人教版九年级上《24.3正多边形和圆》练习题含答案.docx

‎24.3　正多边形和圆 知识点 1　正多边形与圆的关系 ‎1．如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，那么这个四边形一定是(　　)‎ A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．不能确定 ‎2．如图24－3－1所示，已知△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC＝36°，弦BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB.求证：五边形AEBCD是正五边形．‎ 图24－3－1‎ 知识点 2　与正多边形有关的计算 ‎3．如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是(　　)‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎4．若正方形的边长为6，则其内切圆半径的大小为(　　)‎ A．3 B．3 C．6 D．6 ‎5．2016·南平若正六边形的半径为4，则它的边长等于(　　)‎ A．4 B．2 C．2 D．4 ‎6．如图24－3－2所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是(　　)‎ 图24－3－2‎ A．60°　　　　　B．45°‎ C．30°　　　　　D．22.5°‎ ‎7．正八边形的中心角等于________度．‎ ‎8．将一个边长为1的正八边形补成如图24－3－3所示的正方形，这个正方形的边长等于________．(结果保留根号)‎ 图24－3－3‎ ‎9．2017·资阳边长相等的正五边形和正六边形如图24－3－4所示拼接在一起，则∠ABC＝________°.‎ 图24－3－4‎ ‎10．如图24－3－5，已知正五边形ABCDE，M是CD的中点，连接AC，BE，AM.‎ 求证：(1)AC＝BE；‎ ‎(2)AM⊥CD.‎ 图24－3－5‎ 知识点 3　与正多边形有关的作图 ‎11．已知⊙O和⊙O上的一点A，作⊙O的内接正方形和内接正六边形(点A为正方形和正六边形的顶点)．‎ ‎12．如图24－3－6所示，⊙O的内接多边形的周长为3，⊙O的外切多边形的周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是(　　)‎ 图24－3－6‎ A. B. C. D. ‎13．若AB是⊙O内接正五边形的一边，AC是⊙O内接正六边形的一边，则∠BAC等于(　　)‎ A．120° B．6° ‎ C．114° D．114°或6°‎ ‎14．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为(　　)‎ A. B．2 －2‎ C．2－ D.－1‎ ‎15．2017·达州以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是(　　)‎ A. B. C. D. ‎16．2017·云南如图24－3－7，边长为4的正方形ABCD外切于⊙O，切点分别为E，F，G，H.则图中阴影部分的面积为________．‎ 图24－3－7‎ ‎17．如图24－3－8，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的内接正三角形ACE的面积为48 ，试求正六边形的周长．‎ 图24－3－8‎ ‎18．如图24－3－9①②③④，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.‎ 图24－3－9‎ ‎(1)求图①中∠MON的度数；‎ ‎(2)图②中，∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；‎ ‎(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案)．‎ 教师详解详析 ‎1．C　[解析] 只有正多边形的外接圆与内切圆才是同心圆，故这个四边形是正方形．故选C.‎ ‎2．证明：∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝36°，‎ ‎∴∠ABC＝∠ACB＝72°.‎ 又∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，‎ ‎∴∠ABD＝∠CBD＝∠BCE＝∠ACE＝36°，‎ 即∠BAC＝∠ABD＝∠CBD＝∠BCE＝∠ACE，‎ ‎∴＝＝＝＝，‎ ‎∴A，E，B，C，D是⊙O的五等分点，‎ ‎∴五边形AEBCD是正五边形．‎ ‎3．B　[解析] 设这个正多边形为正n边形，由题意可知72n＝360，解得n＝5.故选B.‎ ‎4．B ‎5．A　[解析] 正六边形的中心角为360°÷6＝60°，那么外接圆的半径和正六边形的边组成一个等边三角形．因为正六边形的外接圆半径等于4，所以正六边形的边长等于4.‎ ‎6．C　[解析] 连接OB，则∠AOB＝60°，‎ ‎∴∠ADB＝∠AOB＝30°.‎ ‎7．45‎ ‎8．1＋ ‎[解析] 如图，∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝1，‎ ‎∴BD＝，‎ ‎∴正方形的边长等于AB＋2BD＝1＋.‎ ‎9．24　[解析] 正六边形的一个内角＝×(6－2)×180°＝120°，正五边形的一个内角＝×(5－2)×180°＝108°，∴∠BAC＝360°－(120°＋108°)＝132°.∵两个正多边形的边长相等，即AB＝AC，∴∠ABC＝×(180°－132°)＝24°.‎ ‎10．证明：(1)由五边形ABCDE是正五边形，得AB＝AE，∠ABC＝∠BAE，AB＝BC，‎ ‎∴△ABC≌△EAB，∴AC＝BE.‎ ‎(2)连接AD，由五边形ABCDE是正五边形，得AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，‎ ‎∴△ABC≌△AED，‎ ‎∴AC＝AD.‎ 又∵M是CD的中点，‎ ‎∴AM⊥CD.‎ ‎11．解：如图所示．‎ 作法：①作直径AC；‎ ‎②作直径BD⊥AC，依次连接AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD是⊙O的内接正方形；‎ ‎③分别以点A，C为圆心，OA的长为半径画弧，交⊙O于点E，H和F，G，顺次连接AE，EF，FC，CG，GH，HA，则六边形AEFCGH为⊙O的内接正六边形．‎ ‎12．C　[解析] 根据两点之间，线段最短可得圆的周长大于3而小于3.4，选项中只有C满足要求．‎ ‎13．D　[解析] 分两种情况考虑：‎ ‎(1)如图①所示，∵AB是⊙O内接正五边形的一边，∴∠AOB＝＝72°.∵AC是⊙O内接正六边形的一边，∴∠AOC＝＝60°，∴∠BOC＝72°－60°＝12°，∴∠BAC＝∠BOC＝6°.‎ ‎(2)如图②所示，∠AOB＝72°，∠AOC＝60°，∴∠OAB＝54°，∠OAC＝60°，∴∠BAC＝60°＋54°＝114°.综上所述，可知选D.‎ ‎14．B　[解析] ∵等腰直角三角形的外接圆半径为2，∴此直角三角形的斜边长为4，两条直角边的长均为2 .如图，根据三角形内切圆的性质可得CD＝CE＝r，AD＝BE＝AO＝BO＝2 －r，∴AB＝AO＋BO＝4 －2r＝4，解得r＝2 －2.故选B.‎ ‎15．A　[解析] 如图①，∵OC＝2，∴OD＝1；‎ 如图②，∵OB＝2，∴OE＝；‎ 如图③，∵OA＝2，∴OD＝，‎ 则该三角形的三边长分别为1，，.‎ ‎∵12＋()2＝()2，‎ ‎∴该三角形是直角三角形，‎ ‎∴该三角形的面积是×1×＝.‎ 故选A.‎ ‎16．2π＋4　[解析] 如图，连接HO，并延长交BC于点P，连接EO，并延长交CD于点M.‎ ‎∵正方形ABCD外切于⊙O，‎ ‎∴∠A＝∠B＝∠AHP＝90°，‎ ‎∴四边形AHPB为矩形，∴∠OPB＝90°.‎ 又∵∠OFB＝90°，∴点P与点F重合，‎ ‎∴HF为⊙O的直径，‎ 同理：EG为⊙O的直径．‎ 由∠D＝∠OGD＝∠OHD＝90°且OH＝OG知，四边形DGOH为正方形．‎ 同理：四边形OGCF、四边形OFBE、四边形OEAH均为正方形，‎ ‎∴DH＝DG＝GC＝CF＝2，∠HGO＝∠FGO＝45°，‎ ‎∴∠HGF＝90°，GH＝GF＝＝2 ，‎ 则阴影部分面积＝S⊙O＋S△HGF ‎＝·π·22＋×2 ×2 ‎＝2π＋4.‎ 故答案为2π＋4.‎ ‎17．解：如图，连接OA，作OH⊥AC于点H，则∠OAH＝30°.‎ 在Rt△OAH中，设OA＝R，则OH＝R，由勾股定理可得AH＝＝＝ R.‎ 而△ACE的面积是△OAH面积的6倍，即6×× R×R＝48 ，解得R＝8，‎ 即正六边形的边长为8，所以正六边形的周长为48.‎ ‎18．解：(1)方法一：如图①，连接OB，OC.‎ 图①‎ ‎∵正三角形ABC内接于⊙O，‎ ‎∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°.‎ 又∵BM＝CN，OB＝OC，‎ ‎∴△OBM≌△OCN，‎ ‎∴∠BOM＝∠CON，‎ ‎∴∠MON＝∠BOC＝120°.‎ 方法二：如图②，连接OA，OB.‎ 图②‎ ‎∵正三角形ABC内接于⊙O，‎ ‎∴AB＝BC，∠OAM＝∠OBN＝30°，∠AOB＝120°.‎ ‎∵BM＝CN，∴AM＝BN.‎ 又∵OA＝OB，∴△AOM≌△BON，‎ ‎∴∠AOM＝∠BON，‎ ‎∴∠MON＝∠AOB＝120°.‎ ‎(2)90°　72°　(3)∠MON＝.‎