福建省泉州市洛江区2015届九年级数学上学期期末试题（含解析） 新人教版.doc

福建省泉州市洛江区2015届九年级数学上学期期末试题 一、选择题（共7小题，每小题3分，满分21分）‎ ‎1．下列计算正确的是( )‎ A． B． C．2+4=6 D．=±2‎ ‎2．已知x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解，则m的值为( )‎ A．2 B．0 C．0或2 D．0或﹣2‎ ‎3．如果两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的相似比为( )‎ A．16：9 B．4：3 C．2：3 D．256：81‎ ‎4．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是( )‎ A．开口向下 B．对称轴是x=﹣1‎ C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点 ‎5．在下列事件中，是必然事件的是( )‎ A．随意写出一个自然数，是正数 B．两个正数相减，差是正数 C．一个整数与一个小数相乘，积是整数 D．两个正数相除，商是正数 ‎6．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC=3m，则坡面AB的长度是( )‎ A．9m B．6m C．m D．m ‎7．如图，△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若DE=2，则BC=( )‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ 18‎ 二、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）‎ ‎8．计算（+）（﹣）的结果为__________．‎ ‎9．如果关于x的方程x2﹣6x+m=0有两个相等的实数根，那么m=__________．‎ ‎10．使式子有意义的x取值范围是__________．‎ ‎11．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程：__________．‎ ‎12．已知A（3，y1）、B（4，y2）都在抛物线y=x2+1上，试比较y1与y2的大小：__________．‎ ‎13．把方程x2﹣10x﹣11=0化为（x+m）2=n的形式，结果为__________．‎ ‎14．如图，∠BAC位于6×6的方格纸中，则tan∠BAC=__________．‎ ‎15．如图，小红随意在地板上踢毽子，则毽子恰好落在黑色方砖上的概率为__________．‎ ‎16．如图，已知∠1=∠2，若再增加一个条件就能使结论“AB•DE=AD•BC”成立，则这个条件可以是__________．（只填一个即可）‎ ‎17．如图，已知DE∥BC，，则=__________；如果BC=12，则DE=__________．‎ 18‎ 三、解答题（共9小题，满分89分）‎ ‎18．计算：•﹣•﹣2sin45°．‎ ‎19．解方程：x2﹣4x+2=0．‎ ‎20．已知：线段a、b、c，且==．‎ ‎（1）求的值．‎ ‎（2）如线段a、b、c满足a+b+c=27．求a、b、c的值．‎ ‎21．如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．‎ ‎（1）求改直的公路AB的长（精确到0.1）；‎ ‎（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米（精确到0.1）？‎ ‎22．如图，△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A（1，2）、B（3，3）、C（3，1）．‎ ‎①根据题意，请你在图中画出△ABC；‎ ‎②以B为位似中心，画出与△ABC相似且相似比是3：1的△BA′C′，并分别写出顶点A′和C′的坐标．‎ ‎23．一只不透明的箱子里共有3个球，把它们的分别编号为1，2，3，这些球除编号不同外其余都相同．‎ ‎（1）从箱子中随机摸出一个球，求摸出的球是编号为1的球的概率；‎ 18‎ ‎（2）从箱子中随机摸出一个球，记录下编号后将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球并记录下编号，求两次摸出的球都是编号为3的球的概率．‎ ‎24．用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．‎ ‎（1）求y关于x的函数关系式；‎ ‎（2）当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？‎ ‎（3）能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．‎ ‎25．如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点P为AB边上一点，DP交AC于点Q．‎ ‎（1）求证：△APQ∽△CDQ；‎ ‎（2）当PD⊥AC时，求线段PA的长度．‎ ‎26．（13分）如图1，抛物线y=kx2+2经过（4，0），A（a，b）是抛物线上的任意一点，直线l经过（0，4）且与x轴平行，过A作A⊥l于B点．‎ ‎（1）直接写出k的值：k=__________；‎ ‎（2）当a=0时，AO=__________，AB=__________；当a=8时，AO=__________，AB=__________；‎ ‎（3）由（2）的结论，请你猜想：对于抛物线上的任意一点A，AO与AB有怎样的大小关系，并证明你的猜想；‎ ‎（4）如图2，已知线段CD=12，线段的两端点C、D在抛物线上滑动，求C、D两点到直线l的距离之和的最小值．‎ 18‎ ‎2014-2015学年福建省泉州市洛江区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共7小题，每小题3分，满分21分）‎ ‎1．下列计算正确的是( )‎ A． B． C．2+4=6 D．=±2‎ ‎【考点】二次根式的混合运算． ‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】根据二次根式的除法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的加减法对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．‎ ‎【解答】解：A、原式==3，所以A选项正确；‎ B、原式==2，所以B选项错误；‎ C、2与4不是同类二次根式，不能合并，所以C选项错误；‎ D、原式=2，所以D选项错误．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．‎ ‎2．已知x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解，则m的值为( )‎ A．2 B．0 C．0或2 D．0或﹣2‎ ‎【考点】一元二次方程的解． ‎ ‎【分析】直接把x=2代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可．‎ ‎【解答】解：∵x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解，‎ ‎∴4﹣4m+4=0，‎ ‎∴m=2．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．‎ ‎3．如果两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的相似比为( )‎ A．16：9 B．4：3 C．2：3 D．256：81‎ ‎【考点】相似多边形的性质． ‎ ‎【分析】根据两个相似多边形的面积比为16：9，面积之比等于相似比的平方．‎ ‎【解答】解：根据题意得：=．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．‎ 18‎ ‎4．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是( )‎ A．开口向下 B．对称轴是x=﹣1‎ C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点 ‎【考点】二次函数的性质． ‎ ‎【专题】常规题型．‎ ‎【分析】根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．‎ ‎【解答】解：二次函数y=（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点式为y=a（x﹣）2+，的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣b2a，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下．‎ ‎5．在下列事件中，是必然事件的是( )‎ A．随意写出一个自然数，是正数 B．两个正数相减，差是正数 C．一个整数与一个小数相乘，积是整数 D．两个正数相除，商是正数 ‎【考点】随机事件． ‎ ‎【分析】根据必然事件的概念（必然事件指在一定条件下一定发生的事件）可判断正确答案．‎ ‎【解答】解：A、随意写出一个自然数，是正数，是随机事件；‎ B、两个正数相减，差是正数，是随机事件；‎ C、一个整数与一个小数相乘，积是整数，是随机事件；‎ D、两个正数相除，商是正数，是必然事件．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．‎ ‎6．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC=3m，则坡面AB的长度是( )‎ A．9m B．6m C．m D．m 18‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题． ‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．‎ ‎【解答】解：在Rt△ABC中，BC=3米，tanA=1：；‎ ‎∴AC=BC÷tanA=3米，‎ ‎∴AB==6米．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．‎ ‎7．如图，△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若DE=2，则BC=( )‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【考点】三角形中位线定理． ‎ ‎【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得BC=2DE．‎ ‎【解答】解：∵D，E分别是边AB，AC的中点，‎ ‎∴DE是△ABC的中位线，‎ ‎∴BC=2DE=2×2=4．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．‎ 二、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）‎ ‎8．计算（+）（﹣）的结果为﹣1．‎ ‎【考点】二次根式的混合运算． ‎ ‎【分析】根据平方差公式：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，求出算式（+）（﹣）的结果为多少即可．‎ ‎【解答】解：（+）（﹣）‎ ‎=‎ ‎=2﹣3‎ ‎=﹣1‎ 18‎ ‎∴（+）（﹣）的结果为﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎【点评】（1）此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看“多项式”．‎ ‎（2）此题还考查了平方差公式的应用：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，要熟练掌握．‎ ‎9．如果关于x的方程x2﹣6x+m=0有两个相等的实数根，那么m=9．‎ ‎【考点】根的判别式． ‎ ‎【分析】因为一元二次方程有两个相等的实数根，所以△=b2﹣4ac=0，根据判别式列出方程求解即可．‎ ‎【解答】解：∵关于x的方程x2﹣6x+m=0有两个相等的实数根，‎ ‎∴△=b2﹣4ac=0，‎ 即（﹣6）2﹣4×1×m=0，‎ 解得m=9‎ 故答案为：9‎ ‎【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：‎ ‎（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；‎ ‎（3）△＜0⇔方程没有实数根．‎ ‎10．使式子有意义的x取值范围是x≥﹣1．‎ ‎【考点】二次根式有意义的条件． ‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数．‎ ‎【解答】解：根据题意得：x+1≥0，‎ 解得x≥﹣1．‎ 故答案为：x≥﹣1．‎ ‎【点评】本题考查二次根式有意义的条件，比较简单，注意掌握二次根式的意义，被开方数是非负数．‎ ‎11．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程：125×（1﹣x）2=80．‎ ‎【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． ‎ ‎【专题】销售问题．‎ ‎【分析】等量关系为：原价×（1﹣下降率）2=80，把相关数值代入即可．‎ ‎【解答】解：第一次降价后的价格为125×（1﹣x），‎ 第二次降价后的价格为125×（1﹣x）×（1﹣x）=55×（1﹣x）2，‎ ‎∴列的方程为125×（1﹣x）2=80，‎ 故答案为125×（1﹣x）2=80．‎ 18‎ ‎【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．‎ ‎12．已知A（3，y1）、B（4，y2）都在抛物线y=x2+1上，试比较y1与y2的大小：y1＜y2．‎ ‎【考点】二次函数图象上点的坐标特征． ‎ ‎【分析】先求得函数y=x2+1的对称轴为x=0，再判断A（3，y1）、B（4，y2）在对称轴右侧，从而判断出y1与y2的大小关系．‎ ‎【解答】解：∵函数y=x2+1的对称轴为x=0，‎ ‎∴A（3，y1）、B（4，y2）对称轴右侧，‎ ‎∴抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大．‎ ‎∵3＜4，‎ ‎∴y1＜y2．‎ 故答案为：y1＜y2．‎ ‎【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的特征，利用已知解析式得出对称轴进而利用二次函数增减性得出是解题关键．‎ ‎13．把方程x2﹣10x﹣11=0化为（x+m）2=n的形式，结果为（x﹣5）2=36．‎ ‎【考点】解一元二次方程-配方法． ‎ ‎【分析】把常数项﹣11移项后，再在等式的两边同时加上一次项系数﹣10的一半的平方．‎ ‎【解答】解：由原方程移项，得 x2﹣10x=11，‎ 等式的两边同时加上一次项系数﹣10的一半的平方，得 x2﹣10x+52=11+52，‎ 配方程，得 ‎（x﹣5）2=36；‎ 故答案是：（x﹣5）2=36．‎ ‎【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法的一般步骤：‎ ‎（1）把常数项移到等号的右边；‎ ‎（2）把二次项的系数化为1；‎ ‎（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．‎ ‎14．如图，∠BAC位于6×6的方格纸中，则tan∠BAC=．‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义． ‎ ‎【分析】根据三角函数的定义解答．‎ ‎【解答】解：观察图形可知，tan∠BAC==．‎ ‎【点评】‎ 18‎ 本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．‎ ‎15．如图，小红随意在地板上踢毽子，则毽子恰好落在黑色方砖上的概率为．‎ ‎【考点】几何概率． ‎ ‎【专题】常规题型．‎ ‎【分析】先求出黑色方砖在整个地板面积中所占面积的比值，根据此比值即可解答．‎ ‎【解答】解：∵黑色方砖的面积为5，所有方砖的面积为20，‎ ‎∴键子恰落在黑色方砖上的概率为P（A）==．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】此题考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比，关键是求出黑色方砖在整个地板面积中所占面积的比值．‎ ‎16．如图，已知∠1=∠2，若再增加一个条件就能使结论“AB•DE=AD•BC”成立，则这个条件可以是∠B=∠D．（只填一个即可）‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质． ‎ ‎【专题】压轴题；开放型．‎ ‎【分析】要使AB•DE=AD•BC成立，需证△ABC∽△ADE，在这两三角形中，由∠1=∠2可知∠BAC=∠DAE，还需的条件可以是∠B=∠D或∠C=∠AED ‎【解答】解：这个条件为：∠B=∠D ‎∵∠1=∠2，∴∠BAC=∠DAE ‎∵∠B=∠D，∴△ABC∽△ADE ‎∴AB•DE=AD•BC ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质的运用．‎ ‎17．如图，已知DE∥BC，，则=；如果BC=12，则DE=4．‎ 18‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质． ‎ ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】由DE∥CB，可证得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，可求得AE、AC的比例关系，进而可根据BC的长和两个三角形的相似比求出DE的值．‎ ‎【解答】解：∵DE∥BC ‎∴△ADE∽△ABC ‎∴==‎ ‎∵，BC=12‎ ‎∴=，DE=4．‎ ‎【点评】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．‎ 三、解答题（共9小题，满分89分）‎ ‎18．计算：•﹣•﹣2sin45°．‎ ‎【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值． ‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】第一项根据二次根式和立方根的意义得出结果，第二项根据二次根式的乘法法则得出结果，第三项利用特殊值的三角函数得出结果，最后合并同类二次根式即可得到最后结果．‎ ‎【解答】解：原式=6×3﹣﹣2×‎ ‎=18﹣﹣‎ ‎=16．‎ ‎【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．‎ ‎19．解方程：x2﹣4x+2=0．‎ ‎【考点】解一元二次方程-配方法． ‎ ‎【分析】本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．‎ ‎【解答】解：x2﹣4x=﹣2‎ x2﹣4x+4=2‎ ‎（x﹣2）2=2‎ 或 ‎∴，．‎ ‎【点评】配方法的步骤：形如x2‎ 18‎ ‎+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．‎ ‎20．已知：线段a、b、c，且==．‎ ‎（1）求的值．‎ ‎（2）如线段a、b、c满足a+b+c=27．求a、b、c的值．‎ ‎【考点】比例的性质． ‎ ‎【分析】（1）根据比例的性质得出=，即可得出的值；‎ ‎（2）首先设===k，则a=2k，b=3k，c=4k，利用a+b+c=27求出k的值即可得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）∵=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎（2）设===k，‎ 则a=2k，b=3k，c=4k，‎ ‎∵a+b+c=27，‎ ‎∴2k+3k+4k=27，‎ ‎∴k=3，‎ ‎∴a=6，b=9，c=12．‎ ‎【点评】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出a=2k，b=3k，c=4k进而得出k的值是解题关键．‎ ‎21．如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．‎ ‎（1）求改直的公路AB的长（精确到0.1）；‎ ‎（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米（精确到0.1）？‎ ‎【考点】解直角三角形的应用． ‎ ‎【分析】（1）作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中根据CH=AC•sin∠CAB求出CH的长，由AH=AC•cos∠CAB求出AH的长，同理可得出BH的长，根据AB=AH+BH可得出结论；‎ ‎（2）根据在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA可得出BC的长，由AC+BC﹣AB即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）作CH⊥AB于H．‎ 18‎ ‎∵AC=10千米，∠CAB=25°，[来源:Zxxk.Com]‎ ‎∴在Rt△ACH中，CH=AC•sin∠CAB=10•sin25°≈4.23（千米），‎ AH=AC•cos∠CAB=10•cos25°≈9.06（千米）．‎ ‎∵∠CBA=37°，‎ ‎∴在Rt△BCH中，BH=CH÷tan∠CBA=4.23÷tan37°≈5.61（千米），‎ ‎∴AB=AH+BH=9.06+5.61=14.67≈14.7（千米）．‎ ‎∴改直的公路AB的长14.7千米；‎ ‎（2）在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA=4.23÷sin37°≈7.03（千米），‎ 则AC+BC﹣AB=10+7.03﹣14.7≈2.3（千米）． ‎ 答：公路改直后比原来缩短了2.3千米．‎ ‎【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．‎ ‎22．如图，△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A（1，2）、B（3，3）、C（3，1）．‎ ‎①根据题意，请你在图中画出△ABC；‎ ‎②以B为位似中心，画出与△ABC相似且相似比是3：1的△BA′C′，并分别写出顶点A′和C′的坐标．‎ ‎【考点】作图-位似变换． ‎ ‎【分析】①根据坐标确定各点的位置，顺次连接即可画出△ABC；‎ ‎②因为位似中心为B，相似比为3：1，可以延长CB到C'，AB到A'，使BC'=3BC，A'B=3AB，连接A'C'即可．‎ ‎【解答】解：①‎ ‎②A'（9，6），C'（3，9）或A'（﹣3，0），C'（3，﹣3）．‎ 18‎ ‎【点评】此题要会根据点的坐标确定位置，然后理解位似中心的定义，作出相似三角形．‎ ‎23．一只不透明的箱子里共有3个球，把它们的分别编号为1，2，3，这些球除编号不同外其余都相同．‎ ‎（1）从箱子中随机摸出一个球，求摸出的球是编号为1的球的概率；‎ ‎（2）从箱子中随机摸出一个球，记录下编号后将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球并记录下编号，求两次摸出的球都是编号为3的球的概率．‎ ‎【考点】列表法与树状图法；概率公式． ‎ ‎【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；‎ ‎（2）首先列出树状图，然后利用概率公式求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）从箱子中随机摸出一个球，摸出的球是编号为1的球的概率为：；‎ ‎（2）画树状图如下：‎ 共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是编号为3的球的概率为．‎ ‎【点评】本题考查了列表法与树状图法及概率公式，难点在于正确的列出树形图，难度中等．‎ ‎24．用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．‎ ‎（1）求y关于x的函数关系式；‎ ‎（2）当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？‎ ‎（3）能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．‎ ‎【考点】一元二次方程的应用；根据实际问题列二次函数关系式． ‎ ‎【专题】几何图形问题．‎ 18‎ ‎【分析】（1）根据矩形的面积公式进行列式；‎ ‎（2）、（3）把y的值代入（1）中的函数关系，求得相应的x值即可．‎ ‎【解答】解：（1）设围成的矩形一边长为x米，则矩形的邻边长为：32÷2﹣x．依题意得 y=x（32÷2﹣x）=﹣x2+16x．‎ 答：y关于x的函数关系式是y=﹣x2+16x；‎ ‎（2）由（1）知，y=﹣x2+16x．‎ 当y=60时，﹣x2+16x=60，即（x﹣6）（x﹣10）=0．‎ 解得 x1=6，x2=10，‎ 即当x是6或10时，围成的养鸡场面积为60平方米；‎ ‎（3）不能围成面积为70平方米的养鸡场．理由如下：‎ 由（1）知，y=﹣x2+16x．‎ 当y=70时，﹣x2+16x=70，即x2﹣16x+70=0‎ 因为△=（﹣16）2﹣4×1×70=﹣24＜0，‎ 所以 该方程无解．‎ 即：不能围成面积为70平方米的养鸡场．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键是熟悉矩形的周长与面积的求法，以及一元二次方程的根的判别式．‎ ‎[来源:Zxxk.Com]‎ ‎25．如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点P为AB边上一点，DP交AC于点Q．‎ ‎（1）求证：△APQ∽△CDQ；‎ ‎（2）当PD⊥AC时，求线段PA的长度．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质． ‎ ‎【分析】（1）根据矩形的性质，可得出AB∥CD，从而得出∠PAQ=∠DCQ，∠QPA=∠QDC，利用两角对应相等的三角形相似得出结论；‎ ‎（2）由PD⊥AC，得∠ACD+∠PDC=90°，从而得出∠ACD=∠PDA，可证明△ADC∽△PAD，由相似比得出PA的长．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AB∥CD，‎ ‎∴∠PAQ=∠DCQ，∠QPA=∠QDC，‎ ‎∴△APQ∽△CDQ．‎ ‎（2）解：∵PD⊥AC，‎ ‎∴∠ACD+∠PDC=90°，‎ ‎∵∠PDA+∠PDC=90°，‎ ‎∴∠ACD=∠PDA，‎ ‎∵∠ADC+∠PAD=90°，‎ ‎∴△ADC∽△PAD，‎ 18‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴PA=2.5．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质以及矩形的性质，综合性强，难度不大．‎ ‎26．（13分）如图1，抛物线y=kx2+2经过（4，0），A（a，b）是抛物线上的任意一点，直线l经过（0，4）且与x轴平行，过A作A⊥l于B点．‎ ‎（1）直接写出k的值：k=﹣；‎ ‎（2）当a=0时，AO=2，AB=2；当a=8时，AO=10，AB=10；‎ ‎（3）由（2）的结论，请你猜想：对于抛物线上的任意一点A，AO与AB有怎样的大小关系，并证明你的猜想；‎ ‎（4）如图2，已知线段CD=12，线段的两端点C、D在抛物线上滑动，求C、D两点到直线l的距离之和的最小值．‎ ‎【考点】二次函数综合题． ‎ ‎【分析】（1）根据待定系数法可求k的值；‎ ‎（2）a记为A点的横坐标．a=0时，直接代入得A（0，2），则AO，AB长易知．当a=8时，直接代入得A（8，﹣6），OA可由勾股定理求得，AB=yB﹣（﹣6）．[来源:Z&xx&k.Com]‎ ‎（3）猜想AO=AB．证明时因为a是满足二次函数y=﹣x2+2的点，一般可设（a，﹣a2+2）．类似（2）利用勾股定理和AB=yB﹣（﹣2）可求出AO与AB，比较即得结论．‎ ‎（4）考虑（3）结论，即函数y=﹣x2+2的点到原点的距离等于其到l的距离．要求C、D两点到l距离的和，即C、D两点到原点的和，若CD不过点O，则OC+OD＞CD=6，若CD过点O，则OC+OD=CD=6，所以OC+OD≥6，即C、D两点到l距离的和≥6，进而最小值即为6．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线y=kx2+2经过（4，0），‎ ‎∴16k+2=0，‎ 解得k=﹣；‎ 故答案为：﹣；‎ ‎（2）当a=0时，b=2，AO=2，AB=4﹣2=2；‎ 当a=8时，b=﹣6，AO==10，AB=4﹣（﹣6）=10；‎ 18‎ ‎（3）猜想：AO=AB．‎ 证明：如图1，延长BA，交x轴于点E，‎ ‎∵A（a，b）是抛物线y=﹣x2+2上的点，‎ ‎∴A（a，﹣a2+2），AE=|﹣x2+2|，OE=|a|，‎ 在直角△AEO中，AO2=AE2+OE2=（﹣a2+2）2+a2=a4+a2+4，‎ 而AB2=（4+a2﹣2）2=a4+a2+4，‎ ‎∴AO2=AB2，‎ ‎∴AO=AB；‎ ‎（4）如图2，连结OC，OD，过点C作CM⊥l于M，过点D作DN⊥l于N，‎ 此时CM即为C点到l的距离，DN即为D点到l的距离．‎ 则有CO=CM，DO=DN，‎ 在△COD中，‎ ‎∵CO+DO＞CD，‎ ‎∴CM+DN＞CD．‎ 当CD过O点时，‎ ‎∵CO+DO=CD，‎ ‎∴CM+DN=CD．‎ ‎∴CM+DN≥CD，‎ 即CM+DN≥6．‎ ‎∴C、D两点到直线l的距离之和的最小值6．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数综合题，学生对函数与其图象的理解，另外涉及一些点到直线距离，勾股定理，坐标系中两点间的距离及最短距离等知识点，总体来说难度不高，但知识新颖易引发学生对数学知识的兴趣，非常值得学生练习．‎ 18‎ 18‎