- 1 -
2015-2016 学年上学期四校联考（第三次月考）
高二文科数学试卷
一、 选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在下列四个选项中，只有一个是
符合题目要求的）
1. 已知 x 与 y 之间的一组数据：
x 0 1 2 3
y 1 3 5 7
则 y 与 x 的线性回归方程为 y=bx+a 必过点（ ）
A、（2，2） B、（1.5，0） C、（1，2） D、（1.5，4）
2.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也
相同，则图中的 m,n 的比值
n
m ＝（ ）
A．1 B．
3
1 C．
9
2 D．
8
3
3．
2)3(
31
i
i （ ）
A ．
4
31 i B ．
4
31 i C ．
2
31 i D ．
2
31 i
4.已知函数 2( ) logf x x ，若在[1,8]上任取一个实数 0x ，则不等式 01 ( ) 2f x 成立的概率
是（ ）
A. 2
7
B. 1
3
C. 1
4
D. 1
2
5.下列函数中，最小值为４的是 （ ）
Ａ．
xxxf 343)( Ｂ． 10llg)( xogxxf
Ｃ． x
xxf 4)(
Ｄ． x
xxf
cos
4cos)(
6. 阅读如下程序框图,如果输出 4i ,那么空白的判断框中应填入的条件是 ( )- 2 -
A． 8?S B． 12?S C． 14?S D． 16?S
7. 现有五个球分别记为 A，B，C，D，E，随机选择放进三个盒子，每个盒子只能放一个球，
则 C 或 E 在盒中的概率是（ ）
A． 2
5
B．
5
3 C．
10
3 D．
10
9
8. 为了解某社区居民有无收看“2008 北京奥运会开幕式”，某记者分别从某社区 60～70 岁，
40～50 岁，20～30 岁的三个年龄段中的 160 人，240 人，x 人中，采用分层抽样的方法共抽
查了 30 人进行调查，若在 60～70 岁这个年龄段中抽查了 8 人，那么 x 为( )
A．90 B．120 C．180 D．200
9. 从甲袋内摸出 1 个白球的概率为1
3
，从乙袋内摸出 1 个白球的概率是1
2
，从两个袋内各摸 1
个球，那么概率为5
6
的事件是( )
A．2 个球都是白球 B．2 个球都不是白球
C．2 个球不都是白球 D．2 个球中恰好有一个白球
10.设 , ,a b c 大于 0，则 3 个数： 1a b
， 1b c
， 1c a
的值( )
A、都大于 2 B、至少有一个不大于 2
C、都小于 2 D、至少有一个不小于 2
11.已知实数 yx, 满足不等式组
0
02
1
ykx
yx
x
，若目标函数 yxz 2 仅在点 ),1( k 处取得最
小值，则实数 k 的取值范围是（ ）
A． ),2[ B． ),2( C． ),1[ D． ),1(
12.已知 12 mmxxxA ，若 A 1,1 ，则实数 m 的取值范围为( )
A． 0, B. 0,222 C. 2, D. 222,222
二、 填空题（本大题共 4 小题、每小题 5 分，共 20 分）
13. 若 样 本 数 据 的 平 均 数 是 10, 方 差 是 2, 则 数
1 2
3
6
5
4
7
8
9
10
15
14
13
12
11
…
…- 3 -
, , 的方差是____
14. 将正整数 1,2,3,……按照如右图的规律排列，则 100 应在第_____列．
15．某种元件用满 6 000 小时未坏的概率是3
4
，用满 10 000 小时未坏的概率是1
2
，现有一个此
种元件，已经用过 6 000 小时未坏，则它能用到 10 000 小时的概率为________
16. 一元二次不等式 )(022 babxax 的解集为
axx 1| ，则
ba
ba
22
的最小
值为 ．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或验算步骤）
17．(本小题满分 10 分)复数 21 3 2z i a a i （ a R ），
（1）若 z z ，求 z ； （2）若在复平面内复数 z 对应的点在第一象限，求 a 的范围．
18．(本小题满分 12 分)高二某班 50 名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于 13 秒到 18
秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组，如图是按上述分组方法得到的频率分布
直方图．
（1）若成绩大于等于 14 秒且小于 16 秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的
人数．
（2）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数．
(3)设 nm, 表示该班两个学生的百米测试成绩，已知 18,1714,13, nm ，求事件
2 nm 的概率.
19．(本小题满分 12 分)已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为 0 的小球 1- 4 -
个，标号为 1 的小球 1 个，标号为 2 的小球 n 个。若从袋子中随机抽取 1 个小球，取到标号为
2 的小球的概率为 1
2
。
（1）求 n 的值；
（2）从袋子中不放回地随机抽取 2 个小球，记第一次取出的小球的标号为 a ，第二次取出的
小球的标号为b 。
①记“ 2a b ”为事件 A ，求事件 A 的概率；
②在区间[0,2] 内任取 2 个实数 ,x y ，求事件“ 2 2 2( )x y a b 恒成立”的概率.
20. (本小题满分 12 分)某研究性学习小组对某花卉种子的发芽率与昼夜温差之间的关系进行
研究.他们分
别记录了 3 月 1 日至 3 月 5 日的昼夜温差及每天 30 颗种子的发芽数,并得到如下资料:
日期 3 月 1 日 3 月 2 日 3 月 3 日 3 月 4 日 3 月 5 日
温差 x (度) 10 11 13 12 9
发芽数
y(颗)
15 16 17 14 13
参考数据
5 5
2
1 1
832, 615,i i i
i i
x y x
,其中 1
22
1
;
n
i i
i
n
i
i
x y n x y
b a y b x
x n x
(1)请根据 3 月 1 日至 3 月 5 日的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程.据气象预报 3 月 6 日的
昼夜温差为 11℃,请预测 3 月 6 日浸泡的 30 颗种子的发芽数.(结果保留整数)
(2)从 3 月 1 日至 3 月 5 日中任选两天,
①求种子发芽数恰有 1 天超过 15 颗的概率。
②若已知有一天种子发芽数是 15 颗，求另一天超过 15 颗的概率。
21．(本小题满分 12 分)设函数
( 1)1
xf x ax xx
（1）若 a>0,求函数 f x 的最小值；- 5 -
（2）若 a 是从 1，2，3 三个数中任取一个数，b 是从 2，3，4，5 四个数中任取一个数，求 f
(x)>b 恒成立的概率。
22.(本小题满分 12 分)
设事件 A 发生的概率为 p，若在 A 发生的条件下 B 发生的概率为 p′，则由 A 产生 B 的概
率为 p·p′．根据这一事实解答下题．
一种掷硬币走跳棋的游戏:棋盘上有第 0、1、2、…、100，共 101 站，设棋子跳到第 n
站时的概率为 p n ，一枚棋子开始在第 0 站（即 p 0 ＝1），由棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动
一次．若硬币出现正面则棋子向前跳动一站，出现反面则向前跳动两站．直到棋子跳到第 99
站(获胜)或第 100 站(失败)时，游戏结束．已知硬币出现正反面的概率都为1
2
．
（1）求 p1，p2，p3，并根据棋子跳到第 n＋1 站的情况，试用 pn，pn－1 表示 pn＋1；
（2）设 a n ＝pn－pn－1 (1≤n≤100)，求证：数列｛a n ｝是等比数列，并求出｛a n ｝的通
项公式；
（3）求玩该游戏获胜的概率．- 6 -
2015-2016 学年上学期四校联考（第三次月考）高二文科
数学试卷参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D D B A A B D D C D B B
二、填空题
13、8 14、14 15、2
3
16、 2 2
三、解答题：
17、解 2 23 2 1z a a a i ，
（1）由 z z 知， 21 0a ，故 1a ．当 1a 时， 0z ；当 1a 时， 6z ．（5 分）
（2）由已知得，复数的实部和虚部皆大于 0，即
2
2
3 2 0
1 0
a a
a
，即 2 1
1 1
a a
a
或 ，
所以 1 1a （10 分）
18.
解（1）根据直方图可知成绩在 16,14 内的人数： 2838.05018.050 人 （2 分）
（2）由图可知众数落在第三组 16,15 是 5.152
1615 （5 分）
（3）成绩在 14,13 的人数有： 204.050 人，设为 ba,
成绩在 18,17 的人数有： 306.050 人，设为 CBA ,,
14,13, nm 时有 ab 一种情况， 18,17, nm 时有 BCACAB ,, 三种情况
nm, 分布在 14,13 和 18,17 时有 bCbBbAaCaBaA ,,,,, 六种情况，基本事件的总数为 10
事件 6 nm 由 6 个基本事件组成. 所以 5
3
10
66 nmP .（12 分）
19．（1）由题意， 1
1 1 2
n
n
， 2n （2 分）
（2）①将标号为 2 的小球记为 1a , 2a ,两次不放回的取小球的所有基本事件为:
（0,1）,（0, 1a ）,（0, 2a ）,（1,0）,（1, 1a ）,
（1, 2a ）,（ 1a ,0）,（ 1a ,1）,（ 1a , 2a ）,（ 2a ,0）,（ 2a ,1），（ 2a , 1a ）,共 12 个事- 7 -
件 A 包含的基本事件为: （0, 1a ）,（0, 2a ）,（ 1a ,0）, （ 2a ,0）. 4( ) 12P A 1
3
（7 分）
②.事件 B 等价于: 2 2 4x y , ( , )x y 可以看作平面中的点,则全部结果所构成的区域
{( , ) 0 2,0 2, , }x y x y x y R ,而事件 B 的所构成的区域
B= 2 2{( , ) 4, , }x y x y x y , 2 2( ) 12 2 4
BSP B S
.
（12 分）
20、（1）略
（2）、①令“种子发芽数恰有 1 天超过 15 颗”为事件 A,则 P（A）= 3
5
（9 分）
②有一天发芽数是 15 颗，包含的总基本事件数是（15,13）、（15，14）、（15,16）、（15,17）.
其中令一天超过 15 颗的基本事件是（15,16）、（15,17）.故所求的概率 P= 1
2
（12 分）
21． （1） ,0,1 ax
1
11)(
x
xaxxf 11
1
xax axxa 11
1)1( ,)1(12 2 aaa
,)1(min)( 2 axf （6 分）
（2） babxf 2)1()( 恒成立就转化为 成立。
设事件 A：“ bxf )( 恒成立”，则
基本事件总数为 12 个，即
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；
（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；
事件 A 包含事件：（1，2），（1，3）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；
（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共 10 个
由古典概型得
.6
5
12
10)( AP
（12 分）
22.（1）p1＝1
2
，p2＝p0×1
2
＋p1×1
2
＝1×1
2
＋1
2
×1
2
＝3
4
．
p3＝p1×1
2
＋p2×1
2
＝1
2
×1
2
＋3
4
×1
2
＝5
8
． (3 分)- 8 -
pn＋1＝pn－1×1
2
＋pn×1
2
＝1
2
pn＋1
2
pn－1． (5 分)
（2）pn＋1－pn＝－1
2
pn＋1
2
pn－1＝－1
2
( pn－pn－1)
a n＋1＝－1
2
a n，a n＋1
a n
＝－1
2
．∴｛a n｝是公比为－1
2
的等比数列．(8 分)
a1＝p1－p0＝1
2
－1＝－1
2
．
a n＝(－1
2
)n． (9 分)
（3）p99＝(p99－p98)＋(p98－p97)＋…＋(p2－p1)＋(p1－p0)＋p0
＝a99＋a98＋…＋a2＋a1＋1
＝1＋－1
2
×
1－(－1
2
)99
1－(－1
2
)
＝1－1
3
－1
3
× 1
299＝2
3
(1－ 1
2100)．
∴获胜的概率为2
3
(1－ 1
2100)． （12 分）
微信/支付宝扫码支付