辽宁省抚顺市第一中学2016届高三数学上学期12月月考试题 理.doc

‎2016届高三数学12月考试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.‎ ‎1.集合，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.设是虚数单位，复数，则=（ ）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎3.已知向量的夹角为，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.设为不同的平面，为不同的直线，则的一个充分条件是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎5.若正数，满足，则的最小值是（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ 6. 某四面体的三视图如图，正（主）视图、侧（左）视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为（ ）‎ 正（主）视图 侧（左）视图 ‎ A． B． C． D．‎ ‎7.已知函数，则下列说法正确的为（ ）‎ - 14 -‎ A．函数的最小正周期为 B．函数的最大值为 C．函数的图象关于直线对称 D．将图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后会得到一个奇函数图像 ‎8.执行如图的程序框图，输出的值是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ ‎10.在中，为的三等分点，则（ ）‎ - 14 -‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点，过点作准线的垂线，垂足为，当点的坐标为时，为正三角形，则此时的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.定义在上的单调函数，则方程的解所在的区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ ‎ 本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知不等式，照此规律总结出第个不等式为________________________________________；‎ ‎14.设满足约束条件，则目标函数的取值范围是__________________________；‎ ‎15.在中，，点在边上，，则；‎ ‎16.若对，不等式恒成立，则正实数的最大值是____________.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.（本题满分12分）‎ - 14 -‎ 设数列的前项和满足：，等比数列的前项和为，公比为，且.‎ ‎（I）求数列的通项公式；‎ ‎（II）设数列的前项和为，求证：.‎ 18. ‎（本小题满分13分）‎ 如图，多面体中，两两垂直，且，.‎ ‎（I）若点在线段上，且，求证：；‎ ‎（II）求直线与平面所成的角的正弦值.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 19. ‎（本小题满分12分）‎ 为了调查学生星期天晚上学习时间利用问题，某校从高二年级1000名学生（其中走读生450名，住宿生550名）中，采用分层抽样的方法抽取名学生进行问卷调查，根据问卷取得了这名同学每天晚上学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，得到频率分布直方图如下，已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少于60分钟的人数为5人：‎ ‎（I）求的值并补全下列频率分布直方图；‎ ‎（II）如果把“学生晚上学习时间达到两小时”‎ - 14 -‎ 作为是否充分利用时间的标准，对抽取的名学生，完成下列列联表：‎ 利用时间充分 利用时间不充分 总计 走读生 住宿生 ‎10‎ 总计 据此资料，你是否认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关？‎ ‎（III）若在第①组、第②组、第⑧组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“学习时间少于60分钟”的学生人数为，求的分布列及期望；‎ 参考公式：‎ 18. ‎（本小题满分12分）‎ 已知双曲线的焦距为，其一条渐近线的倾斜角为，且，以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆为.‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）设点是椭圆的左顶点，为椭圆上异于点的两动点，若直线的斜率之积为，问直线是否恒过定点？若横过定点，求出该点坐标；若不横过定点，说明理由.‎ 19. ‎（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（I）求的单调区间和极值；‎ ‎（II）设，且，证明：.‎ 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ 20. ‎（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲.‎ 如图，是圆的直径，是延长线上的一点，‎ - 14 -‎ 是圆的割线，过点作的垂线，交直线于点，‎ 交直线于点，过点作圆的切线，切点为.‎ ‎（I）求证：四点共圆；‎ ‎（II）若，求的长.‎ 18. ‎（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程选讲.‎ 已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极 坐标系，圆的极坐标方程为.‎ ‎（I）求圆的直角坐标方程；‎ ‎（II）若是直线与圆面的公共点，求的取值范围.‎ 19. ‎（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.‎ 设函数.‎ ‎（I）若不等式的解集为，求的值；‎ ‎（II）若存在，使，求的取值范围.‎ - 14 -‎ ‎12月考数学（理科）‎ 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B D D D B D B C B A C 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13.1+错误！未找到引用源。； 14. 15.错误！未找到引用源。； 16．错误！未找到引用源。 ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1） ‎ ‎ ………………………….2分 因为 ‎ ‎ 即时，有 ‎ ……………………………4分 为等差数列，公差为4，首项为1 ……………………..6分 ‎ ‎（2） ……………………..8分 - 14 -‎ ‎ ……………………………10分 时，易知为递增数列， 即 ………..12分 ‎ ‎18．解：（Ⅰ）分别取的中点，连结，则有.‎ ‎ ∵‎ ‎∴ 　……………………………………………1分 又∵‎ ‎∴‎ ‎∴四边形是平行四边形 ‎∴　　　……………………………………………………2分 又∵‎ ‎∴平面　　……………………………………………6分 ‎（Ⅱ）如图，以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.则 ‎　……………………………………6分 设平面的一个法向量，则有 ‎，化简，得 令，得 ……………8分 设直线与平面所成的角为，则有.　……………………12分 - 14 -‎ 所以直线与平面所成的角的正弦值为.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎1/100‎ ‎1/200‎ ‎1/375‎ ‎1/600‎ ‎1/750‎ ‎1/3000‎ ‎30‎ ‎60‎ ‎90‎ ‎120‎ ‎150‎ ‎180‎ ‎210‎ ‎240‎ 时间（分钟）‎ 频率/组距 O ‎1/120‎ ‎1/250‎ ‎(1)设第i组的频率为Pi(i=1,2,…,8),由图可知：P1=×30=, P2=×30= ‎∴学习时间少于60分钟的频率为P1+P2= 由题意：n×=5 ∴n=100………2分 又P3=×30=, P5=×30=, P6=×30=, P7=×30=, P8=×30= ‎∴P4=1-(P1+P2+P3+P5+ P6+P7+ P8)= ‎∴第④组的高度为:h=×== 频率分布直方图如图：‎ ‎（注：未标明高度1/250扣1分）………4分 ‎（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，‎ ‎“走读生”有45人，利用时间不充分的有40人，‎ 利用时间充分 利用时间不充分 总计 走读生 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 住宿生 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 总计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ 从而列联表如下：‎ 将列联表中的数据代入公式计算，得 ……6分 ‎ K2===≈3.030‎ 因为3.030