沫若中学2017届高二上期数学第二次月考
第I卷（选择题）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
正视图
3
2
2
2
侧视图
俯视图
2
第1题
1．若某多面体的三视图(单位：cm)如图所
示,则此多面体的体积是（ ）
A. B.
C. D.
2．过点A(1，－2)且斜率为3的直线方程是( )
A． 3x－y＋1＝0 B．3x＋y－5＝0
C． 3x－y－5＝0 D．3x＋y－1＝0
3．已知一圆的圆心为点（2，-3），一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是（ ）
A． B．
C. D．
4． 对任意的实数，直线y=kx+1与圆的位置关系一定是
A．相离 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心
5．点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则该球的表面积为
A． B． C． D．
6．已知圆，从点发出的光线，经轴反射后恰好经过圆心，则入射光线的斜率为
A． B． C． D．
7．已知实数x、y满足约束条件则目标函数的最大值为
A．3 B．4 C． D．
8．若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为
10
A． B． C． D．
9．已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B为切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为
A．4 B．3 C．2 D．
10．如图所示，在棱长为1的正方体中, 是上一动点，则的最小值为
A． B． C． D．
11．若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是
A． B． C． D．
12．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段AC1上有两个动点E，F，且EF=．有下列四个结论： ①CE⊥BD； ②三棱锥E—BCF的体积为定值； ③△BEF在底面ABCD内的正投影是面积为定值的三角形； ④在平面ABCD内存在无数条与平面DEA1平行的直线，其中正确结论的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
A
B
C
D
P
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
E
F
A1
B1
C1
D1
（10题图） （ 12题图）
第II卷（非选择题）
10
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上）．
13．已知三条直线和交于一点，
则实数的值为 ▲▲▲ ．
14．如图，在棱长为1的正方体中，M、N
分别是的中点，则图中阴影部分在平面上的
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
N
M
投影的面积为 ▲▲▲ ．
15．圆心在直线上的圆C与轴交于两点，，圆C的方程为 ▲▲▲ ．
16．如图正方形的边长为，已知，将沿边折起，折起后点在平面上的射影为点，则翻折后的几何体中有如下描述： ①与所成角的正切值是；②∥；③的体积是；④平面⊥平面；
⑤直线与平面所成角为．
其中正确的有 ▲▲▲ ．（填写你认为正确的序号）
三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
17．（本小题满分12分）如图，在长方体
10
中，，，、分别为、的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面
18．（本小题满分12分）已知，圆C：，直线：.
(1) 当a为何值时，直线与圆C相切；
(2) 当直线与圆C相交于A、B两点，且时，求直线的方程.
19．（本小题满分12分）已知关于x，y的方程C:．
（1）当m为何值时，方程C表示圆．
（2）若圆C与直线l: x+2y-4=0相交于M，N两点，且MN=，求m的值．
20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=PC=2．E是PB的中点．
（1）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（2）求二面角P—AC—E的余弦值；
（3）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
21．（本小题满分12分）如图，圆：．
（Ⅰ）若圆与轴相切，求圆的方程；
（Ⅱ）已知，圆与轴相交于两点（点在点的左侧）．过点任作一条直线与圆：相交于两点．问：是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由．
22．（本小题满分10分）如图甲，⊙的直径，圆上两点在直径
10
的两侧，使， ．沿直径折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），为的中点．根据图乙解答下列各题：
（1）求点到平面的距离；
（2）在弧上是否存在一点，使得∥平面？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．
10
数学
参考答案
一、 选择题：
1. D 2. C 3. D 4. C 5. B 6. C 7. D 8. C 9. C 10. D 11. C 12. D
二、 填空题
13. -1 14. 错误！未找到引用源。 15. 16. ①④⑤
17.
（Ⅰ）证明：侧面，侧面， ，2分
在中，，则有，
，， ………………………5分
又平面． …………………………8分
（Ⅱ）证明：连、，连交于，
，，四边形是平行四边形，
……………12分
又平面，平面，
平面．
18. 解析：（1）证明：在矩形中，
∵平面平面，且平面平面
∴ 且平面
∴ 5分
（2）由（1）知：
∴是直线与平面所成的角，即
设 取，连接
∵是的中点 ∴
∴是异面直线与所成角或其补角
10
∵，，
在中，由余弦定理有：
∴ 异面直线与所成角的余弦值为． （用向量法也可） 12分
19. 解：将圆C的方程配方得标准方程为，则此圆的圆心为（0 , 4），半径为2.
(1) 若直线与圆C相切，则有. ………………………………………………2分
解得. ……………………………………………4分
(2) 解法一：过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，得
………6分
解得. …8分
（解法二：联立方程并消去，得
.
设此方程的两根分别为、，则用即可求出a.）
∴直线的方程是和. ………………………………………12分
20. 解析：（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，
∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=， ∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，
又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，
∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC． 4分
（2）由（1）知AC⊥平面PBC
即为二面角P—AC—E的平面角．
10
∴在 , 又E为中点,可得
∴
从而二面角P—AC—E的余弦值为 8分
（3）作，F为垂足
由（Ⅰ）知平面EAC⊥平面PBC，又∵平面EAC 平面PBC=CE，
∴，连接AF，则就是直线PA与平面EAC所成的角．
由（Ⅱ）知，由等面积法可知，即
∴在中，
∴
即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为 ． 12分
21.解析:（Ⅰ）因
得， 由题意得，
所以 ,故所求圆C的方程为． 4分
（Ⅱ）令，得，即
所以 假设存在实数，
当直线AB与轴不垂直时，设直线AB的方程为，
代入得，，
10
设从而
又因为
而
因为，所以，即，得．当直线AB与轴垂直时，也成立．
故存在，使得. 12分
22.解析：（1）中，，
且，∴．
令的中点为，∴．
又∵，且，
∴．∴即为点到的距离．
又．∴点到的距离为． 5分
（2）弧上存在一点，满足，使得∥．
理由如下：
连结，则中，为的中点．∴∥．
又∵，，∴∥
∵，且为弧的中点，∴．∴∥．
又，,∴∥．
且，．∴∥．
10
又∴∥． 10分
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