3．1.2 成比例线段
一、选择题
1．下列各组线段，是成比例线段的是( )
A．3 cm，6 cm，7 cm，9 cm
B．2 cm，5 cm，0.6 dm，8 cm
C．3 cm，10 cm，1.8 dm，6 dm
D．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm
2．若线段c满足＝，且线段a＝4 cm，b＝9 cm，则线段c＝( )
A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
3．已知A，B两地的实际距离AB＝5 km，画在图上的距离A′B′＝2 cm，则图上的距离与实际距离的比是( )
A．2∶5 B．1∶2500
C．250000∶1 D．1∶250000
二、填空题
4．阅读下列材料：
如图K－18－1①，在线段AB上找一点C(AC＞BC)，若BC∶AC＝AC∶AB，则称点C为线段AB的黄金分割点，这时比值为≈0.618，人们把
称为黄金分割数．长期以来，很多人都认为黄金分割数是一个很特别的数，我国著名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．
我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图②，在数轴上，点O表示数0，点E表示数2，过点E作EF⊥OE，且EF＝OE，连接OF；以点F为圆心，EF为半径作弧，交OF于点H；再以点O为圆心，OH为半径作弧，交OE于点P，则点P就是线段OE的黄金分割点．
根据材料回答下列问题：
(1)线段OP的长为________，点P在数轴上表示的数为________；
(2)在(1)中计算线段OP长的依据是________.
图K－18－1
三、解答题
5．如图K－18－2，AB＝6 cm，AE＝3 cm，CE＝2 cm，且＝.
(1)求AD的长；
(2)DB，AB，CE，AC是不是比例线段？
图K－18－2
6探究性问题如图K－18－3，在△ABC中，点D在边AB上，且DB＝DC＝AC，已知∠ACE＝108°，BC＝2.
(1)求∠B的度数．
(2)我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金比.
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由．
②求AD的长．
③在直线AB或BC上是否存在点P(点A，B除外)，使△PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P，并简要说明画出点P的方法(不要求证明)；若不存在，请说明理由．
图K－18－3
1．[答案] C
2．[解析] A 将a＝4 cm，b＝9 cm代入＝，得c2＝ab＝4×9＝36，解得c＝－6(不合题意，舍去)或c＝6.故选A.
3．[解析] D ∵5 km＝500000 cm，∴比例尺＝2∶500000＝1∶250000.故选D.
4．[答案] (1)－1 －1 (2)勾股定理
[解析] (1)∵OE＝2，∴EF＝OE＝1.∵EF⊥OE，∴OF＝＝＝，由作法知，FH＝EF＝1，OP＝OH＝OF－FH＝－1，∴点P在数轴上表示的数为－1(2)在(1)中计算线段OP长时，首先根据勾股定理求得OF，再由OP＝OH＝OF－FH求得OP，故计算线段OP长的依据是勾股定理．
5．解：(1)∵＝，∴＝，
即＝，
解得AD＝3.6 (cm)．
(2)∵DB＝AB－AD＝6－3.6＝2.4(cm)，
AC＝AE＋CE＝5 cm，
∴＝＝，＝，∴＝，
∴DB，AB，CE，AC是比例线段．
6解：(1)∵BD＝DC＝AC，
∴∠B＝∠DCB，∠CDA＝∠A.
设∠B＝x，则∠DCB＝x，∠CDA＝∠A＝2x.
又∠ACE＝108°，
∴∠B＋∠A＝108°，
∴x＋2x＝108°，
∴x＝36°，即∠B＝36°.
(2)①图中有3个黄金三角形，即△BDC，△ADC，△BAC.
∵DB＝DC，∠B＝36°，∴△BDC是黄金三角形．
∵CD＝CA，∠ACD＝180°－∠ACE－∠DCB＝36°，
∴△ADC是黄金三角形．
∵∠ACE＝108°，
∴∠ACB＝72°.
又∵∠A＝∠CDA＝2∠B＝72°，
∴∠A＝∠ACB，
∴BA＝BC.
又∵∠B＝36°，∴△BAC是黄金三角形．
②∵△BAC是黄金三角形，
∴＝.
∵BC＝2，
∴AC＝－1.
∵BA＝BC＝2，BD＝AC＝－1，
∴AD＝BA－BD＝2－(－1)＝3－.
③存在，有三个符合条件的点P，即P1，P2，P3，如图．
ⅰ)以CD为底边的黄金三角形：作CD的垂直平分线与直线AB，BC分别交于点P1，P2.
ⅱ)以CD为腰的黄金三角形：以点C为圆心，CD为半径作弧与BC的交点为点P3.
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