2015年秋季南侨中学、荷山中学、南安三中、永春三中、永春侨中
高中毕业班第一次联合考试数学（理科）试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．
第I卷（选择题，共60分）
注意事项：
１． 答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号、考试科目涂写在答题卡上．
２． 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{1，2，3，5}，B＝{2，4，6}，
则右图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A．{2} B．{4，6}
C．{1，3，5} D．{4，6，7，8}
2．已知，且为纯虚数，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数是定义在上的偶函数，在上是单调函数，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
4．已知是首项为1的等比数列，且，则数列的前5项和为（ ）
A. 31 B. C.11 D.
5．已知角顶点在原点，始边为轴正半轴，终边与圆心在原点的单位圆交于点，
则 ( )
A． B． C． D．
6. 已知{an}为等差数列，a2＋a8＝，则S9等于 ( )
A．6 B．5 C．4 D．7
7. 设、是两个不同的平面，为两条不同的直线.
命题p：若平面，，，则；
命题q：，，，则，则下列命题为真命题的是( )
A．p或q B．p且q C．或q D．p且
10
8.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积是（ ）
A． B．
C． D．
9. 函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
10．若点是所在平面内一点，且满足=+，则与的面积之比等于（ ）
A． B． C． D．
11．已知三棱锥中，平面平面，,,
,则三棱锥的外接球的大圆面积为（ ）
A． B． C． D．
12. 已知函数与的图像上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题，共90分）
注意事项：1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚；
2.考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无效．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分
13. 幂函数过点，则定积分＝ ．
14.已知向量＝(cos α，－2)，＝(sin α，1)，且∥，则等于
15. 变量满足约束条件，且得最小值为，则 .
10
16.等差数列的前项和为，已知，且，，则=__________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(本小题满分12分)已知向量, ， .
（Ⅰ）若，求向量，的夹角；
（II）求函数的最大值．
18．(本小题满分12分)已知等差数列的公差不为零，其前n项和为，若=70，且成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和为．
19．(本小题满分12分)如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且BD=2，．
（Ⅰ）求sin∠BAD的值；
（Ⅱ）求及AC边的长．
10
20．(本小题满分12分)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，则截面与底面之间的部分叫棱台．如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底A1B1C1D1是边长为1的正方形，侧棱DD1⊥平面ABCD，DD1=2．
（Ⅰ）求证：B1B∥平面D1AC；
（Ⅱ）求平面B1AD1与平面CAD1夹角的余弦值．
21．（本小题满分12分）已知函数(其中为常数且)在处的切线与x轴平行.
（Ⅰ）当时，求的单调区间；
（Ⅱ）若在上的最大值为，求的值.
请考生从22、23、24题中任选一题作答．
选修4-1：几何证明选讲
22．如图，已知AD，BE，CF分别是△ABC三边的高，H是垂心，AD的延长线交△ABC的外接圆于点G．求证：DH=DG．
选修4-4：坐标系与参数方程
23． 已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线C1、C2的普通方程；
（Ⅱ）若曲线C1、C2有公共点，求的取值范围．
选修4-5：不等式选讲
24． 已知定义在上的函数的最小值为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，是正实数，且，求的最小值．
10
参考答案及评分标准
一、选择题
1--5． BDCBD 6--10．ACCA D 11--12．AB
二、填空题
13.. 14. . 15. . 16.
三、解答题：
17.解：（1）当时，，
所以，，因而；…………….6分
（2），
所以函数的最大值是
18．解：（Ⅰ）由题知，即， ------2分
解得或（舍去）， -----------4分
所以数列的通项公式为 ． -------6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ， 则 -----9分
则
- ---12分
19.考点：正弦定理．
专题：解三角形．
分析：（1）由BD，sinB，AD的值，利用正弦定理求出sin∠BAD的值即可；
（2）由sinB的值求出cosB的值，由sin∠BAD的值求出cos∠BAD的值，利用两角和与差的余弦函数公式求出cos∠ADC的值，在三角形ACD中，利用余弦定理即可求出AC的长．
解答： 解：（1）在△ABD中，BD=2，sinB=，AD=3，
∴由正弦定理=，得sin∠BAD===；…………….5分
10
（2）∵sinB=，∴cosB=，
∵sin∠BAD=，∴cos∠BAD=，
∴cos∠ADC=cos（∠B+∠BAD）=×﹣×=﹣，…………….9分
∵D为BC中点，∴DC=BD=2，
∴在△ACD中，由余弦定理得：AC2=AD2+DC2﹣2AD•DCcos∠ADC=9+4+3=16，
∴AC=4．…………….12分
点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．
20.考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．
专题： 综合题；空间角．
分析： （Ⅰ）建立空间直角坐标系，证明，可得B1B∥D1E，利用线面平行的判定，可得B1B∥平面D1AC；
（II）求得平面B1AD1、平面D1AC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面B1AD1与平面CAD1夹角的余弦值．
解答： （Ⅰ）证明：以D为原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴，z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图，则有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（1，0，2），B1（1，1，2），C1（0，1，2），D1（0，0，2）．…（3分）
设AC∩BD=E，连接D1E，则有E（1，1，0），=（1，1，﹣2），所以B1B∥D1E，
∵B1B⊄平面D1AC，D1E⊂平面D1AC
∴B1B∥平面D1AC；…（6分）
（II）解：
设为平面B1AD1的法向量，则，即，
于是可取…（8分）
同理可以求得平面D1AC的一个法向量，…（10分）
∴cos＜＞==
∴平面B1AD1与平面CAD1夹角的余弦值为．…（12分）
10
点评： 本题考查了线面平行的判定，考查二面角平面角，考查利用向量方法解决立体几何问题，属于中档题．
21.解：（1）因为所以………………2分
因为函数在处切线与x轴平行
………………3分
当时，,，
随的变化情况如下表：
0
0
极大值
极小值
所以的单调递增区间为,单调递减区间为………………6分
(2)因为
令,………………6分
时，在上单调递增，在上单调递减
所以在区间上的最大值为，令，解得,所以………………8分
当，
10
当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增
所以最大值1可能在或处取得
而
所以，解得，……………10分
当时,在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增
所以最大值1可能在或处取得
而
所以，
解得，与矛盾………………11分
当时，在区间上单调递增，在单调递减，
所以最大值1可能在处取得，而，矛盾
综上所述，. 或 ………………12分
请考生从22、23、24题中任选一题作答．选修4-1：几何证明选讲
22．如图，已知AD，BE，CF分别是△ABC三边的高，H是垂心，AD的延长线交△ABC的外接圆于点G．求证：DH=DG．
考点： 与圆有关的比例线段．
专题： 计算题；直线与圆．
分析： 连结CG，利用同角的余角相等证出∠GAB=∠FCB=90°﹣∠ABC．根据同弧所对 的圆周角相等，证出∠GCB=∠FCB，从而得出∠GCB=∠FCB，得△CHG是以HG为底边的等腰三角形，利用“三线合一”证出DH=DG．
解答： 解：连结CG，
∵AD⊥BC，∴∠ABC+∠GAB=90°
同理可得∠ABC+∠FCB=90°，从而得到∠GAB=∠FCB=90°﹣∠ABC
又∵∠GAB与∠GCB同对弧BG，
10
∴∠GAB=∠GCB，可得∠GCB=∠FCB，
∵CD⊥GH，即CD是△GCH的高线
∴△CHG是以HG为底边的等腰三角形，可得DH=DG．
点评： 本题给出圆内接三角形的垂心，求证线段相等．着重考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质和直角三角形的性质等知识，属于基础题．
选修4-4：坐标系与参数方程
23． 已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2．
（1）求曲线C1、C2的普通方程；
（2）若曲线C1、C2有公共点，求a的取值范围．
考点： 直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．
专题： 坐标系和参数方程．
分析： （1）由参数方程和普通方程的关系易得曲线C1、C2的普通方程分别为：x+y﹣a=0，x2+y2=4；
（2）由直线和圆的位置关系可得圆心（0，0）到直线x+y﹣a=0的距离d≤2，由距离公式可得d的不等式，解不等式可得．
解答： 解：（1）∵曲线C1的参数方程为（t为参数），
∴消去参数t可得x+y﹣a=0，
又曲线C2的极坐标方程为ρ=2，
∴=2，平方可得x2+y2=4，
∴曲线C1、C2的普通方程分别为：x+y﹣a=0，x2+y2=4；
（2）若曲线C1、C2有公共点，
则圆心（0，0）到直线x+y﹣a=0的距离d≤2，
∴≤2，解得﹣≤a≤
∴a的取值范围为：[﹣，]
点评： 本题考查直线和圆的参数方程，涉及直线和圆的位置关系，属基础题．
选修4-5：不等式选讲
10
24． 已知定义在R上的函数f（x）=|x﹣1|+|x+2|的最小值为a．
（1）求a的值；
（2）若m，n是正实数，且m+n=a，求+的最小值．
考点： 基本不等式在最值问题中的应用；带绝对值的函数．
专题： 计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析： （1）由|x﹣1|+|x+2|的几何意义表示了数轴上点x到点1与到点﹣2的距离之和可知a=3；
（2）+=+=1++≥1+2=1+．利用基本不等式．
解答： 解：（1）由|x﹣1|+|x+2|的几何意义表示了数轴上点x到点1与到点﹣2的距离之和，
如图：
则x在[﹣2，1]上时，函数f（x）=|x﹣1|+|x+2|取得最小值a=3．
即a=3．
（2）由题意，m+n=3，
则+=+
=+++=1++≥1+2=1+． 说明:字母有误,请老师们注意看
（当且仅当=时，等号成立）．
即+的最小值为1+．
点评： 本题考查了绝对值函数的最值与基本不等式的应用，属于基础题．
10
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