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第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初中一年级组) 总分 第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题（初中一年级组·练习用）‎ 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分）‎ ‎1. 点O 为线段 AB 上一点， ÐAOC = 10° ， ÐCOD = 50° ，‎ A O B 则 ÐBOD = 或 ．‎ ‎2.已知 m ＞0 ，且对任意整数 k，均为整数，则 m 的最大值为 ．‎ ‎3. [ x] 表示不超过 x 的最大整数，如[-1.3] = -2 ， [1.3] = 1 ．‎ 已知 ，则 a 的取值范围是 ．‎ ‎4. 使 2n +1 和11n +121都是平方数的最小正整数 n 为 ．‎ ‎5. 在3´ 3 的“九宫格”中填数，使每行每列及每条对角线上的 三数之和都相等．如图，有 3 个方格已经填的数分别为 3，‎ ‎10，2018，则“九宫格”中其余 6 个方格所填数之和等 于 ．‎ ‎6. 已知某三角形的三条高线长 a，b，c 为互不相等的整数，则 a + b + c 的最小值 为 ．‎ ‎7. 16 张卡片上分别写着 1~16 这 16 个自然数，把这 16 张卡片分成 4 组，使得 每组卡片张数一样，每组卡片上所写数的和相等，且每组有两张卡片上的数 的和为 17，共有 种分法．(说明：不考虑组的顺序，也不考虑组内数字的 顺序．例如将 1~16 分为四组后，保持各组内数字不变，只改变组的顺序或组内数字 的顺序，视为相同的分法．)‎ ‎ 8. a ，b ，c 是三个不同的非零整数，则的最小值为 ．‎ ‎ 第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初中一年级组)‎ 二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）‎ ‎9. 现有两种理财方式供王老师选择．方案一：购买一款分红产品，前三年每年 年初交 10 万元，第 6 年年初返 6 万元，以后每年处返1.5 万元；方案二：购 买一款年利率 5%，满一年计息的储蓄产品，第一年初存款 10 万元，接下来 两年每年年初追加本金 10 万元，并将之前的本息全部续存．请问哪个选择更 划算？请说明理由．（参考数据：1.054 + 1.053 + 1.052 =3.47563125 ）‎ ‎10. 如图，考古发现一块正多边形的瓷砖残片（如图），瓷砖上已不能找到完整 的一个“角”，考古专家判定 D ，E 两点是该正多边形相邻的两个顶点，C ， D 两个顶点之间隔有一个顶点． 经过测量 ÐCDE = 135° ， DE = 13 厘米．原 正多边形的周长是多少厘米？‎ ‎11. 一筐苹果，若分给全班同学每人 3 个，则还剩下 25 个；若全班同学一起吃， 其中 5 个同学每人每天吃 1 个，其他同学每人每天吃 2 个，则恰好用若干天 吃完．问筐里最多共有多少个苹果？‎ ‎12. 给定一个 5×5 方格网，规定如下操作：每次可以把某行（或列）‎ 中的连续 3 个小方格改变颜色（把白格变黑格，把黑格变白 格）．如果开始时所有 25 个小方格均为白色，请问：能否经 过 8 次这样的操作，使得 5×5 方格网恰好变为黑白相间（如图 所示），且任何一个小方格在前 4 次操作中至多变色 1 次？如 果能，请给出一种操作方案（直接画出第 4，5，6，7 次操作后的方格网颜色）； 如果不能，请给出证明．‎ 三、解答下列各题（每小题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程）‎ ‎13. 求证：不存在 3 个有理数的平方和等于 15．‎ ‎14. 如图，一个由 41 个小方格组成的棋盘．先将其中的任 意 8 个方格染黑， 然后按照以下规则继续染色：如果 某个方格至少与 2 个黑格都有恰好 1 个公共顶点，那么 就将这个方格染黑．这样操作下去能否将整个棋盘都染 成黑色？‎