相似
（时限：100分钟 满分：100分）
选择题：（本大题共12小题，每小题2分，共24分
1.下列四组线段中，不能成比例的是 .
A. a＝3，b＝6，c＝2，d＝4 B. a＝1，b＝，c＝，d＝
C. a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 D. a＝2，b＝，c＝，d＝2
2.如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于A、C、E、B、D、F，
AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝ .
7 B. 7.5 C. 8 D. 8.5
3.如图，在△ABC中，已知DE∥BC，AD＝3，DB＝6，DE＝2，则BC＝ .
A. 4 B. 6 C. 10 D. 8
4.如图，E是□ABCD的边BC的延长线上的一点，连接AE交CD于F，则图中共有相似三角形 .
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
5.把一张矩形的纸片对折后和原矩形相似，那么大矩形与小矩形的相似比是 .
A. ∶1 B. 4∶1 C. 3∶1 D. 2∶1
6.已知a、b、c为正数，且＝＝＝k，下列四个点中，在正比例函数y＝k x
的图像上的是 .
A.（1，） B.（1，2） C.（1，－） D.（1，－1）
7.如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点P，AB＝4，CD＝7，AD＝10，则AP的长等于 .
A. B. C. D.
8.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，
AE⊥AD交CB的延长线于E，则下列结论正确的是
A.△AED∽△ACB B. △AEB∽△ACD
C.△BAE∽△ACE D.△AEC∽△DAC
9.要作一个多边形与已知多边形相似，且使面积
扩大为原来16倍，那么边长为原来 .
2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 5倍
10.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，则下列结论：①AC2＝AD·AB；
②CD2＝AD·BD；③BC2＝BD·AB；④CD·AD＝AC·BC；⑤＝.
7
正确的个数有 .
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
11.如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（－1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A/B/C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍.设点B的对应点B/的横坐标是a，则点B/的横坐标是 .
A. －a B. － C. － D. －
12.如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交DC于点F，设BE＝x，FC＝y，则当点E从点B运动到点C时，关于x的函数图像是
二、填空题：（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
13.如果两个相似三角形的面积比是1∶2，那么它们对应边的比是 .
14.如图，DE是△ABC的中位线，已知＝2，则四边形BCED的面积为 .
15.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E是DC上一点，∠DAE＝∠BAC，
则EC长为 .
16.顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，△ABC、△BDC、△DEC都是黄金的三角形，已知AB＝1，则DE＝ .
17.如图，Rt△ABC内有三个内接正方形，DF＝9cm，GK＝6cm，则第三个正方形的边长PQ的长是 .
7
18.如图，已知△ABC中，若BC＝6，△ABC的面积为12，四边形DEFG是△ABC的内接的正方形，则正方形DEFG的边长是 .
19.如图，以A为位似中心，将△ADE放大2倍后，得位似形△ABC，若S1表示△ADE的面积，S2表示四边形DBCE的面积，则S1∶S2＝ .
20.直角三角形的两条直角边的长分别为a和b，则它的斜边上的高与斜边比为
21.如图，直角坐标系中，矩形OABC的顶点O是坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA/B/C/与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA/B/C/的面积等于矩形OABC面积的，那么点B/的坐标是 .
22.如图，Rt△ABC≌Rt△ADE，∠A＝90°，BC和DE交于点P，若AC＝6，AB＝8，
则点P到AB边的距离是 .
三、解答题：（本大题共56分）
23.（6分）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形.
⑴当AC、CD、DB满足怎样的关系式时，△ACP∽△PDB？
⑵当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数.
24.（10分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M.
⑴求证：△EDM∽△FBM；
⑵若DB＝9，求BM.
7
25.（10分）已知△ABC的三边长分别为20cm、50cm、60cm，现要利用长度分别为30cm和60cm的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC相似，要求以其中一根为一边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边，求另外两边的长度（单位：cm）
26.（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC上一点O为圆心，OB为半径的圆交AB于点M，交取于点N，
⑴求证：BA·BM＝BC·BN；
⑵如果CM是⊙O的切线，N是OC的中点，当AC＝3时，求AB的值.
27.（10分）如图，已知△ABC，延长BC到D，使CD＝BC，取AB的中点F，连结FD交AC于点E. ⑴求AE∶AC的值；⑵若AB＝a，FB＝EC，求AC的长.
7
28.（10分）如图，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似.
参考答案：
选择题：1.C；2.B；3.B；4.C；5.A；6.A；7.C；8.C；9.C；10.C；11.D；12.A；
二、填空题：13. 1∶；14. 6；15. 25；16.；17. 4cm；18. 2.4；19. 1∶3；20.；
21.（3，2）或（－3，－2）；22.；
11.解：把图形向右平移1个单位长度，则点C的坐标
与原点O重合，与B/的对应点B//的横坐标
变为a＋1，此时△ABC以原点O为位似中心
的位似图形是△A//B//C，则与点B//对应的点
的横坐标为－（a＋1），把该点的横坐标向左平移
一个单位，则得到B的横坐标为－（a＋1）－1，即 －（a＋3）.选择D.
12.解：特别的，当BE＝0和4时，FC＝0.
当0＜BE＜4时，易证： Rt△ABE∽Rt△ECF
∴＝ ∴＝
∴y＝x2＋x ∴y是x的函数.
当x＝2时，y有最大值，最大值是1. 选择A.
22题：解：作PF⊥AB于点F
设PF＝x，由题意：BE＝CD＝2，
7
∴Rt△EFP∽Rt△EAD.
∴＝ ∴EF＝x
∴Rt△BFP∽Rt△BAC
∴＝ ∴＝ ∴x＝
三、解答题：
23.解：⑴∵△PCD是等边三角形
∴∠PCD＝∠PDC＝60°PC＝PD＝CD
∴∠PCA＝∠PDB＝120°
∴当AC、CD、DB满足
CD2＝AC·BD
即 ＝ 时，△ACP∽△PDB
⑵当△ACP∽△PDB时
由∠A＝∠BPD，∠B＝∠APC
∴∠PCD＝∠A＋∠APC＝60°＝∠A＋∠B#X#K]
∠PDC＝∠B＋∠BPD＝60°
∴∠APB＝60°＋∠APC＋∠BPD＝60°＋60°－∠A＋∠60°－∠B
＝180°－（∠A＋∠B）＝180°－60°＝120°
24.解：⑴∵AB＝2CD AE＝BE
∴CD＝BE
又∵AB∥CD ∴CD∥BE且CD＝BE
∴四边形EBCD是平行四边形
∴DE∥BC
∴△EDM∽△FBM
⑵∵△EDM∽△FBM
FB＝BC＝DE ∴＝＝ ∴＝ ∴＝
∴BM＝3.
25.解：⑴如果将长度为60cm木条作为其中一边，把30cm木条截成两段，其三角形不存在；
⑵如果将长度为30cm的木条作为其中一边，把60cm的木条截成两边，
则：①将30cm的木条作最长边，于是有 ＝＝ 三边成比例.此时三角形木架与△ABC相似；
②将30cm的木条作为第二长的边，于是有 ＝＝ 三边成比例，此时三角形木架与△ABC相似；
③将30cm的木条作为最短边，则三边对应不成比例；
因此，另外两边的长度分别为10cm、25cm或12cm、36cm.
26.解：⑴证明：连NM
∵NB是⊙O的直径 ∴NM⊥BM
7
在△ACB和△NMB中
∠ACB＝∠NMB＝90°∠ABC＝∠NBM
∴△ACB∽△NMB
∴＝ 即 BA·BM＝BC·BN
⑵连OM ∵CM是⊙O的切线 ∴CM⊥OM ∴△CMO是直角三角形
∵CN＝ON ∴MN＝OC＝ON ∵ON＝OM ∴△OMN是等边三角形
∴∠MON＝60°∵OM＝OB ∴∠B＝30°∴在Rt△ACB中，AB＝6.
27.解：⑴证明：过点C作CG∥AB交DF于G
则 △EAF∽△ECG △DCG∽△DBF
∴＝ ＝
又∵AF＝BF
∴＝
∵BC＝CD ∴＝ ∴＝ 即＝
⑵∵AB＝a，BF＝AB＝a，又∵FB＝EC，∴EC＝a
∵＝ ，∴AC＝3EC＝a.
28.解：设经过t s时，△PBQ∽△ABC，
则 AP＝2t，BQ＝4t，BP＝10－2t
如图①
当△PBQ∽△ABC时，有
＝ 即 ＝
∴t＝2.5
如图②
当△QBP∽△ABC时，有
＝ 即 ＝
∴t＝1
综合以上可知：经过2.5秒或1秒时，
△QBP和△ABC相似.
7
微信/支付宝扫码支付