2015届东山二中高三（上）理科数学期末考试卷
班级 座号 姓名
一、选择题：（本大题共10小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共50分）
1、设复数满足，则 =( )
A. B. C. D.
2、设集合P＝{|}，则集合P的所有子集个数是( )
A.2 B.3 C.7 D.8
3、下列结论正确的是( )
A.若向量，则存在唯一的实数使得
B.已知向量为非零向量，则“的夹角为钝角”的充要条件是“＜0”
C.命题：若，则或的逆否命题为：若且，则
D.若命题，则
4、 设随机变量服从正态分布，若，
则实数等于( )
A． B． C．5 D．3
5、等比数列的前n项和为,，则=（ ）
A.27 B.81 C.243 D.729
6、设函数的图像关于直线对称,它的周期是，则（ ）
A.的图象过点
B.的一个对称中心是
C.在上是减函数
D.将的图象向右平移个单位得到函数的图象
7、图一是某高校学生身高的条形统计图，从左到右表示学生人数依次记为A1、A2、…A10（如A2表示身高在内的人数）。图二是统计图一中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。现要统计身高在内的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填的条件及输出的值分别是（ ）
A． B． C． D．
8、如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变, 则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为( )
A． B．
C． D．
9、已知椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，e1，e2又分别是两曲线的离心率，若PF1PF2，
则的最小值为( )
A. B. C. 4 D.9
10、已知都是定义在上的函数，，，且 ，且，．若数列的前项和大于，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．5
二、填空题：(本大题共5小题，每小题4分，共20分)
11、设二项式的展开式中常数项为，则＝ ．
12、平面向量与的夹角为60°，=(2,0)，||=1，则|+2|＝
13、记集合和集合表示的平面区域分别为，若在区域内任取一点，则点落在区域的概率为 .
14、 设，则函数的最大值为 .
15、已知两个正数，可按规则扩充为一个新数c，在三数中取
两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个数
称为一次操作．若，经过6次操作后扩充所得的数为
（m，n为正整数），则的值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16、（本小题满分13分）
已知,其中,,.
（1）求的最小正周期和单调递减区间；
（2）在中,角所对的边分别为,, , 且向量与共线，求边长和的值.
17、（本小题满分13分）
空气质量指数（简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站．下表是某网站公布的广东省内21个城市在2014年12月份某时刻实时监测到的数据：
城市
AQI数值
城市
AQI数值
城市
AQI数值
城市
AQI数值
城市
AQI数值
城市
AQI数值
城市
AQI数值
广州
118
东莞
137
中山
95
江门
78
云浮
76
茂名
107
揭阳
80
深圳
94
珠海
95
湛江
75
潮州
94
河源
124
肇庆
48
清远
47
佛山
160
惠州
113
汕头
88
汕尾
74
阳江
112
韶关
68
梅州
84
（1）请根据上表中的数据，完成下列表格：
空气质量
优质
良好
轻度污染
中度污染
AQI值范围
[0,50)
[50，100）
[100,150)
[150,200)
城市个数
（2）统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取个城市，省环保部门再从中随机选取个城市组织专家进行调研，记省环保部门“选到空气质量“良好”的城市个数为”，求的分布列和数学期望．
18、（本小题满分13分）
如图, 的外接圆的半径为, 所在的平面, , ,
, 且,.
（1）求证: 平面ADC平面BCDE.
（2）试问线段DE上是否存在点M, 使得直线AM与平面ACD所成角的正弦值为？
若存在,确定点M的位置, 若不存在, 请说明.
19、（本小题满分13分）
已知x∈[0，1]，函数.
（1）求函数f（x）的单调区间和值域；
（2）设a ≤-1，若，总存在，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范围.
20、（本小题满分14分）
已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若点为抛物线的准线上的任意一点，过点作抛物线的切线与，切点
分别为，求证：直线恒过某一定点；
(Ⅲ)分析(Ⅱ)的条件和结论，反思其解题过程，再对命题(Ⅱ)进行变式和推广．请写出一个你发现的真命题，不要求证明（说明：本小题将根据所给出的命题的正确性和一般性酌情给分）．
21、（本小题满分14分）
本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14
分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，在答题卡上把所选题号填入括号中.
（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵，绕原点逆时针旋转的变换所对应的矩阵为．
（Ⅰ）求矩阵；
（Ⅱ）若曲线：在矩阵对应变换作用下得到曲线，求曲线的方程．
（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程是（其中t为参数），
圆c的极坐标方程为，
（Ⅰ）将圆C的极坐标方程和直线l的参数方程转化为普通方程。
（Ⅱ）过直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值
（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲
设函数f(x)=|x－4|+,
（Ⅰ）求f(x)的最小值m
（Ⅱ）当 (a,b,c∈R)时,求的最小值.
2015届东山二中数学理期末参考答案：
CDCA CBCD BA
11、， 12、2, 13、, 14、, 15、 21,
15、【解析】因为p＞q＞0，所以第一次得：c1=pq+p+q=（q+1）（p+1）-1，因为c1＞p＞q，所以第二次得：c2=（c1+1）（p+1）-1=（pq+p+q）p+p+（pq+p+q）=（p+1）2（q+1）-1，
所得新数大于任意旧数，所以第三次可得c3=（c2+1）（c1+1）-1=（p+1）3（q+1）2-1，
第四次可得：c4=（c3+1）（c2+1）-1=（p+1）5（q+1）3-1，
故经过6次扩充，所得数为：（q+1）8（p+1）13-1，
因为经过6次操作后扩充所得的数为（q+1）m（p+1）n-1（m，n为正整数），
所以m=8，n=13，所以m+n=21．
16、解：(1) 由题意知.
的最小正周期 ………3分
在上单调递减，
令，得
的单调递减区间 ………6分
(2)，,又，即 ………9分
，由余弦定理得=7.
因为向量与共线，所以，
由正弦定理得. . ………13分
17、解:（1）根据数据，完成表格如下：
空气质量
优质
良好
轻度污染
中度污染
AQI值范围
[0,50)
[50，100）
[100,150)
[150,200)
城市频数
2
12
6
1
…………………………………3分
（2）按分层抽样的方法，
从“良好”类城市中抽取个，
从“轻度污染”类城市中抽取个， ……………………………6分
所以抽出的“良好”类城市为个，抽出的“轻度污染”类城市为个．
根据题意的所有可能取值为：． ……………………………7分
, ，．………11分
的分布列为：
所以． ………………………………………………12分
答：的数学期望为个． …………………………………………………13分
18、解（1）∵CD ⊥平面ABC，BE//CD
∴ BE⊥平面ABC，∴BE⊥AB
∵BE=1, ∴ ，
从而
∵⊙的半径为，∴AB是直径，∴AC⊥BC
又∵CD ⊥平面ABC，∴CD⊥BC，故BC⊥平面ACD
平面BCDE，∴平面ADC平面BCDE ………6分
（2）方法1：
假设点M存在，过点M作MN⊥CD于N，连结AN，
作MF⊥CB于F，连结AF
∵平面ADC平面BCDE，
∴MN⊥平面ACD，∴∠MAN为MA与平面ACD所成的角
设MN=x，计算易得，DN=，MF=
故
解得：（舍去） ，
故，从而满足条件的点存在，且
方法2：
建立如图所示空间直角坐标系C—xyz，则：A（4，0，0），B（0，2，0），D（0，0，4），E（0，2，1），O（0，0，0），则 ………7分
易知平面ABC的法向量为，假设M点存在，设，则， 再设，
即，从而 …10分
设直线AM与平面ACD所成的角为，则：
解得， 其中应舍去，而故满足条件的点M
存在，且点M的坐标为 ………13分
19、解:（Ⅰ）f'（x）=2x-，令f'（x）=0，解得：，x=-1（舍去）…2分
列表：
x
0
（0，）
（，1）
1
f '（x）
-
0
+
f（x）
ln2
↘
↗
1-ln
可知f（x）的单调减区间是[0，]，增区间是[，1]；………4分
因为
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