2018年九年级数学上第2章一元二次方程2.4一元二次方程根与系数的关系作业新版湘教版.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎*2.4　一元二次方程根与系数的关系 一、选择题 ‎1．2017·怀化若x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，则x1·x2的值是(　　)‎ A．2 B．－‎2 C．4 D．－3‎ ‎2．2017·济南关于x的方程x2＋5x＋m＝0的一个根为－2，则另一个根是(　　)‎ A．－6 B．－‎3 C．3 D．6‎ ‎3．已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程可以是(　　)‎ A．x2－7x＋12＝0 B．x2＋7x＋12＝0‎ C．x2＋7x－12＝0 D．x2－7x－12＝0‎ ‎4．设a，b是方程x2＋x－2020＝0的两个根，则a2＋‎2a＋b的值为(　　)‎ A．2017 B．2018 ‎ C．2019 D．2020‎ ‎5．已知关于x的一元二次方程x2－4x－m2＝0有两个实数根x1，x2，则m2(＋)的值是(　　)‎ A. B．－ C．4 D．－4‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎6．若实数a，b(a≠b)分别满足a2－‎7a＋2＝0，b2－7b＋2＝0，则＋的值为(　　)‎ A. B. C.或2 D.或2‎ 二、填空题 ‎7．写出一个以－1和－2为两根的一元二次方程(二次项系数为1)：______________．‎ ‎8．若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为________．‎ ‎9．若关于x的方程x2＋(a－1)x＋a2＝0的两根互为倒数，则a＝________．‎ ‎10．已知关于x的方程x2－6x＋k＝0的两根分别是x1，x2，且满足＋＝3，则k的值是________．‎ ‎11．等腰三角形的三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－8x＋n－2＝0的两根，则n的值为________．‎ 三、解答题 ‎12．已知关于x的方程3x2＋mx－8＝0有一个根是，求另一个根及m的值．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎13．2017·南充已知关于x的一元二次方程x2－(m－3)x－m＝0.‎ ‎(1)求证：方程有两个不相等的实数根；‎ ‎(2)如果方程的两实根为x1，x2，且x12＋x22－x1x2＝7，求m的值．‎ ‎14．已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2－(2k＋5)x＋k2＋5k＋6＝0的两个实数根，BC边的长为5.‎ ‎(1)当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？‎ ‎(2)当k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求出此时△ABC的周长．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎15．已知x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx＋k＋2＝0的两个实数根．是否存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎16．关于x的一元二次方程x2－(m－3)x－m2＝0.‎ ‎(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；‎ ‎(2)设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|＝|x2|－2，求m的值及方程的根．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎17阅读理解题阅读材料，解答问题：‎ 为了解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，如果我们把x2－1看作一个整体，然后设x2－1＝y…①，则原方程可化为y2－5y＋4＝0，易得y1＝1，y2＝4.‎ 当y＝1时，即x2－1＝1，解得x＝±；‎ 当y＝4时，即x2－1＝4，解得x＝±.‎ 综上可知，原方程的根为x1＝，x2＝－，x3＝，x4＝－.‎ 我们把以上这种解决问题的方法叫作换元法，这种方法通常体现了数学中复杂问题简单化、把未知化成已知的转化思想．请根据这种思想完成下列问题：‎ ‎(1)直接应用：解方程x4－x2－6＝0.‎ ‎(2)间接应用：已知实数m，n满足m2－‎7m＋2＝0，n2－7n＋2＝0，则＋的值是(　　)‎ A.　 B. C．2或 D．2或 ‎(3)拓展应用：已知实数x，y满足－＝3，y4＋y2＝3，求＋y4的值．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎1．[答案] D ‎2．[解析] B　设方程的另一个根为n，则有－2＋n＝－5，解得n＝－3.故选B.‎ ‎3．[答案] A ‎4．[解析] C　∵把x＝a代入方程x2＋x－2020＝0得a2＋a－2020＝0，∴a2＋a＝2020.∵a，b是方程x2＋x－2020＝0的两个根，∴a＋b＝－1，∴a2＋‎2a＋b＝a2＋a＋a＋b＝2020＋(－1)＝2019.故选C.‎ ‎5．[解析] D　∵x2－4x－m2＝0有两个实数根x1，x2，∴x1＋x2＝4，x1x2＝－m2，∴m2(＋)＝m2·＝m2·＝－4.‎ ‎6．[解析] A　由实数a，b分别满足a2－‎7a＋2＝0，b2－7b＋2＝0，且a≠b，得a，b是方程x2－7x＋2＝0的两个根，∴a＋b＝7，ab＝2，∴＋＝＝＝＝.故选A.‎ ‎7．[答案] (x＋1)(x＋2)＝0或x2＋3x＋2＝0‎ ‎[解析] 法一：将一元二次方程的两根x1＝－1和x2＝－2代入a(x－x1)(x－x2)＝0(a≠0)，得a[x－(－1)][x－(－2)]＝0(a≠0)，a(x＋1)(x＋2)＝0.∵方程的二次项系数为1，∴方程为(x＋1)(x＋2)＝0.展开，得x2＋3x＋2＝0.‎ 法二：两根之和为－1＋(－2)＝－3①，两根之积为－1×(－2)＝2②，根据根与系数的关系，方程为x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0③，将①②代入③，得x2＋3x＋2＝0.‎ ‎8．[答案] 16　‎ ‎[解析] 设矩形的长和宽分别为x1，x2，根据题意得x1＋x2＝8，所以矩形的周长为2(x1＋x2)＝16.‎ ‎9．[答案] －1‎ ‎[解析] ∵方程的两根互为倒数，‎ ‎∴两根的乘积为1，即a2＝1，‎ ‎∴a＝1或a＝－1.‎ 当a＝1时，原方程化为x2＋1＝0，方程无实数根，不符合题意，故舍去；‎ 当a＝－1时，原方程化为x2－2x＋1＝0，Δ＝0，符合题意．故a＝－1.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎10．[答案] 2　‎ ‎[解析] ∵x2－6x＋k＝0的两个根分别为x1，x2，∴x1＋x2＝6，x1x2＝k，＋＝＝＝3，解得k＝2.‎ ‎11．[答案] 18‎ ‎[解析] 当2为底边长时，则a＝b，a＋b＝8，∴a＝b＝4.∵4，4，2能围成三角形，∴n－2＝4×4，解得n＝18.当2为腰长时，a，b中有一个为2，则另一个为6.∵6，2，2不能围成三角形，∴此种情况不存在．‎ 故答案为18.‎ ‎12．解：设方程的另一个根为t.‎ 由题意，得＋t＝－，t＝－，‎ 解得t＝－4，m＝10.‎ 故另一个根为－4，m的值为10.‎ ‎13．解：(1)证明：∵x2－(m－3)x－m＝0，∴Δ＝b2－‎4ac＝[－(m－3)]2－4×1×(－m)＝m2－‎2m＋9＝(m－1)2＋8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．‎ ‎(2)∵x2－(m－3)x－m＝0，方程的两实根为x1，x2，∴x1＋x2＝m－3，x1x2＝－m.∵x12＋x22－x1x2＝7，∴(x1＋x2)2－3x1x2＝7，即(m－3)2－3×(－m)＝7，解得m1＝1，m2＝2，即m的值是1或2.‎ ‎14．解：(1)∵AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2－(2k＋5)x＋k2＋5k＋6＝0的两个实数根，∴AB＋AC＝2k＋5，AB·AC＝k2＋5k＋6，‎ ‎∴AB2＋AC2＝(AB＋AC)2－2AB·AC＝(2k＋5)2－2(k2＋5k＋6)＝4k2＋20k＋25－2k2－10k－12＝2k2＋10k＋13.‎ 若△ABC是以BC＝5为斜边的直角三角形，‎ 则AB2＋AC2＝BC2，即2k2＋10k＋13＝25，‎ ‎∴k2＋5k－6＝0，∴k1＝1，k2＝－6(不合题意，舍去)，‎ 即当k的值为1时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．‎ ‎(2)因为x2－(2k＋5)x＋k2＋5k＋6＝0，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 即(x－k－2)(x－k－3)＝0，‎ ‎∴x1＝k＋2，x2＝k＋3.‎ 若k＋2＝5，k＝3，则k＋3＝6，‎ 此时△ABC的周长＝5＋5＋6＝16；‎ 若k＋3＝5，k＝2，则k＋2＝4，‎ 此时△ABC的周长＝5＋5＋4＝14.‎ 综上，当k的值为3或2时，△ABC是等腰三角形．当k的值为3时，△ABC的周长为16；当k的值为2时，△ABC的周长为14.‎ ‎15．解：不存在．理由如下：根据题意得4k≠0，且Δ＝b2－‎4ac＝(－4k)2－4·4k(k＋2)≥0，∴k＜0.∵x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx＋k＋2＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝1，x1x2＝.∵(2x1－x2)(x1－2x2)＝－，∴2(x1＋x2)2－9x1x2＝－，即2×12－9·＝－，解得k＝，而k＜0，不合题意，舍去，∴不存在k的值，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立．‎ ‎16． 解：(1)证明：∵b2－‎4ac＝[－(m－3)]2＋‎4m2‎＝5＋＞0，‎ ‎∴无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根．‎ ‎(2)∵x1，x2是原方程的两根，‎ ‎∴x1＋x2＝m－3，x1x2＝－m2.‎ ‎∵|x1|＝|x2|－2，‎ ‎∴|x2|－|x1|＝2，‎ ‎∴(|x2|－|x1|)2＝22＝4，‎ 即x12－2|x1x2|＋x22＝4.‎ ‎∵方程有两个不相等的实数根，且x1x2＝－m2，‎ ‎∴x1·x2≤0，‎ ‎∴x12＋x22＋2x1x2＝4，‎ 即(x1＋x2)2＝4，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴x1＋x2＝±2.‎ ‎∵x1＋x2＝m－3，‎ ‎∴m－3＝±2，解得m＝5或m＝1.‎ 当m＝1时，原方程为x2＋2x－1＝0，‎ 解得x1＝－1＋，x2＝－1－.‎ 当m＝5时，原方程为x2－2x－25＝0，‎ 解得x3＝1＋，x4＝1－.‎ ‎17、解：(1)设x2＝y，‎ 则原方程可化为y2－y－6＝0.‎ 分解因式，得(y＋2)(y－3)＝0，‎ 解得y1＝－2，y2＝3.‎ 当y＝－2时，x2＝－2，此方程无实数根；‎ 当y＝3时，x2＝3，解得x1＝－，x2＝，‎ ‎∴原方程的根为x1＝－，x2＝.‎ ‎(2)当m＝n时，则原式＝1＋1＝2；‎ 当m≠n时，则m，n是方程x2－7x＋2＝0的两个不相等的实数根，‎ ‎∴m＋n＝7，mn＝2，‎ ‎∴原式＝＝＝.‎ 综上所述，原式的值是2或.故选D.‎ ‎(3)由题意知－＝(－)2＋(－)＝3，y4＋y2＝(y2)2＋y2＝3，‎ ‎∴－，y2是方程t2＋t＝3的根，‎ 解得t＝.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵－＜0，y2＞0，‎ ‎∴－＝，y2＝，‎ ‎∴＋y4＝(－)2＋(y2)2＝()2＋()2＝7.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费