第2课时 图形面积和动点几何问题
一、选择题
1．2017·兰州王叔叔从市场上买了一块长80 cm、宽70 cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图K－16－1，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为x cm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000 cm2的无盖长方体工具箱，根据题意列方程为( )
图K－16－1
A．(80－x)(70－x)＝3000
B．80×70－4x2＝3000
C．(80－2x)(70－2x)＝3000
D．80×70－4x2－(70＋80)x＝3000
2．已知边长为10米的正方形，要使它的面积扩大到原来的4倍，则它的边长应增加( )
A．4米 B．8米
C．10米 D．12米
3．如图K－16－2，将边长为2 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着
AD方向平移，得到△A′B′C′.若两个三角形重叠部分的面积为1 cm2，则它移动的距离AA′等于( )
图K－16－2
A．0.5 cm B．1 cm
C．1.5 cm D．2 cm
4．如图K－16－3，在△ABC中，AC＝50 cm，BC＝40 cm，∠C＝90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2 cm/s的速度匀速移动，同时另一点Q由点C开始以3 cm/s的速度沿着射线CB匀速移动，当△PCQ的面积等于300 cm2时，运动时间为( )
图K－16－3
A．5 s B．20 s
C．5 s或20 s D．不确定
二、填空题
5．如图K－16－4，用长度为32米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为16米)，围成一个面积为120平方米的长方形花圃．若设BC的长为x米，则根据条件能得到一个关于x的一元二次方程，该方程的一般形式为______________．
图K－16－4
6．我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题(如图K－16－5)，题目是：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．”
题意是：有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇长各是多少．(小知识：1丈＝10尺)，如果设水深为x尺，则芦苇长用含x的代数式可表示为(x＋1)尺，根据题意列方程为____________．
图K－16－5
7．如图K－16－6，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以 cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t s，则t＝________时，S1＝2S2.
图K－16－6
三、解答题
8．如图K－16－7(a)，要设计一幅宽20 cm、长30 cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3.如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？
分析：由横、竖彩条的宽度比为2∶3，可设每个横彩条的宽为2x cm，则每个竖彩条的宽为3x cm.为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图(b)的情况，得到矩形ABCD.
(1)如图(b)，用含x的代数式表示：
AB＝________cm，AD＝________cm，矩形ABCD的面积为__________________cm2；
(2)列出方程并完成本题解答．
图K－16－7
9.一幅长20 cm、宽12 cm的图案，如图K－16－8，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3∶2.设竖彩条的宽度为x cm，图案中三条彩条所占面积为y cm2.
(1)试用含有x的代数式表示y，并确定x的取值范围；
(2)若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．
图K－16－8
10．如图K－16－9，在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A(0，2)，C(6，0)作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D.点P从点O出发，以每秒个单位的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒，当t为何值时，△PQB为直角三角形？
图K－16－9
11.李明准备进行如下操作试验：把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？
(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2，你觉得他的想法正确吗？请说明理由．
12方案设计某小区计划在一块长100 m、宽60 m的矩形荒地上修建一个配绿化带的活动区，要求整体布局既是轴对称图形，又是中心对称图形，且绿化率不低于35%(绿化率＝×100%)．
(1)甲方案：如图K－16－10①所示(单位：m)，设计两条互相垂直，且宽度都为a m的十字活动区域，周边四块为绿化带(图中阴影部分)，若绿化面积为2100 m2，求a的值；
(2)乙方案：如图K－16－10②所示(单位：m)，场地正中央设计菱形绿化带(图中阴影部分)，周边为活动区域，请通过计算说明该方案是否符合要求．
图K－16－10
1．[解析] C 由题意可得(80－2x)(70－2x)＝3000.故选C.
2．[解析] C 由题意，可设边长增加x米，则增加后的面积为(10＋x)(10＋x)平方米，利用增加后的面积＝原来面积的4倍，列方程得(10＋x)2＝4×102，∴x1＝10，x2＝－30.∵x2＝－30不符合题意，舍去，∴x＝10.
3．[解析] B 设AC交A′B′于点H，∵∠A＝45°，∠AA′H＝90°，∴△A′HA是等腰直角三角形．设AA′＝x cm，则阴影部分的底A′H的长为x cm，高A′D＝(2－x)cm，∴x·(2－x)＝1，∴x1＝x2＝1，即AA′＝1 cm.
4．[解析] C 设运动时间为t s，则AP＝2t，CQ＝3t，∴PC＝50－2t.∵·PC·CQ＝300，∴·(50－2t)·3t＝300，解得t＝20或t＝5，∴运动时间为20 s或5 s时，△PCQ的面积等于300 cm2.故选C.
5．[答案] x2－32x＋240＝0
[解析] 依题意得：(32－x)x＝120，整理，得x2－32x＋240＝0.
6．[答案] x2＋52＝(x＋1)2
[解析] 设水深为x尺，则芦苇长可用含x的代数式表示为(x＋1)尺，根据题意列方程为x2＋52＝(x＋1)2.
7．[答案] 6
[解析] ∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm，AD为BC边上的高，∴AD＝BD＝CD＝8 cm.又∵AP＝t cm，则S1＝AP·BD＝×8 ×t＝8t，PD＝(8 －t)cm.∵PE∥BC，∴∠AEP＝∠C＝45°，∠APE＝∠ADC＝90°，∴∠PAE＝∠AEP＝45°，∴PE＝AP＝t cm，∴S2＝PD·PE＝(8 －t)·t.∵S1＝2S2，∴8t＝2(8 －t)·t，解得t＝6或t＝0(舍去)．故答案是6.
8．[解析] 读懂题中分析，利用已有的数量关系与面积公式列方程．
解：(1)(20－6x) (30－4x) (20－6x)(30－4x)
(2)根据题意，得
(20－6x)(30－4x)＝(1－)×20×30.
整理，得6x2－65x＋50＝0，
解方程，得x1＝，x2＝10(不合题意，舍去)，
则2x＝，3x＝.
答：每个横、竖彩条的宽度分别为 cm， cm.
9．解：(1)根据题意可知，横彩条的宽度为x cm，
∴解得0＜x＜8，
y＝20×x＋2×12·x－2×x·x＝－3x2＋54x，即y＝－3x2＋54x(0＜x＜8)．
(2)根据题意，得－3x2＋54x＝×20×12，
整理，得x2－18x＋32＝0，
解得x1＝2，x2＝16(舍去)，∴x＝3.
答：横彩条的宽度为3 cm，竖彩条的宽度为2 cm.
10．解：过点P作PG⊥OC于点G.在Rt△POG中，
∵∠POQ＝45°，∴∠OPG＝45°.
∵OP＝t，∴OG＝PG＝t，∴点P的坐标为(t，t)．
又∵Q(2t，0)，B(6，2)，
根据勾股定理可得PB2＝(6－t)2＋(2－t)2，BQ2＝(6－2t)2＋22，PQ2＝(2t－t)2＋t2＝2t2.
①若∠PQB＝90°，则PQ2＋BQ2＝PB2，即2t2＋[(6－2t)2＋22]＝(6－t)2＋(2－t)2，整理得4t2－8t＝0，解得t1＝0(舍去)，t2＝2.
②若∠PBQ＝90°，则PB2＋BQ2＝PQ2，
即[(6－t)2＋(2－t)2]＋[(6－2t)2＋22]＝2t2，
整理得t2－10t＋20＝0，解得t＝5±.
③若∠BPQ＝90°，则PB2＋PQ2＝BQ2，即(6－t)2＋(2－t)2＋2t2＝(6－2t)2＋22，
整理得8t＝0，解得t＝0(舍去)．
∴当t＝2或t＝5＋或t＝5－时，△PQB为直角三角形．
11．解：(1)设剪成的较短的铁丝长为x cm，则较长的铁丝长为(40－x)cm，
由题意，得＋＝58，
解得x1＝12，x2＝28，
当x＝12时，40－12＝28(cm)，
当x＝28时，40－28＝12(cm)＜28 cm(舍去)．
答：李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段．
(2)正确．理由：设剪成的较短的铁丝长为m cm，较长的铁丝长为(40－m)cm，由题意，得＋＝48，变形为m2－40m＋416＝0.∵Δ＝(－40)2－4×416＝－64＜0，∴原方程无实数根，∴这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2，即李明的想法正确．
12 解：(1)依题意有(100－a)×(60－a)×4＝2100，
解得a1＝30，a2＝130(不合题意，舍去)．
答：a的值是30.
(2)100－5×2＝100－10＝90(m)，
60－5×2＝60－10＝50(m)，
90×50÷2＝2250(m2)，
100×60＝6000(m2)，
×100%＝37.5%.
∵37.5%＞35%，
∴该方案符合要求．
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