贵州省贵阳市第一中学2016届高三数学第四次月考试题 理.doc

贵阳第一中学2016届高考适应性月考卷（四）‎ 理科数学试卷 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ 1. 已知集合，，则（）‎ A．（1,4） B．（2,4） C．（1,2） D． ‎2.设偶函数f(x)对任意，都有，且当时，，则（）‎ A．10 B． C．-10 D． ‎3.已知函数，若将其图象向右平移个单位后所得的图象关于原点对称，则的最小值为（）‎ A． B． C． D． ‎4.已知函数的图象如图所示，则函数的单调减区间为（）‎ A． B． C． D． 5. 若实数x，y满足不等式组（k为常数），且的最大值为12，则实数k=（）‎ - 19 -‎ A．0 B．-4 C．-9 D．任意实数 ‎6.已知点G是△ABC的重心，若，，则的最小值是（）‎ A． B． C． D． ‎7.若的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是（）‎ A．-10 B．10 C．-45 D．45‎ ‎8.若按如图所示的算法流程图运行后，输出的结果是，则输入的N的值可以等于（）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎9.已知数列，满足，且，是函数的两个零点，则等于（）‎ A．24 B．32 C．48 D．64‎ - 19 -‎ ‎11.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，，已知他投篮一次得分的期望值是2，则的最小值为（）‎ A． B． C． D． ‎12.已知定义在R上的可导函数y=f(x)的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（）‎ A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知函数若方程有且仅有两个不等的实根，则实数m的取值范围是_______.‎ ‎14.已知F是椭圆的左焦点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，OP∥AB（O为原点，A为右顶点，B为上顶点），则该椭圆的离心率是______.‎ ‎15.如图，它满足①第n行首尾两数均为n，②表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行的第2个数是______.‎ ‎16.对一定义域为D的函数和常数c，若对任意正实数，使得恒成立，则称函数为“敛c函数”，现给出如下函数：‎ ‎①；②；③；④.‎ 其中为“敛1函数”的有________（写序号）.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ - 19 -‎ 已知数列的前n项和为，，且，数列满足，，对任意，都有.‎ ‎（Ⅰ）求数列，的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围.‎ 18. ‎（本小题满分12分）‎ 某学校高一年级在上学期依次举行了“法律、环保、交通”三次知识竞赛活动，要求每位同学至少参加一次活动，高一（1）班学生50名学生在上学期参加该项活动的次数统计如图所示. ‎ ‎（Ⅰ）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动的次数不相等的概率；‎ ‎（Ⅱ）从该班中任意选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差对的绝对值，求随机变 19. ‎（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，E是PB上的点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；‎ ‎（Ⅱ）若E是PB的中点，且二面角P-AC-E的余弦值为 - 19 -‎ ‎，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.‎ 18. ‎（本小题满分12分）‎ 已知抛物线C的标准方程为，M为抛物线C上一动点，为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N.当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）记，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由.‎ 19. ‎（本小题满分12分）‎ 已知函数，，其中e是自然对数的底数.‎ ‎（Ⅰ），使得不等式成立，试求实数m的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若x>-1，求证：.‎ 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ 20. ‎（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】‎ 如图，AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1.‎ ‎（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；‎ ‎（Ⅱ）求BC的长.‎ - 19 -‎ 18. ‎（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知曲线（t为参数），（为参数）.‎ ‎（Ⅰ）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；‎ ‎（Ⅱ）若上的点P对应的参数方程为，Q为上的动点，求PQ中点M到直线的距离的最小值.‎ ‎24.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 设对于任意实数x，不等式恒成立.‎ ‎（Ⅰ）求m的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当m取最大值时，解关于x的不等式：.‎ - 19 -‎ 贵阳第一中学2016届高考适应性月考卷（四）‎ 理科数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B B C B C C D B D C D D ‎【解析】‎ ‎1．根据题意，可求得，所以，故选B．‎ ‎2．因为，故有，函数是以6为周期的函数，，故选B．‎ ‎3．由题意，将其图象向右平移个单位后解析式为，则，即，所以的最小值为，故选C．‎ ‎4．根据题意有，所以，从而有其单调减区间为，故选B．‎ ‎5．根据已知的不等式组作图，如图1所示，当 直线平移至时z最大为12，将x=3，‎ 图1‎ y=3代入直线2x+y+k=0得：6+3+k=0，，故选C．‎ - 19 -‎ ‎6．在△ABC中，延长AG交BC于D，∵点G是△ABC的重心，∴AD是BC边上的中线，且．∵，∴．∵，，∴，∴ ，∴的最小值是，故选C．‎ ‎7．因为展开式的通项公式为，所以 ，令，所以常数项为，故选D．‎ ‎8．，故选B．‎ ‎9．依题意有anan＋1=2n，所以an＋1an＋22n＋1，两式相除得，所以a1，a3，a5，…成等比数列，a2，a4，a6，…成等比数列，而a1=1，a2=2，所以a10=2×24=32，a11=1×25=32．又因为an+an＋1=bn，所以b10=a10+a11=64，故选D．‎ ‎10．由三视图知该几何体为棱锥，如图2，其中 平面ABCD．四面体的四个面中面SBD的面积最 大，三角形SBD是边长为的等边三角形，所以此四 图2‎ 面体的四个面中面积最大的为，故选C．‎ - 19 -‎ ‎11． 故选D．‎ ‎12．首先构造函数，研究的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．∵为偶函数，∴的图象关于x=0对称，∴的图象关于x=1对称，∴，又∵，∴．设(x∈R)，则又∵，∴，∴，∴单调递减，∵，∴，即，又∵，∴，∴x＞0，故选D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ 题号 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 ‎②③④‎ ‎【解析】‎ ‎13．方程错误！未找到引用源。有且仅有两个不等的实根等价于函数 的图象与函数的图象有两个交点，如图3．易知函数过定点且函数图象过点，， - 19 -‎ ‎．当直线与曲线相切时，即在直线PC位置时，．显然当直线在x轴（含x轴）与直线PA之间时有两个交点，即；当直线位于PB（含PB）与PC之间时有两个交点，即．‎ 综上知，．‎ ‎14．把xc代入椭圆方程求得y=±，∴|PF|=，∵OP∥AB， PF∥OB，∴△PFO∽△ABO，∴，求得b=c，∴e=．‎ ‎15．设第n(n≥2)行的第2个数构成数列{an}，则有 ，相加得，因此可知第n行第2个数是．‎ ‎16．由新定义知，对任意正实数，使得恒成立，即恒有解．对于函数①解得，，且，因为为任意正实数，所以无解，故函数①不是“敛1函数”；对于函数②解得，且，故函数②是“敛1函数”；对于函数③解得，，且，故函数③是“敛1函数”；对于函数④解得，，故函数④是“敛1函数”．因此正确答案为②③④．‎ 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）∵，∴()，‎ 两式相减得，，‎ - 19 -‎ ‎∴，即()，‎ 又因为，，从而，‎ ‎∴()，‎ 时也符合，‎ 故数列的通项公式()． ………………………………（4分）‎ 在数列中，由，‎ 知数列是等比数列，首项、公比均为，‎ ‎∴数列的通项公式． ………………………………（6分）‎ ‎（Ⅱ），①‎ ‎∴，②‎ 由①-②，得，‎ ‎∴， ………………………………（8分）‎ 不等式，‎ 即为，‎ 即()恒成立． ………………………………（10分）‎ 方法一：‎ 设()，‎ 当时，恒成立，则不满足条件；‎ 当时，由二次函数性质知不恒成立；‎ 当时，恒成立，则满足条件．‎ 综上所述，实数λ的取值范围是． ………………………………（12分）‎ 方法二：‎ - 19 -‎ 也即()恒成立，‎ 令，‎ 则，‎ 由，单调递增且大于0，‎ ‎∴单调递增，‎ ‎∴，‎ ‎∴实数λ的取值范围是． ………………………………（12分）‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）从该班任取两名学生，他们参加活动的次数恰好相等的概率：‎ ，‎ 故． …………………………………………（4分）‎ ‎（Ⅱ）从该班中任选两名学生，用表示这两名学生参加活动次数之差的绝对值，‎ 则的可能取值分别为：0，1，2， ………………………………………（5分）‎ P(=0)=，‎ P(=1)= P(=2)=，　 ……………………………………（7分）‎ 从而的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P E+1+2=． …………………………………（8分）‎ ‎（Ⅲ）因为函数在区间(3，5)上有且只有一个零点，且，‎ - 19 -‎ 在区间(3，5)上为增函数， ……………………………………（9分）‎ 即，‎ ， ……………………………………………………（10分）‎ 又由于的取值分别为：2，3，4，5，6，‎ 故， ………………………………………（11分）‎ 故所求的概率为：． ………………………（12分）‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）证明：平面ABCD，平面ABCD，‎ ， ……………………………………………（2分）‎ 又，‎ 平面， ……………………………………………（4分）‎ ‎∵平面EAC，‎ 平面平面． ……………………………………………………………（6分）‎ ‎（Ⅱ）解：以为原点，建立空间直角坐标系如图4所示，‎ 则，设，‎ 则 ，取，‎ 则，‎ 图4‎ 为平面的法向量．‎ - 19 -‎ 设为平面的法向量，‎ 则，即 取，‎ 则， ………………………………………（8分）‎ 依题意，，‎ 则 ……………………………………………（9分）‎ 于是 ………………………（10分）‎ 设直线与平面所成角为，‎ 则，‎ 即直线与平面所成角的正弦值为． …………………………（12分）‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由题意，，‎ ，‎ 抛物线C的标准方程为． ……………………………………………（4分）‎ ‎（Ⅱ）设，设直线MN的方程为，‎ 联立 得，，‎ ，‎ ， ……………………………………………（6分）‎ 由对称性，不妨设， ‎ ‎（ⅰ）时，，‎ 同号，‎ 又，‎ ，‎ 不论a取何值，t均与m有关，‎ - 19 -‎ 即时，A不是“稳定点”； ……………………………………………（9分）‎ ‎（ⅱ）时，，‎ 异号，‎ 又，‎ ，‎ 仅当，即时，t与m无关，‎ 此时A即抛物线C的焦点，即抛物线C的对称轴上仅有焦点这一个“稳定点”．‎ ‎ ………………………………………………（12分）‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）解：由题意，，使得不等式成立，‎ 等价于． ………………………………（1分）‎ ，‎ 又当时，，，‎ 所以在上单调递减，‎ 所以，‎ 故在区间上单调递减，‎ - 19 -‎ 因此，时，， ……………………………………………（5分）‎ 所以，则， ‎ 实数的取值范围是． ………………………………（6分）‎ ‎（Ⅱ）证明：当时，要证，只要证，‎ 即证，‎ 由于，‎ 只要证． ‎ 下面证明时，不等式成立．‎ 令，则，‎ 当时，，单调递减； ‎ 当时，，单调递增．‎ 所以当且仅当时，取最小值为1． ……………………………（8分）‎ 方法一：‎ 令，则，‎ 即，即，‎ 由三角函数的有界性，，‎ 即，所以， ………………………………………………（10分）‎ 而，‎ 但当时，；‎ 时，． ………………………………（11分）‎ 所以，，‎ 即，‎ 综上所述，当时，成立． ………………………………（12分）‎ 方法二：‎ - 19 -‎ 令，可将其看作点与点连线的斜率，‎ 所以直线的方程为：，‎ 由于点在圆上，‎ 所以直线与圆相交或相切，‎ 当直线与圆相切且切点在第二象限时，‎ 直线取得斜率的最大值为1． ………………………………（10分）‎ 而当时，；‎ 时，． ………………………………………………（11分）‎ 所以，，即．‎ 综上所述，当时，成立． ………………………………（12分）‎ 方法三：‎ 令，则，‎ 当时，取得最大值1，‎ 而， …………………………………………………………（10分）‎ 但当时，；‎ 时，． ………………………………………………………（11分）‎ 所以，，即．‎ 综上所述，当时，成立． …………………………（12分）‎ ‎22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】‎ ‎（Ⅰ）证明：如图5，连接OC，因为OA=OC，‎ 所以∠OAC=∠OCA，……………………………（2分）‎ 因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD，‎ 图5‎ 又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，‎ 所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，‎ 所以AC平分∠BAD． …………………………………………………………（4分）‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴BC=CE， ……………………………………（6分）‎ 如图5，连接CE，因为ABCE四点共圆，∠B=∠CED，‎ - 19 -‎ 所以cos∠B=cos∠CED， ……………………………………（8分）‎ 所以，‎ 所以BC=2． ……………………………………（10分）‎ ‎23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】‎ 解：（Ⅰ）． ………………………………（3分）‎ 为圆心是，半径是1的圆．‎ 为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆． ‎ ‎ ………………………………………………………………（5分）‎ ‎（Ⅱ）当时，，‎ 故，‎ 为直线，M到的距离 ………………………………………………………………（8分）‎ 显然，取得最小值． …………………………………………………（10分）‎ ‎24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】‎ 解：（Ⅰ）设，‎ 则有 ………………………………………………………（1分）‎ 当时，有最小值8； ………………………………（2分）‎ 当时，恒等于8； ………………………………（3分）‎ 当时，有最小值8． ………………………………（4分）‎ 综上，有最小值8， ………………………………（5分）‎ 所以． ………………………………（6分）‎ ‎（Ⅱ）当m取最大值时 ‎ - 19 -‎ 原不等式等价于：， ………………………………（7分）‎ 等价于：或 ………………………………（8分）‎ 等价于：或， ………………………………………………………（9分）‎ 所以原不等式的解集为． ………………………………（10分）‎ ‎ ‎ - 19 -‎