福建省泉州市安溪县2015届九年级数学上学期期末试题（含解析） 新人教版.doc

福建省泉州市安溪县2015届九年级数学上学期期末试题 一、选择题（每题3分，共21分．每题有且只有一个正确答案，请将正确的代号填在题后的括号内．）‎ ‎1．下列计算正确的是( )‎ A． B． C．• D．‎ ‎2．cos60°的值等于( )‎ A． B． C． D．‎ ‎3．如图，一个正六边形转盘被分成6个全等三角形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止时，指针指向阴影区域的概率是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，AB=2，则AC=( )‎ A．2sin50° B．2sin40° C．2tan50° D．2tan40°‎ ‎5．某商品经过两次降价，零售价降为原来的，已知两次降价的百分率均为x，则列出方程正确的是( )‎ A． B． C．（1+x）2=2 D．（1﹣x）2=2‎ ‎6．二次函数y=x2+2x的图象可能是( )‎ A． B． C．‎ 19‎ ‎ D．‎ ‎7．如图，在正△ABC中，D、E分别在AC、AB上，且，AE=BE，则有( )‎ A．△AED∽△ABC B．△ADB∽△BED C．△BCD∽△ABC D．△AED∽△CBD 二、填空题（每小题4分，共40分）‎ ‎8．当x__________时，二次根式有意义．‎ ‎9．若关于x的一元二次方程x2+2x+a=0有实数根，则a的取值范围是__________．‎ ‎10．关于x的方程x2﹣mx﹣2=0有一根是﹣1，则m=__________．‎ ‎11．如图，在△ABC中，DE∥BC，EC=2AE，BD=6，则AD=__________．‎ ‎12．如图，已知△ABC∽△ACP，∠A=70°，∠APC=65°，则∠B=__________．‎ ‎13．随机掷一枚均匀的硬币两次，两次都是正面朝上的概率是__________．‎ ‎14．一个袋中装有10个红球、8个黑球、6个白球，每个球除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，那么摸到黑球的概率是__________．‎ 19‎ ‎15．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则ac__________0．（填“＞”、“=”或“＜”）‎ ‎16．抛物线y=2（x+2）2﹣1的顶点坐标是__________．‎ ‎17．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AC中点，则：‎ ‎（1）sin∠DBC=__________；‎ ‎（2）tan∠DBA=__________．‎ 三、解答题（共89分）‎ ‎18．计算：．‎ ‎19．解方程：2x（x﹣1）﹣3（x﹣1）=0．‎ ‎20．已知抛物线的顶点坐标为（1，﹣2），且抛物线经过点（2，3），求抛物线的表达式．‎ ‎21．一副直角三角板如图放置，点A在ED上，∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，∠B=45°，AC=12，试求BD的长．‎ ‎22．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADB+∠EDC=120°．‎ ‎（1）求证：△ABD∽△DCE；‎ 19‎ ‎（2）若BD=3，CE=2，求△ABC的边长．‎ ‎23．一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，另外有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区域，分别标有数字1，2，3（如图所示）．‎ ‎（1）从口袋中摸出一个小球，所摸球上的数字大于2的概率为__________；‎ ‎（2）小龙和小东想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中摸出一个小球，另一人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于5，那么小龙去；否则小东去．你认为游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由．‎ ‎24．如图，点A、B为6×6的网格中的格点，每个小正方形的边长都为1，其中A点的坐标为（0，4）．‎ ‎（1）请直接写出B点的坐标；‎ ‎（2）若点C为6×6的网格中的格点，且∠ACB=90°，请求出符合条件的点C的坐标．‎ ‎25．（13分）如图，在△ABC中，AB=6cm，BC=12cm，∠B=90°．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，设移动时间为t（s）．‎ ‎（1）当t=2时，求△PBQ的面积；‎ ‎（2）当t为多少时，四边形APQC的面积最小？最小面积是多少？‎ ‎（3）当t为多少时，△PQB与△ABC相似？‎ 19‎ ‎26．（13分）如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B．求：‎ ‎（1）点A、B的坐标；‎ ‎（2）抛物线的函数表达式；‎ ‎（3）在抛物线对称轴上是否存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 19‎ ‎2014-2015学年福建省泉州市安溪县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每题3分，共21分．每题有且只有一个正确答案，请将正确的代号填在题后的括号内．）‎ ‎1．下列计算正确的是( )‎ A． B． C．• D．‎ ‎【考点】二次根式的混合运算． ‎ ‎【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的除法法则对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C、D进行判断．‎ ‎【解答】解：A、与﹣不能合并，所以A选项错误；‎ B、原式=，所以B选项错误；‎ C、原式==，所以C选项正确；‎ D、原式=2，所以D选项错误．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．‎ ‎2．cos60°的值等于( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】特殊角的三角函数值． ‎ ‎【分析】根据特殊角的三角函数值解题即可．‎ ‎【解答】解：cos60°=．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的函数值是解题关键．‎ ‎3．如图，一个正六边形转盘被分成6个全等三角形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止时，指针指向阴影区域的概率是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概率． ‎ 19‎ ‎【分析】确定阴影部分的面积在整个转盘中占的比例，根据这个比例即可求出转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率．‎ ‎【解答】解：如图：转动转盘被均匀分成6部分，阴影部分占2份，‎ 转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是：=；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了几何概率．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．‎ ‎4．已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，AB=2，则AC=( )‎ A．2sin50° B．2sin40° C．2tan50° D．2tan40°‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义． ‎ ‎【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，可得答案．‎ ‎【解答】解：由Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，得 ‎∠B=40°，‎ 由sin∠B=，得 AC=ABsin∠B=2sin40°，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．‎ ‎5．某商品经过两次降价，零售价降为原来的，已知两次降价的百分率均为x，则列出方程正确的是( )‎ A． B． C．（1+x）2=2 D．（1﹣x）2=2‎ ‎【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． ‎ ‎【专题】增长率问题．‎ ‎【分析】可设原价为1，关系式为：原价×（1﹣降低的百分率）2=现售价，把相关数值代入即可．‎ ‎【解答】解：设原价为1，则现售价为，‎ ‎∴可得方程为：1×（1﹣x）2=，‎ 故选B．‎ ‎【点评】此题主要考查了增长率的问题，一般公式为原来的量×（1±x）2=后来的量，增长用+，减少用﹣．‎ 19‎ ‎6．二次函数y=x2+2x的图象可能是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】二次函数的图象． ‎ ‎【分析】由二次函数性质知道其对称轴x==﹣1，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，最后得到答案．‎ ‎【解答】解：∵二次函数y=x2+2x，‎ ‎∴此二次函数图象的开口向上，对称轴是x=﹣1，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数的称轴x=；当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大．‎ ‎7．如图，在正△ABC中，D、E分别在AC、AB上，且，AE=BE，则有( )‎ A．△AED∽△ABC B．△ADB∽△BED C．△BCD∽△ABC D．△AED∽△CBD ‎【考点】相似三角形的判定． ‎ ‎【分析】根据等边三角形的性质得出角相等，再由已知条件求出，即两边对应成比例并且夹角相等，因此两个三角形相似．‎ ‎【解答】解：∵△ABC是等边三角形，=，‎ ‎∴AB=BC=AC，∠A=∠C，‎ 19‎ 设AD=x，AC=3x，‎ 则BC=3x，CD=2x，‎ ‎∵AE=BE=x，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴△AED∽△CBD；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定方法、等边三角形的性质；熟练掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键．‎ 二、填空题（每小题4分，共40分）‎ ‎8．当xx≥﹣1时，二次根式有意义．‎ ‎【考点】二次根式有意义的条件． ‎ ‎【分析】二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，据此即可求解．‎ ‎【解答】解：根据题意得：x+1≥0‎ 解得：x≥﹣1‎ 故答案是：x≥﹣1‎ ‎【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，是一个基础的题目．‎ ‎9．若关于x的一元二次方程x2+2x+a=0有实数根，则a的取值范围是a≤1．‎ ‎【考点】根的判别式． ‎ ‎【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：‎ ‎（1）二次项系数不为零；[来源:Zxxk.Com]‎ ‎（2）在有实数根下必须满足△=b2﹣4ac≥0．‎ ‎【解答】解：因为关于x的一元二次方程有实根，‎ 所以△=b2﹣4ac=4﹣4a≥0，‎ 解之得a≤1．‎ 故答案为a≤1．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．‎ ‎10．关于x的方程x2﹣mx﹣2=0有一根是﹣1，则m=1．‎ ‎【考点】一元二次方程的解． ‎ ‎【分析】已知了一元二次方程的一个实数根，可将其代入该方程中，即可求出m的值．‎ ‎【解答】解：∵方程x2﹣mx﹣2=0的一根是﹣1，‎ ‎∴（﹣1）2﹣m×（﹣1）﹣2=0，‎ 解答：m=1，‎ 故答案为：1；‎ ‎【点评】‎ 19‎ 此题主要考查了方程解的定义，所谓方程的解，即能够使方程左右两边相等的未知数的值．‎ ‎11．如图，在△ABC中，DE∥BC，EC=2AE，BD=6，则AD=3．‎ ‎【考点】平行线分线段成比例． ‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】根据平行线分线段成比例定理，由DE∥BC得到=，然后把EC=2AE，BD=6代入后利用比例的性质计算即可．‎ ‎【解答】解：∵DE∥BC，‎ ‎∴=，‎ ‎∵EC=2AE，BD=6，‎ ‎∴==，‎ ‎∴AD=3．‎ 故答案为3．‎ ‎【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．‎ ‎12．如图，已知△ABC∽△ACP，∠A=70°，∠APC=65°，则∠B=45°．‎ ‎【考点】相似三角形的性质． ‎ ‎【分析】根据相似三角形对应角相等可得∠ACB=∠APC=65°，再根据三角形内角和定理即可求解．‎ ‎【解答】解：∵△ABC∽△ACP，‎ ‎∴∠ACB=∠APC=65°，‎ ‎∵∠A=70°，‎ ‎∴∠B=180°﹣∠A﹣∠ACB=180°﹣70°﹣65°=45°．‎ 故答案为45°．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形对应角相等是解题的关键．也考查了三角形内角和定理．‎ ‎13．随机掷一枚均匀的硬币两次，两次都是正面朝上的概率是．‎ ‎【考点】列表法与树状图法． ‎ 19‎ ‎【分析】首先可以利用列举法，求得随机掷一枚均匀的硬币两次所出现的所有等可能的结果，然后利用概率公式直接求解即可．‎ ‎【解答】解：∵随机掷一枚均匀的硬币两次，可能出现的情况为：正正，正反，反正，反反，‎ ‎∴两次都是正面朝上的概率是．‎ ‎【点评】此题考查了列举法求概率的知识．解题的关键是注意不重不漏的列举出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎14．一个袋中装有10个红球、8个黑球、6个白球，每个球除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，那么摸到黑球的概率是．‎ ‎【考点】概率公式． ‎ ‎【分析】用黑球的个数除以所有球的个数即可求得摸到黑球的概率．‎ ‎【解答】解：∵共有10+8+6=24个球，其中黑球有8个，‎ ‎∴从袋中任意摸出一个球，那么摸到黑球的概率是=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】考查了概率的公式，解题时用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎15．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则ac＞0．（填“＞”、“=”或“＜”）‎ ‎【考点】二次函数图象与系数的关系． ‎ ‎【分析】根据开口方向、抛物线与y轴的交点，确定a、c的符号，得到答案．[来源:Z.xx.k.Com]‎ ‎【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，ac＞0．‎ 故答案为：＞．‎ ‎【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．‎ ‎16．抛物线y=2（x+2）2﹣1的顶点坐标是（﹣2，﹣1）．‎ ‎【考点】二次函数的性质． ‎ ‎【分析】直接根据二次函数的顶点式可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵抛物线的解析式为：y=2（x+2）2﹣1，‎ ‎∴其顶点坐标为（﹣2，﹣1）．‎ 故答案为：（﹣2，﹣1）．‎ ‎【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．‎ 19‎ ‎17．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AC中点，则：‎ ‎（1）sin∠DBC=；‎ ‎（2）tan∠DBA=．‎ ‎【考点】解直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形． ‎ ‎【分析】（1）先由D是AC中点，AC=4，得出CD=AC=2，然后在Rt△BCD中，利用勾股定理求出BD==2，再根据三角函数定义即可求出sin∠DBC的值；‎ ‎（2）过点D作DE⊥AB于点E，先由△ABC是等腰直角三角形，得出∠A=∠ABC=45°，AB=4．再证明△ADE是等腰直角三角形，得出DE=AE=AD=，于是BE=AB﹣AE=4﹣=3，然后在Rt△BDE中，根据三角函数定义即可求出tan∠DBA的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵D是AC中点，AC=4，‎ ‎∴CD=AD=AC=2，‎ ‎∵在Rt△BCD中，∠C=90°，BC=4，CD=2，‎ ‎∴BD==2，‎ ‎∴sin∠DBC===；‎ ‎（2）过点D作DE⊥AB于点E，‎ ‎∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，‎ ‎∴∠A=∠ABC=45°，AB=4．‎ ‎∵在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠A=45°，AD=2，‎ ‎∴DE=AE=AD=，‎ ‎∴BE=AB﹣AE=4﹣=3，‎ 在Rt△BDE中，tan∠DBA===．‎ 故答案为：；．‎ 19‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，难度适中．准确作出辅助线构造直角三角形是解决（2）小题的关键．‎ 三、解答题（共89分）‎ ‎18．计算：．‎ ‎【考点】二次根式的混合运算． ‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】先根据完全平方公式和平方差公式计算得到原式=+3﹣1，然后合并即可．‎ ‎【解答】解：原式=+3﹣1‎ ‎=3﹣3﹣2+2‎ ‎=﹣1．‎ ‎【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．‎ ‎19．解方程：2x（x﹣1）﹣3（x﹣1）=0．‎ ‎【考点】解一元二次方程-因式分解法． ‎ ‎【分析】将（x﹣1）作为公因式，提公因式解答即可．‎ ‎【解答】解：原方程可化为（x﹣1）（2x﹣3）=0，‎ 解得x1=1，x2=．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．‎ ‎20．已知抛物线的顶点坐标为（1，﹣2），且抛物线经过点（2，3），求抛物线的表达式．‎ ‎【考点】待定系数法求二次函数解析式． ‎ ‎【分析】抛物线的顶点式解析式y=a（x﹣h）2+k代入顶点坐标另一点求出a的值即可．[来源:Z&xx&k.Com]‎ ‎【解答】解：由抛物线的顶点坐标为（1，﹣2），设抛物线的表达式为y=a（x﹣1）2﹣2，‎ ‎∵抛物线经过点（2，3），‎ ‎∴3=a（2﹣1）2﹣2，‎ 解得a=5，‎ ‎∴所求的二次函数的表达式为y=5（x﹣1）2﹣2．‎ 19‎ ‎【点评】此题考查待定系数法求函数解析式，根据题目中的已知条件，灵活选用二次函数解析式的形式解决问题是解题的关键．‎ ‎21．一副直角三角板如图放置，点A在ED上，∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，∠B=45°，AC=12，试求BD的长．‎ ‎【考点】解直角三角形． ‎ ‎【分析】先解Rt△ABC，由∠ACB=90°，∠B=45°，得出BC=AC=12．再解Rt△ACD，求出∠ADC=90°﹣∠E=60°，根据三角函数定义得到CD==4，那么BD=BC﹣DC=12﹣4．‎ ‎【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=45°，‎ ‎∴BC=AC=12．‎ ‎∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，∠ADC=90°﹣∠E=60°，‎ ‎∴CD==4，‎ ‎∴BD=BC﹣DC=12﹣4．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，求出BC与DC的长是解题的关键．‎ ‎22．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADB+∠EDC=120°．‎ ‎（1）求证：△ABD∽△DCE；‎ ‎（2）若BD=3，CE=2，求△ABC的边长．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质． ‎ ‎【分析】（1）根据等边三角形性质求出∠B=∠C=60°，根据等式性质求出∠BAD=∠CDE，即可证明△ABD∽△DCE；‎ ‎（2）由（1）知道△ABD∽△DCE，对应边成比例得出，列方程解答即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵△ABC为正三角形，‎ ‎∴∠B=∠C=60°，‎ 19‎ ‎∴∠ADB+∠BAD=120°，‎ ‎∵∠ADB+∠CDE=120°，‎ ‎∴∠BAD=∠CDE，‎ ‎∴△ABD∽△DCE．‎ ‎（2）∵△ABD∽△DCE ‎∴，‎ 设正三角形边长为x，‎ 则，‎ 解得x=9，‎ 即△ABC的边长为9．‎ ‎【点评】本题考查了等边三角形性质，相似三角形的性质和判定，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力．能够证明△ABD∽△DCE是解决问题的关键．‎ ‎23．一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，另外有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区域，分别标有数字1，2，3（如图所示）．‎ ‎（1）从口袋中摸出一个小球，所摸球上的数字大于2的概率为；‎ ‎（2）小龙和小东想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中摸出一个小球，另一人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于5，那么小龙去；否则小东去．你认为游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由．‎ ‎【考点】游戏公平性；概率公式；列表法与树状图法． ‎ ‎【分析】（1）因为口袋中有4个小球，大于2的有两个分别是3，4，由此可求出其概率．‎ ‎（2）游戏公平，分别求出题目各自获胜的概率，比较概率是否相等，即可判定游戏是否公平．‎ ‎【解答】解：（1）∵的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，‎ ‎∴从口袋中摸出一个小球，所摸球上的数字大于2的概率为；‎ 故答案为：； ‎ ‎（2）游戏公平． ‎ 列举所有等可能的结果12个：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 19‎ ‎∴所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于5的概率为P=，‎ ‎∴游戏公平．‎ ‎【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 ‎24．如图，点A、B为6×6的网格中的格点，每个小正方形的边长都为1，其中A点的坐标为（0，4）．‎ ‎（1）请直接写出B点的坐标；‎ ‎（2）若点C为6×6的网格中的格点，且∠ACB=90°，请求出符合条件的点C的坐标．‎ ‎【考点】勾股定理；坐标与图形性质；勾股定理的逆定理． ‎ ‎【分析】（1）由A点的坐标为（0，4）可建立平面直角坐标系，由此即可求出点B的坐标；‎ ‎（2）由（1）中的平面直角坐标系，当∠ACB=90°，利用勾股定理的逆定理即可求出符合条件的点C的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）建立如图所示的平面直角坐标系，则点B（﹣2，0）；‎ ‎（2）如图所示：则C（0，0）或（﹣2，4）或C（1，1）或C（1，3）．‎ ‎【点评】本题考查了勾股定理以及其逆定理的运用，解题的关键是熟记勾股定理以及其逆定理．勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方；勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．‎ ‎25．（13分）如图，在△ABC中，AB=6cm，BC=12cm，∠B=90°．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，设移动时间为t（s）．‎ ‎（1）当t=2时，求△PBQ的面积；‎ ‎（2）当t为多少时，四边形APQC的面积最小？最小面积是多少？‎ ‎（3）当t为多少时，△PQB与△ABC相似？‎ 19‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；二次函数的最值． ‎ ‎【专题】动点型．‎ ‎【分析】（1）根据直角三角形的面积公式求解即可；‎ ‎（2）四边形APQC的面积=△ABC的面积﹣△PBQ的面积，再根据配方法即可求解；‎ ‎（3）分两种情况讨论，△BPQ∽△BAC，△BPQ∽△CBA，列比例式求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）当t=2时，AP=2，BQ=4，PB=4，‎ ‎∴S△PBQ=BP•BQ=8（cm2），‎ ‎（2）∵AP=t，BQ=2t，PB=6﹣t，‎ ‎∴S四边形APQC=AB•BC﹣BP•BQ=36﹣（6﹣t）t=t2﹣6t+36=（t﹣3）2+27，‎ ‎∴当t=3时，S四边形APQC有最小值27cm2． ‎ ‎（3）∵△PQB、△ABC是直角三角形 ‎∴由即解得t=3，‎ 由即 解得t=1.2，‎ ‎∴当t=1.2或t=3时，△PQB与△ABC相似．‎ ‎【点评】此题主要考查了二次函数应用和相似三角形的判定，熟悉二次函数的性质和相似三角形的判定是解决问题的关键．‎ ‎26．（13分）如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B．求：‎ ‎（1）点A、B的坐标；‎ ‎（2）抛物线的函数表达式；‎ ‎（3）在抛物线对称轴上是否存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 19‎ ‎【考点】二次函数综合题． ‎ ‎【分析】（1）由y=﹣3x+3得，当x=0时，y=3；当y=0时，x=1，即可确定点A，B的坐标；‎ ‎（2）把点A（1，0）、B（0，3）代入y=a（x﹣2）2+k得：，解得，即可解答；‎ ‎（3）存在，由AO=1，BO=3，得到AB=．设对称x轴交于点D，P（2y），D（2，0），所以DA=1，PD=|y|，PA2=PD2+DA2=y2+1，分三种情况讨论解答：当PA=AB即PA2=AB2=10时；当PB=AB即PB2=AB2=10时；当PA=PB即PA2=PB2时．‎ ‎【解答】解：（1）由y=﹣3x+3得，当x=0时，y=3；当y=0时，x=1‎ ‎∴A（1，0）、B（0，3）． ‎ ‎（2）把点A（1，0）、B（0，3）代入y=a（x﹣2）2+k得：‎ 解得 ‎∴抛物线的函数表达式为y=（x﹣2）2﹣1． ‎ ‎（3）∵AO=1，BO=3，‎ ‎∴AB=．‎ 设对称x轴交于点D，P（2，y），D（2，0），‎ ‎∴DA=1，PD=|y|，PA2=PD2+DA2=y2+1，‎ 当PA=AB即PA2=AB2=10时，‎ ‎∴y2+1=10，‎ 解得y=±3‎ ‎∴P（2，±3），‎ 但当P（2，﹣3）时，P、A、B在同一条直线上，不合题意舍去．‎ ‎∴P1（2，3），‎ 当PB=AB即PB2=AB2=10时，如图，过B作BE⊥对称轴于点E，‎ 19‎ 则E（2，3），EB=2，PE2=（y﹣3）2，‎ ‎∴PB2=PE2+BE2=（y﹣3）2+4=10，‎ 解得 ‎∴P2（2，3+）、P3（2，3﹣），当PA=PB即PA2=PB2时，‎ y2+1=（y﹣3）2+4‎ 解得y=2，‎ ‎∴P4（2，2）．‎ 综上所述，所求的点为P1（2，3），P2（2，3+），P3（2，3﹣），P4（2，2）．‎ ‎【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二元一次方程组的解法，等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数的性质，在（3）中解决问题的关键是采用分类讨论思想解答．‎ 19‎