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第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初中二年级组) - 1 - 第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题·练习用参考答案 （初中二年级组） 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 2018 1 24π 36 3 5 2 8 33 2 2304 14 二、解答下列各题（每小题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程） 9. 【答案】 A， B 两队最近时的距离是16 10 5 千米． 【解答】如图，以 B 队初始位置为原点，正东、正北方向为 x 轴和 y 轴的正 方向，建立平面直角坐标系， (0,0)B ， ( 8,8)A  ．不妨 设 队的速度为 1，那么 A队的速度为 2 ，经过时间t 后， 队所在位置是 1 22( , )22B t t ， 队所在位置是 1( 8 2 ,8)At ，于是此时两队的距离 d 满足 2 2 2 222( 8 2 ) (8 ) 5 16 2 12822d t t t t t         ，当 82 5t  时， 取到最 小值 512 16 10 55 千米． 10. 【答案】 ,,x y z 一定都相等． 【证明】将原关系式变形，得 ( ) ( )xy y z z z x   ①， ( ) ( )yz z x x x y   ②， ( ) ( )zx x y y y z   ③． （1）当 ( )( )( ) 0x y y z z x    时，不妨设 xy ，由 ③得 0y  或者 yz ．若 ， 则 x y z；若 ，有 0x  ，代入①，得 0z  或者 0zx，即 0x y z   ． （2）当 ( )( )( ) 0x y y z z x    时，将①②③相乘得 ( 1) 0xyz xyz ，即 0xyz  或 1xyz  ．如果 ，不妨设 ，由（ 1）知 或者 zx ，矛盾！如果 1xyz  ， y x A1 B1 B A第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初中二年级组) - 2 - 不妨设 x y z≥ ≥ ，显然 0x  ．假设 xy ，考虑②式，有 ( ) 0x x y，又 1 0yzx ， 0zx，所以 ( ) 0yz z x．矛盾！所以 x y z． 证毕！ 11. 【证明】作 .BM AC M 于 因为△ ABC 中， AB BC ， =120ABC， 所以 , 30AM CM CAB ACB     ． 因此 2AB BM ． 由于 30ACB   ，所以 90ACD  ． 又由 3AE CE 和 AM CM 得： 3AM ME CE ， 即 3CM ME CE ． 即 ( ) 3ME CE ME CE   所以 22ME CE ，故 ME CE ． 在 Rt△ BME 与 Rt△ DCE 中， 因为 ME CE ， BEM DEC   ， 所以 Rt△ BME ≌Rt△ DCE ．因此 BM CD ． 由于 2AB BM （已证）， 所以 2AB CD ． 12. 【答案】 p 的值为 1，2，19，38． 【解答 1】 的值是 1，2，19，38． 做抽屉，每个抽屉内有差为 的两个数，或仅有一个数： 当 39p≥ 时, 有两类抽屉， 第一类，每个抽屉有 2 个非零自然数，差是 ：{76,76 }p ，{75,75 }p ，…， { 2,2}p  ，{ 1,1}p  ，个数是 76 p ； 第二类，每个抽屉仅有 1 个不大于 的非零自然数，但与 的和大于 76： {77 }p ，{78 }p ，…，{}p 个数是 76 2 (76 ) 2 76pp     ． 此时，抽屉总数是 个． 从每个抽屉各取一个数，因为 ，这些数中不 存在差是 的两个数． 当 38p≤ 时，做抽屉： {1, 1}p  ,{2, 2}p  ,{3, 3}p  ,{4, 4}p  …{ ,2 }pp, {2 1,3 1}pp,{2 2,3 2}pp,{2 3,3 3}pp,…{3 ,4 }pp, ……, 第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初中二年级组) - 3 - 76 76 76 762 1 1, 2 1 1 , 2 1 2, 2 1 2 , ,2 2 2 2p p p p p pp p p p                                                                        76 762 ,222p p ppp             ． ① 若 76 76 22pp  ，则抽屉到此为止，共有 38 个抽屉，从中任取 39 个，必有 2 个取自同一个有两个数的抽屉，差是 p ． 所以， 1,2,19,38p  ． ② 若 76 76 22pp  ，则还有抽屉： 76 762 1 , 2 2 , ,,{75},{76}22pppp                             ， 个数是 7676 2 2p p   ．得到抽屉的个数是： 76 76 76 76 76 7676 2 76 76 382 2 2 2 2 2p p p p pp p p p p p                                        其中， 76 76 76 2 2 2p p p         ，此时， 76 12p p   ≥ ，抽屉的个数≥39． 从其中 39 个抽屉各取 1 个数，不存在两个数的差是 ． 所以， 的值是 1, 2, 19, 38． 【解答 2】记 rkp76 ， pr 0 ，把 1 到 76 按照下面排成 p 行， kppp kpr kp kp pkrprr pkp pkp 2              2 1 )1(2 )1(222 )1(111 k 为偶数时，记 lk 2 （注,当 为偶数时，由于 76 是偶数， r 也是偶数）， 则前 r 行可以取 1l 个数，后 rp  行可以取l 个数，这 2382 76 2 rrrrkprlp  个数任意两个数的差不等于 p ． 为奇数时，记 12  lk （注,当 为奇数时，由于 76 是偶数， rp  也是偶 数），则前 行可以取 个数，后 行也可以取 1l 个数，这 2( 1) (2 1) 76( 1) 382 2 2 2 2 l p l p p kp p r p p rlp              个数任意两个数 的差不等于 ． 当 0r 时， 02 r 与 02  rp ，因此任取 38+1=39 个数时，任意两个数的差第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初中二年级组) - 4 - 不等于 p ． 当 0r 时， k 为奇数时，任取 238 rp  个数，任意两个数的差不等于 ． 当 且 为偶数，最多取 38 个数，任意两个数的差不等于 p ，任取 39 个 数，其中必有 2 个数的差是 ． 根据 19276 2  ，其有六个因子 76,38,19,4,2,1 ． 1p 时， 76k ，偶数． 2p 时， 38k ，偶数． 4p 时， 19k ，奇数． 19p 时， 4k ，偶数． 38p 时， 2k ，偶数． 76p 时， 1k ，奇数． 因此 38,19,2,1p 时满足要求． 三、解答下列各题（每题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程） 13. 【答案】点 A到直线CD 的距离是 1． 【解答】如图，线段CA绕点 逆时针旋转90 至 AF ，连接 EF ． 过点 作CD 的垂线，垂足为G ，即线段 AG 的长度为点 A到直线CD 的距离． 在 ABC△ 和 AEF△ 中， 1+ 3=90 45CAD      ， 2 3 90 45CAD         ， 所以 12   ． 又因为 AB AE ， AC AF ， 所以 ABC△ ≌ AEF△ ． 所以 EF BC ，且 90AEF B    ． 所以 180AEF DEA    ． 所以 D ， E ， F 三点共线． 在 ADF△ 和 ADC△ 中， 2 3 45DAF CAD         ， 又因为 AC AF ， AD AD ， 所以 ≌ ． 因为 AE ， AG 分别为全等三角形对应边 DF 和CD 上的高， 32 1 G F E D C BA第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初中二年级组) - 5 - 所以 1AG AE． 14. 【答案】 n的最小值是 17． 【解答】如右图，可以将棋盘上的方格分为两类，灰色 方格和白色方格． 由染色规则可知，两类方格的染色 互不影响，因此需要分别考虑． 首先考虑灰色方格．将只属于 1 个黑色方格的顶点数量 称为“边界顶点数”．由染色的规则可以知道，每染一个 方格，“边界顶点数”不会增加．将所有灰色方格都染黑，此时的“边界顶点数” 为 36．因此灰色方格中初始染为黑色的至少需要 9 个． 再考虑白色方格．将所有白色方格都染黑，此时的“边 界顶点数”为 32．因此白色方格中初始染为黑色的至少 需要 8 个． 初始染色方格数为 17 时，如右图所示，将蓝色和红色 方格作为初始的染黑方格，可以将整个棋盘染黑．