山东省济宁市坟上县康驿二中2015-2016学年九年级数学上学期期末模拟试题
一、精心选一选（每小题3分，共30分）
1．下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（ ）
A．y=﹣ B．y= C．y= D．y=
2．如图，∠BOD的度数是（ ）
A．55° B．110° C．125° D．150°
3．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，已知∠A=100°，∠C=30°，则∠DFE的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
4．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同．小张通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是（ ）
A．6 B．16 C．18 D．24
5．化简：x的结果是（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
6．一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a＞0，b＜0，c＜0，则这个方程根的情况是（ ）
A．有两个正根
B．有两个负根
C．有一正根一负根且正根绝对值大
D．有一正根一负根且负根绝对值大
18
7．在△ABC中，∠A=50°，O为△ABC的内心，则∠BOC的度数是（ ）
A．115° B．65° C．130° D．155°
8．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+3=0有两相异实根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜ B．k＜且k≠1 C．0＜k＜ D．k≠1
9．两圆的圆心坐标分别为（3，0）、（0，4），它们的直径分别为4和6，则这两圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．相交 C．外切 D．内切
10．以下命题正确的是（ ）
A．圆的切线一定垂直于半径
B．圆的内接平行四边形一定是正方形
C．直角三角形的外心一定也是它的内心
D．任意一个三角形的内心一定在这个三角形内
二、耐心填一填（每小题4分，共36分）
11．方程x2﹣6x+4=0的两个实根分别为x1、x2，那么（x1﹣x2）2的值为 ．
12．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于E，若EB=1cm，CD=4cm，则弦心距OE的长是 cm．
13．已知等边三角形的边长是4，则它的一边上的高是 ，外接圆半径是 ．
14．（1）（）2= ；（2）= ．
15．已知圆锥的母线长为4cm，底面圆的半径为3cm，则此圆锥的侧面积是 cm2．
16．已知两圆的半径分别为1和3．若两圆相切，则两圆的圆心距为 ．
17．已知点A（2，4）与点B（b﹣1，2a）关于原点对称，则a= ，b= ．
18
18．如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm，母线OE（OF）长为10cm．在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离 cm．
19．如图所示，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=40°，点C是⊙O上不同于A、B的任意一点，则∠ACB的度数为 ．
三、解答题
20．解方程：
（1）x2﹣3x﹣5=0（用配方法）；
（2）（2x﹣3）2=x2．
21．如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度；已知△ABC；
①将△ABC向x轴正方向平移5个单位得△A1B1C1，
②再以O为旋转中心，将△A1B1C1旋转180°得△A2B2C2，画出平移和旋转后的图形，并标明对应字母．
22．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．
（1）求证：BC是⊙O切线；
（2）若BD=5，DC=3，求AC的长．
18
23．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；
（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
24．已知：a+b=﹣5，ab=1，求：的值．
25．如图，矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB为直径的半圆O与DC相切于点E，则阴影部分的面积为多少？（结果保留π）
26．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A、与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB．
（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；
（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AB=8cm，BC=10cm，求大圆与小圆围成的圆环的面积．（结果保留π）
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2015-2016学年山东省济宁市坟上县康驿二中九年级（上）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、精心选一选（每小题3分，共30分）
1．下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（ ）
A．y=﹣ B．y= C．y= D．y=
【考点】函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．
【专题】压轴题．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0可求出各个函数的自变量的取值范围．
【解答】解：根据二次根式的性质和分式的意义，可知：
A、2﹣x≥0，即x≤2；
B、x﹣2≥0，即x≥2；
C、x2≤4，即﹣2≤x≤2；
D、x﹣2＞0，即x＞2．
故选B
【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
2．如图，∠BOD的度数是（ ）
A．55° B．110° C．125° D．150°
【考点】圆周角定理．
【分析】根据同弧所对的圆心角与圆周角的关系进行分析．
【解答】解：∠BOD=2（∠A+∠E）=110°．
故选B．
【点评】此题主要考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，已知∠A=100°，∠C=30°，则∠DFE的度数是（ ）
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A．55° B．60° C．65° D．70°
【考点】三角形的内切圆与内心．
【专题】压轴题．
【分析】根据三角形的内角和定理求得∠B=50°，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理，得∠DOE=130°，再根据圆周角定理得∠DFE=65°．
【解答】解：∵∠A=100°，∠C=30°，
∴∠B=50°，
∵∠BDO=∠BEO，
∴∠DOE=130°，
∴∠DFE=65°．
故选C．
【点评】熟练运用三角形的内角和定理、四边形的内角和定理以及切线的性质定理、圆周角定理．
4．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同．小张通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是（ ）
A．6 B．16 C．18 D．24
【考点】利用频率估计概率．
【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率=频数计算白球的个数，即可求出答案．
【解答】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，
∴摸到白球的频率为1﹣15%﹣45%=40%，
故口袋中白色球的个数可能是40×40%=16个．
故选B．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
5．化简：x的结果是（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【考点】二次根式的性质与化简．
【分析】根据二次根式的性质由题意可知x＜0，我们在变形时要注意原式的结果应该是个负数，然后根据二次根式的性质化简而得出结果．
【解答】解：原式=x
=x
18
=x
=﹣
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的性质与二次根式的化简，关键要把握住二次根式成立的条件．
6．一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a＞0，b＜0，c＜0，则这个方程根的情况是（ ）
A．有两个正根
B．有两个负根
C．有一正根一负根且正根绝对值大
D．有一正根一负根且负根绝对值大
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【分析】根据根的判别式△=b2﹣4ac的符号，就可判断出一元二次方程的根的情况；由根与系数的关系可以判定两根的正负情况．
【解答】解：∵a＞0，b＜0，c＜0，
∴△=b2﹣4ac＞0，＜0，﹣＞0，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，且两根异号，正根的绝对值较大．
故选：C．
【点评】此题考查了根的判别式；一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
7．在△ABC中，∠A=50°，O为△ABC的内心，则∠BOC的度数是（ ）
A．115° B．65° C．130° D．155°
【考点】三角形的内切圆与内心．
【分析】由三角形的内角和定理可知∠ABC+∠ACB=130°，从而可求得∠OBC+∠OCB=65°，最后利用三角形的内角和定理可求得∠BOC=115°．
【解答】解：如图所示：
∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=130°．
∵O为△ABC的内心，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB．
18
∴∠OBC+OCB=×130°=65°．
∴∠BOC=180°﹣65°=115°．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是三角形的内心，根据三角形内心的特点得到∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB是解题的关键．
8．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+3=0有两相异实根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜ B．k＜且k≠1 C．0＜k＜ D．k≠1
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【专题】计算题．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）×3＞0，然后解两个不等式即可得到满足条件的k的范围．
【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）×3＞0，
所以k＜且k≠1．
故选B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
9．两圆的圆心坐标分别为（3，0）、（0，4），它们的直径分别为4和6，则这两圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．相交 C．外切 D．内切
【考点】圆与圆的位置关系；坐标与图形性质．
【分析】由两圆的圆心坐标分别为（3，0）、（0，4），可求得圆心距，又由它们的直径分别为4和6，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系得出两圆位置关系．
【解答】解：∵两圆的圆心坐标分别为（3，0）、（0，4），
∴两圆的圆心距为： =5，
∵它们的直径分别为4和6，
∴它们的半径和为：2+3=5，
∴这两圆的位置关系是：外切．
故选C．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
10．以下命题正确的是（ ）
A．圆的切线一定垂直于半径
B．圆的内接平行四边形一定是正方形
C．直角三角形的外心一定也是它的内心
D．任意一个三角形的内心一定在这个三角形内
【考点】命题与定理．
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【分析】根据切线的性质对A进行判断；根据圆内接四边形的性质和矩形的判定方法对B进行判断；根据内心和外心的定义对C、D进行判断．
【解答】解：A、圆的切线垂直于过切点的半径，所以A选项错误；
B、圆的内接平行四边形一定是矩形，所以B选项错误；
C、直角三角形的外心为斜边的中点，而它的内心在三角形内部，所以C选项错误；
D、任意一个三角形的内心一定在这个三角形内，所以D选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
二、耐心填一填（每小题4分，共36分）
11．方程x2﹣6x+4=0的两个实根分别为x1、x2，那么（x1﹣x2）2的值为 20 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=6，x1•x2=4，再把（x1﹣x2）2变形为（x1+x2）2﹣4x1•x2，然后利用整体思想进行计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2=6，x1•x2=4，
（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1•x2=62﹣4×4=20．
故答案为：20．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了代数式的变形能力．
12．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于E，若EB=1cm，CD=4cm，则弦心距OE的长是 1.5 cm．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】计算题．
【分析】连结OC，设⊙O的半径为R，先根据垂径的定理得到CE=4，再根据勾股定理得到R2=（R﹣1）2+22，解得R=，然后利用OE=R﹣1进行计算．
【解答】解：连结OC，如图，设⊙O的半径为R，
∵AB⊥弦CD，
∴CE=DE=CD=×4=2，
在Rt△OCE中，OC=R，OE=R﹣1，
∵OC2=OE2+CE2，
∴R2=（R﹣1）2+22，解得R=，
18
∴OE=﹣1=1.5（cm）．
故答案为1.5．
【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
13．已知等边三角形的边长是4，则它的一边上的高是 2 ，外接圆半径是 ．
【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质．
【分析】根据题意画出图形，根据锐角三角函数的定义可得出AD的长，再根据三角形重心的性质即可得出结论．
【解答】解：如图所示，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，AB=4，
∴AD=AB•sin60°=4×=2，
∵等边三角形的外心与重心重合，
∴OA=AD=×2=．
故答案为：2，．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知等边三角形“三线合一”的性质是解答此题的关键．
14．（1）（）2= 20 ；（2）= ．
【考点】二次根式的乘除法．
【分析】根据二次根式的乘法法则计算．
【解答】解：（1）（）2=4×5=20；
（2）=．
故（1）答案为20；（2）答案为．
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【点评】主要考查了二次根式的平分运算乘法运算．二次根式的平方法则为；乘法法则．
15．已知圆锥的母线长为4cm，底面圆的半径为3cm，则此圆锥的侧面积是 12π cm2．
【考点】圆锥的计算．
【专题】计算题．
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算即可．
【解答】解：圆锥的侧面积=•2π•3•4=12π（cm2）．
故答案为12π．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
16．已知两圆的半径分别为1和3．若两圆相切，则两圆的圆心距为 4或2 ．
【考点】圆与圆的位置关系．
【分析】由两圆相切，可从内切与外切去分析，又由两圆的半径分别为1和3，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可求得两圆的圆心距．
【解答】解：∵两圆的半径分别为1和3，
若两圆内切，则两圆的圆心距为：3﹣1=2；
若两圆外切，则两圆的圆心距为：3+1=4；
∴两圆的圆心距为4或2．
故答案为：4或2．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．
17．已知点A（2，4）与点B（b﹣1，2a）关于原点对称，则a= ﹣2 ，b= ﹣1 ．
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：点A（2，4）与点B（b﹣1，2a）关于原点对称，得
b﹣1=﹣2，2a=﹣4．
解得a=﹣2，b=﹣1，
故答案为；﹣2，﹣1．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．
18．如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm，母线OE（OF）长为10cm．在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离 2 cm．
18
【考点】平面展开-最短路径问题；圆锥的计算．
【专题】压轴题．
【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【解答】解：因为OE=OF=EF=10（cm），
所以底面周长=10π（cm），
将圆锥侧面沿OF剪开展平得一扇形，此扇形的半径OE=10（cm），弧长等于圆锥底面圆的周长10π（cm）
设扇形圆心角度数为n，则根据弧长公式得：
10π=，
所以n=180°，
即展开图是一个半圆，
因为E点是展开图弧的中点，
所以∠EOF=90°，
连接EA，则EA就是蚂蚁爬行的最短距离，
在Rt△AOE中由勾股定理得，
EA2=OE2+OA2=100+64=164，
所以EA=2（cm），
即蚂蚁爬行的最短距离是2（cm）．
【点评】圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
19．如图所示，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=40°，点C是⊙O上不同于A、B的任意一点，则∠ACB的度数为 70°或110° ．
【考点】切线的性质．
【分析】首先连接OA、OB，在AB弧上任取一点C，连接AC、BC，由PA、PB是⊙
18
O的切线，根据切线的性质，可得∠OAP=∠OBP=90°，又由∠APB=40°，即可求得∠AOB的度数，然后分别从①若C点在优弧AB上与②若C点在劣弧AB上去分析，即可求得∠ACB的度数．
【解答】解：连接OA、OB，在AB弧上任取一点C，连接AC、BC，
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠APB=40°，
∴在四边形OAPB中，∠AOB=360°﹣∠APB﹣∠OAP﹣∠OBP=140°．
①若C点在优弧AB上，则∠ACB=∠AOB=70°；
②若C点在劣弧AB上，则∠ACB=180°﹣70°=110°，
故答案为：70°或110°．
【点评】此题主要考查了切线的性质与圆周角的性质，解题的关键是注意数形结合思想与分类讨论思想的应用，注意辅助线的作法．
三、解答题
20．解方程：
（1）x2﹣3x﹣5=0（用配方法）；
（2）（2x﹣3）2=x2．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
【专题】计算题．
【分析】（1）利用配方法解方程；
（2）首先移项得到（2x﹣3）2﹣x2=0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）x2﹣3x=5，
x2﹣3x+=5+，
（x﹣）2=
x﹣=±，
所以x1=，x2=；
（2）（2x﹣3）2﹣x2=0，
（2x﹣3﹣x）（2x﹣3+x）=0，
2x﹣3﹣x=0或2x﹣3+x=0，
所以x1=3，x2=1．
【点评】
18
本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．
21．如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度；已知△ABC；
①将△ABC向x轴正方向平移5个单位得△A1B1C1，
②再以O为旋转中心，将△A1B1C1旋转180°得△A2B2C2，画出平移和旋转后的图形，并标明对应字母．
【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．
【专题】作图题；网格型．
【分析】将A、B、C按平移条件找出它的对应点A1、B1、C1，顺次连接A1B1、B1C1、C1A1，即得到平移后的图形；利用关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，分别作出点A、B、C的对应点，顺次连接，即可解决问题．
【解答】解：每画对一个图给（3分），结论给（1分），共（7分）
没有标明字母适当扣分．
【点评】本题需利用平移和中心对称的性质，确定关键点的对应点，然后顺次连接即可解决问题．
22．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．
（1）求证：BC是⊙O切线；
（2）若BD=5，DC=3，求AC的长．
18
【考点】切线的判定．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）要证BC是⊙O的切线，只要连接OD，再证OD⊥BC即可．
（2）过点D作DE⊥AB，根据角平分线的性质可知CD=DE=3，由勾股定理得到BE的长，再通过证明△BDE∽△BAC，根据相似三角形的性质得出AC的长．
【解答】（1）证明：连接OD；
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠3．（1分）
∵OA=OD，
∴∠1=∠2．
∴∠2=∠3．
∴∥AC．（2分）
∴∠ODB=∠ACB=90°．
∴OD⊥BC．
∴BC是⊙O切线．（3分）
（2）解：过点D作DE⊥AB，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴CD=DE=3．
在Rt△BDE中，∠BED=90°，
由勾股定理得：，（4分）
∵∠BED=∠ACB=90°，∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC．（5分）
∴．
∴．
∴AC=6．（6分）
18
【点评】本题综合性较强，既考查了切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了角平分线的性质，勾股定理得到BE的长，及相似三角形的性质．
23．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；
（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】销售问题．
【分析】此题属于经营问题，若设每件衬衫应降价x元，则每件所得利润为（40﹣x）元，但每天多售出2x件即售出件数为（20+2x）件，因此每天赢利为（40﹣x）（20+2x）元，进而可根据题意列出方程求解．
【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x元，
根据题意得（40﹣x）（20+2x）=1200，
整理得2x2﹣60x+400=0
解得x1=20，x2=10．
因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，
故每件衬衫应降20元．
答：每件衬衫应降价20元．
（2）设商场平均每天赢利y元，则
y=（20+2x）（40﹣x）
=﹣2x2+60x+800
=﹣2（x2﹣30x﹣400）=﹣2[（x﹣15）2﹣625]
=﹣2（x﹣15）2+1250．
∴当x=15时，y取最大值，最大值为1250．
答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元．
【点评】（1）当降价20元和10元时，每天都赢利1200元，但降价10元不满足“尽量减少库存”，所以做题时应认真审题，不能漏掉任何一个条件；
（2）要用配方法将代数式变形，转化为一个完全平方式与一个常数和或差的形式．
24．已知：a+b=﹣5，ab=1，求：的值．
【考点】二次根式的化简求值．
【分析】先根据已知条件确定a，b的符号，再把代数式化简把已知代入求值．
【解答】解：∵a+b=﹣5，ab=1，
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∴a＜0，b＜0，
∴原式=+=﹣（+）=﹣=5．
【点评】先化简再代入，应该是求值题的一般步骤；不化简，直接代入，虽然能求出结果，但往往导致繁琐的运算．
25．如图，矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB为直径的半圆O与DC相切于点E，则阴影部分的面积为多少？（结果保留π）
【考点】扇形面积的计算；切线的性质．
【分析】连接OE．先求空白部分BCE的面积，再用△BCD的面积﹣空白部分BCE的面积得阴影面积．
【解答】解：连接OE．
阴影部分的面积=S△BCD﹣（S正方形OBCE﹣S扇形OBE）=×2×4﹣（2×2﹣π×2×2）=π．
答：阴影部分的面积为π．
【点评】本题考查了三角形的面积、矩形的性质、切线的性质的应用，关键是能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积，题目比较典型，主要培养了学生的计算能力．
26．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A、与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB．
（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；
（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AB=8cm，BC=10cm，求大圆与小圆围成的圆环的面积．（结果保留π）
【考点】切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】几何综合题；压轴题．
【分析】（1）只要证明OE垂直BC即可得出BC是小圆的切线，即与小圆的关系是相切．
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（2）利用全等三角形的判定得出Rt△OAD≌Rt△OEB，从而得出EB=AD，从而得到三者的关系是前两者的和等于第三者．
（3）根据大圆的面积减去小圆的面积即可得到圆环的面积．
【解答】解：（1）BC所在直线与小圆相切．
理由如下：
过圆心O作OE⊥BC，垂足为E；
∵AC是小圆的切线，AB经过圆心O，
∴OA⊥AC；
又∵CO平分∠ACB，OE⊥BC，
∴OE=OA，
∴BC所在直线是小圆的切线．
（2）AC+AD=BC．
理由如下：
连接OD．
∵AC切小圆O于点A，BC切小圆O于点E，
∴CE=CA；
∵在Rt△OAD与Rt△OEB中，，
∴Rt△OAD≌Rt△OEB（HL），
∴EB=AD；
∵BC=CE+EB，
∴BC=AC+AD．
（3）∵∠BAC=90°，AB=8cm，BC=10cm，
∴AC=6cm；
∵BC=AC+AD，
∴AD=BC﹣AC=4cm，
∵圆环的面积为：S=π（OD）2﹣π（OA）2=π（OD2﹣OA2），
又∵OD2﹣OA2=AD2，
∴S=42π=16π（cm2）．
【点评】此题考查了学生对切线的性质与判定，全等三角形的判定，勾股定理等知识点的综合运用能力．
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