广东省中山一中等七校联合体2016届高三数学第二次（12月）联考试题 理.doc

广东省七校联合体2016届高三第二次联考试卷 数学理 第Ⅰ卷 一、选择题：‎ ‎01．设复数满足，则( )‎ A．3 B．-3 ‎ C．3i D．-3i ‎02．求值( )‎ A． B．- ‎ C． D．-‎ ‎03．“a≤‎-3”‎是“f(x)=-|x+a|在内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．为了解某地区居民的幸福感情况，随机对该地区的男、女居民各500人进行了调查，调查数据如表所示：‎ 幸福感指数 ‎[0，2)‎ ‎[2，4)‎ ‎[4，6)‎ ‎[6，8)‎ 男居民人数 ‎10‎ ‎20‎ ‎220‎ ‎125‎ ‎125‎ 女居民人数 ‎10‎ ‎10‎ ‎180‎ ‎175‎ ‎125‎ 根据表格，解答下面的问题：‎ ‎(Ⅰ)在右图中绘出频率分布直方图，并估算该地区居民幸福感指数的平均值；‎ ‎(Ⅱ)如果居民幸福感指数不小于6，则认为其幸福．为了进一步了解居民的幸福满意度，调查组又在该地区随机抽取4对夫妻进行调查，用X表示他们之中幸福夫妻(夫妻二人都感到幸福)的对数，求X的分布列及期望(以样本的频率作为总体的概率)．‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 如图是某直四棱柱被平面α所截得的部分，‎ 底面ABCD是矩形，侧棱GC、ED、FB都垂 直于底面ABCD，GC=3，AB=，BC=，‎ 四边形AEFG为菱形，经过C且垂直于AG的 平面与EG、AG、FG分别交于点M、H、N；‎ ‎⑴求证：CN⊥BH；‎ ‎⑵求面AFGE与底面ABCD所成二面角的余弦值。‎ ‎20．(本小题满分12分)‎ 椭圆的上顶点为A，‎ 8‎ 是C上的一点,以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F．‎ ‎⑴求椭圆C的方程；‎ ‎⑵设过点M的动直线与椭圆C相交于D、E两点，求面积的最大值 ‎21．(本小题满分12分)‎ 已知函数，‎ ‎⑴若函数在区间无零点，求实数的最小值；‎ ‎⑵若对任意给定的，方程在上总存在两个不等的实根，求实数a的取值范围．‎ 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。‎ ‎22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲 ‎ 如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B、C，∠APC的平分线分别交AB、AC于点D、E，‎ ‎⑴证明：∠ADE=∠AED；‎ ‎⑵若AC=AP，求的值.‎ ‎23．(本题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.‎ 已知曲线C： (t为参数)， C：(为参数).‎ ‎⑴化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；‎ 8‎ ‎⑵若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线距离的最大值． ‎ ‎24．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎⑴若的解集为，求实数的值；‎ ‎⑵当时，当时，不等式恒成立，求的取值范围.‎ 七校联合体2016届高三第二次联考试卷 理科数学（答案）‎ 一、选择题：CCDCBD、ABCADB 二、填空题：‎ ‎-2 6‎ 三、解答题 ‎17．解：⑴当n≥2时， ……①‎ ‎∴ ……②【1分】‎ ‎∴②-①得，即 ……【3分】‎ 由，得 ……【4分】‎ ‎∴ ……【6分】‎ ‎∵、都满足上式 8‎ ‎∴ ……【7分】‎ ‎⑵……【9分】‎ ‎0.20‎ ‎0.15‎ ‎0.20‎ ‎∴‎ ‎ ……【12分】‎ ‎18．解：(1)频率分布直方图如右……【3分】‎ 所求的平均值为：‎ ‎0.01×2×1+0.015×2×3+0.2×2×5‎ ‎+0.15×2×7+0.125×2×9=6.46……【5分】‎ ‎(2) 男居民幸福的概率为 女居民幸福的概率为 故一对夫妻都幸福的概率为0.5×0.6=0.3……【7分】‎ 因此X的可能取值为0，1，2，3，4，且X～B(4,0.3) ……【8分】‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ p ‎0.2401‎ ‎0.4116‎ ‎0.2646‎ ‎0.0756‎ ‎0.0081‎ ‎……【11分】‎ ‎∴ ……【12分】‎ 8‎ ‎19．⑴证：连结BH，由题知AB⊥面BCGF 又∵CN面BCGF，∴AB⊥CN ……【1分】‎ ‎∵AG⊥面CMN，∴AG⊥CN ……【2分】‎ 又∵AG∩AB=A，AG、AB面BAH，∴CN⊥面BAH……【4分】‎ 又∵BH面BAH，∴CN⊥BH ……【5分】‎ ‎⑵解：以DA、DC、DE为x、y、z轴，建立空间直角坐标系……【6分】‎ ‎∵四边形AEFG为菱形，可设AE=EG=a，DE=b 由，得 由，得 以上面两式解得：a=3，b=2 ……【8分】‎ ‎∴、、‎ ‎∴、‎ 由，解得为面AFGE的一个法向量……【10分】‎ 由题知为面ABCD的一个法向量 ‎∴，∴所求二面角的余弦值为……【12分】‎ ‎20．解：⑴由题知：，∴‎ ‎∵，，即……【1分】‎ 又且， ……【2分】‎ ‎∴，∴椭圆的方程为：……【4分】‎ ‎⑵依题意可设动直线的方程为：‎ 设 由可得 ……【5分】‎ 则，解得……【6分】‎ 由韦达定理可得， ……【7分】‎ 8‎ ‎∴‎ ‎……【8分】‎ 设点O到直线的距离为, 则 ‎∴‎ ‎……【10分】‎ ‎ ‎ ‎∴当即时，取得最大值，最大值为 ‎21．解：⑴记，，则 ‎∵在上无零点，∴直线与曲线在上无交点 只需，即 解得，∴a的最小值是……【4分】‎ ‎⑵，‎ 在上，，单调增；在上，，单调减 ‎，，‎ ‎∴在上的值域为 ……【6分】‎ ‎①当时，在上，，单调减，不合题意……【7分】‎ ‎②当时，令得 ‎(i)当时，即时，‎ 在上，，单调减，不合题意……【8分】‎ ‎(ii)当时，即时，‎ 在上，，单调减；在上，，单调增 8‎ ‎∵，使得……【9分】‎ ‎∴要使方程在上总存在两个不等的实根 只需，即……（*） ……【10分】‎ 令， ，令得x=0‎ 在上，，单调增；在上，，单调减 ‎∴，‎ ‎∴（*）式的解为 ……【11分】‎ ‎∴，∴实数a的取值范围是……【12分】‎ ‎22．解：(1)∵PA是切线，AB是弦，∴∠BAP=∠C 又∵∠APD=∠CPE，∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE ‎∵∠ADE=∠BAP+∠APD, ∠AED=∠C+∠CPE ‎∴∠ADE=∠AED …………【5分】‎ ‎(2)由(1)知∠BAP=∠C,又∠APC=∠BPA,∴DAPC∽DBPA,=,‎ ‎∵AC=AP, ∠BAP=∠C=∠APC,‎ 由三角形的内角和定理知：∠C+∠APC+∠PAC=180º,‎ ‎∵BC是圆O的直径,∴∠BAC=90º ‎∴∠C+∠APC+∠BAP=90º,∴∠C=∠APC=∠BAP=30º,‎ 在RtDABC中, =,∴= …………【10分】‎ ‎23．解：⑴由C： (t为参数)可得 由C：(为参数)可得 曲线C是以为圆心，以1为半径的圆；‎ 曲线C是焦点在轴上的椭圆； …………【4分】‎ ‎⑵由已知可得点P，Q，则 8‎ 又直线可化为：‎ 设到直线的距离为，‎ 则 ‎(其中)‎ ‎ ∴的最大值为 …………【10分】‎ ‎24．解：⑴由题意可得和是方程的两根 ‎∴ 解得 …………【4分】‎ ‎⑵当时，不等式可化为 令 当时， ‎ ‎∴当时，不等式恒成立 只需满足即可 ‎∴，∴的取值范围为. …………【10分】‎ 8‎