东山二中2015届高三期末试卷——数学文科
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合，则= （ ）
A． B． C． D．
2、复数为纯虚数的充要条件是（ ）
A．或 B． C． D．或
3、已知命题为 （ ）
A． B．
C． D．
4、函数的部分图象大致是 （ ）
5、设为三条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A.若则 B.若则
C.若则 D. 若则
6、若直线（）过点，则该直线在轴，轴上的截距之和的最小值为（ ）
A． 1 B．2 C．4 D． 8
7、已知，若垂直，则=（ ）
A．1 B． 3 C．2 D．4
8、定义在R上的奇函数满足：，则=（ ）
A． B． C． D．-3
9、如果函数的图象关于点成中心对称，且，则函数为 （ ）
A.奇函数且在上单调递增 B.偶函数且在上单调递增
C.偶函数且在上单调递减 D.奇函数且在上单调递减
10、已知数列满足是函数的两个零点，则等于 （ ）
A．24 B．32 C．48 D．64
11、函数的图象如右图所示，下列说法正确的是（ ）
①函数满足
②函数满足
③函数满足
④函数满足
A.①③ B.②④ C.①② D.③④
12、已知函数在R上单调递增，设，若有＞，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在横线上。
13、给出下面的程序框图，那么输出的数是 。
14、已知x，y满足不等式组，则目标函数的最大值为 。
15、如图，F1、F2为双曲线的焦点，A、B为双曲线的顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于M、N两点，且满足，则该双曲线的离心率为 。
16、有下列四个命题：
①的夹角为锐角的充要条件是
②，；
③，函数都恒过定点
④方程表示圆的充要条件是
其中正确命题的序号是 。（将正确命题的序号都填上）
三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本题满分12分）设是公差大于零的等差数列，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）设是以1为首项，以为公比的等比数列，求数列的前项和
18P
F
D
C
B
A
.（本题满分12分）在四棱锥中，，， ,平面，．
(Ⅰ) 求证：平面；
(Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）求.
19．（本题满分12分）
（Ⅰ）一个骰子投掷2次，得到的点数分别为a，b，求直线y=a-b与函数图象所有交点中相邻两个交点的距离都相等的概率．
（Ⅱ）若a是从区间[0，6]上任取一个数，b是从区间[0，6]上任取一个数，求直线y=a-
b在函数图象上方的概率．
20．（本小题满分12分）将函数的图象向右平移
后得到图象，已知的部分图象如右图所示，该图象与轴相交于点，与轴相交于点、，点为最高点，且 ．
（Ⅰ）求函数的解析式，并判断是否是的一个对称中心；
（Ⅱ）在中，、、分别是角、、
的对边，,且，求的最大值．
21． （本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，A为上顶点，AF1交椭圆E于另一点B，且的周长为8，点F2到直线AB的距离为2.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）求过D（1，0）作椭圆E的两条互相垂直的弦，M、N分别为两弦的中点，求证：直线MN经过x轴上的定点，并求出定点的坐标。
22．（本小题满分14分）已知函数在点的切线方程为.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）设，求证：在上恒成立；
（Ⅲ）已知，求证：
高三数学文科试卷参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
A
C
C
C
B
A
D
D
C
A
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．2450 14．7 15． 16．②③
17.（满分12分）解：（1）设的公差为，则
解得或（舍）……5分
所以 …………6分
（2）因为首项为1,公比为3，从而 …………8分
所以
故
………12分
18、D
P
F
A
B
E
C
解：(Ⅰ)取的中点为，连接，
∵∴为的中位线，
即∥且．……………2分
又∵∥，, ∴∥且，
∴四边形为平行四边形,∴∥. …………3分
又∵平面．平面
∴∥平面．……………4分
(Ⅱ）∵，为的中点，∴ ．…………5分
又平面,∥,∴平面,………6分
,又,∴平面.……………7分
由(Ⅰ)知，∥,
∴．…………8分
（Ⅲ）平面平面,
平面平面且交线为…………9分
又平面是四棱锥的高, ………10分
………12分
19、解：（Ⅰ）基本事件共36个：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）． ……………………… 3分
其中括号内第1个数表示a的取值，第2个数表示b的取值．
记“直线y=a-b与函数图象所有交点中相邻两个交点的距离都相等”为事件A，则A={(a，b)| a-b=1或a-b=0或a-b=-1，1≤a≤6，1≤b≤6，a，b∈N}
∴事件A包含16个基本事件：
（2，1），（3，2），（4，3），（5，4），（6，5），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），（5，6）． …………………… 5分
∴所求事件的概率为． …………………………………………… 6分
（Ⅱ）记“直线y=a-b在函数图象上方”为事件B，试验全部结果构成的区域为………………… 7分
事件B的区域为，如图阴影部分所示： ………………………… 10分
∴所求事件的概率为．… 12分
O
a
b
a-b=11
-1
6
6
1
5
21． 解：（I）…2分
设，因为A（0，b），∴直线AB的方程为，
∴点F2到直线AB的距离 …………4分
…………9分
同理
取y=0，得为定值。
与x轴交于定点，定点坐标 …………12分
22、解：（Ⅰ）将代入切线方程得 ∴，
化简得 …2分
由题意，切线的斜率为，即
解得：.
∴ . ………………4分
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