)求证:对任意入>0,存在